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1、Harbin Engineering University孙秋华孙秋华教学基本要求教学基本要求 一一 理解理解描写刚体定轴转动的物理量，并描写刚体定轴转动的物理量，并掌握掌握角量角量与线量的关系与线量的关系. 二二 理解理解力矩和转动惯量概念，力矩和转动惯量概念，掌握掌握刚体绕定轴转刚体绕定轴转动的转动定律动的转动定律. 三三 理解理解角动量概念，角动量概念，掌握掌握质点在平面内运动以及质点在平面内运动以及刚体绕定轴转动情况下的角动量守恒问题刚体绕定轴转动情况下的角动量守恒问题. 能运用以上规律分析和解决包括质点和刚体的简单能运用以上规律分析和解决包括质点和刚体的简单系统的力学问题系统的力学问
2、题. 四四 理解理解刚体定轴转动的转动动能概念，能在有刚体刚体定轴转动的转动动能概念，能在有刚体绕定轴转动的问题中正确地应用机械能守恒定律绕定轴转动的问题中正确地应用机械能守恒定律Harbin Engineering University孙秋华孙秋华一、基本概念一、基本概念1 1、角位置矢量（描述刚体位置的物理量）、角位置矢量（描述刚体位置的物理量）(rad)2 2、角位移矢量（描述刚体位置变动的物理量）、角位移矢量（描述刚体位置变动的物理量）3 3、角速度矢量（描述刚体位置变动快慢的物理量）、角速度矢量（描述刚体位置变动快慢的物理量）(rad.s-1)Harbin Engineering U
3、niversity孙秋华孙秋华（7）转动动能：）转动动能：（8）动量矩：）动量矩：（9）重力势能：）重力势能：状状态态函函数数Harbin Engineering University孙秋华孙秋华（10）力矩的功：）力矩的功：（11）冲量矩：）冲量矩：过程量过程量二、基本定理和定律二、基本定理和定律（1） 转动定律转动定律: （2） 动能定理动能定理: Harbin Engineering University孙秋华孙秋华（3）功能原理：）功能原理：（4）机械能守恒定律：）机械能守恒定律：（6） 角动量守恒定律角动量守恒定律当当 时，有时，有（5）角动量定理：）角动量定理：Harbin Eng
4、ineering University孙秋华孙秋华1.一些物理量的计算一些物理量的计算作业作业18. 有一半径为有一半径为R的圆形平板平放在水平桌面上，平板的圆形平板平放在水平桌面上，平板与水平桌面的摩擦系数为与水平桌面的摩擦系数为 ，若平板绕通过其中心且垂直板，若平板绕通过其中心且垂直板面的固定轴以角速度面的固定轴以角速度0开始旋转，它将在旋转几圈后停止开始旋转，它将在旋转几圈后停止？Harbin Engineering University孙秋华孙秋华2.利用作用的效果解决问题利用作用的效果解决问题作业作业17.如图所示，已知弹簧的倔强系数为如图所示，已知弹簧的倔强系数为k=20N/m，滑
5、轮质，滑轮质量量M=2kg，半径为，半径为R=0.1m，物体质量，物体质量m=1kg。开始时系统静。开始时系统静止，弹簧处于自然状态。求：当物体下落止，弹簧处于自然状态。求：当物体下落 h=0.2m 时，物体时，物体速度的大小（设绳与轮间不打滑，忽略滑轮的摩擦阻力）。速度的大小（设绳与轮间不打滑，忽略滑轮的摩擦阻力）。mHarbin Engineering University孙秋华孙秋华3. 力学的综合问题力学的综合问题作业作业19.在光滑水平桌面上有个弹簧（其倔强系数为在光滑水平桌面上有个弹簧（其倔强系数为k），弹），弹簧一端固定，另一端连接一个质量为簧一端固定，另一端连接一个质量为m的小
6、球，如图。的小球，如图。开始时，小球最初静止于开始时，小球最初静止于A点，弹簧处于自然状态点，弹簧处于自然状态l0。现。现有一质量为有一质量为m1的子弹以速度的子弹以速度v0射入小球而不复出。求：射入小球而不复出。求：此后当弹簧的长度为此后当弹簧的长度为l时，小球速度大小和它的方向与弹时，小球速度大小和它的方向与弹簧轴线的夹角。簧轴线的夹角。Harbin Engineering University孙秋华孙秋华作业作业20. 质量为质量为M=0.03kg，长为，长为l=0.2m的均匀细棒，在一水的均匀细棒，在一水平面内绕通过棒中心并与棒垂直的光滑固定轴自由转动。平面内绕通过棒中心并与棒垂直的光
7、滑固定轴自由转动。细棒上套有两个可以沿棒滑动的小物体，每个质量都为细棒上套有两个可以沿棒滑动的小物体，每个质量都为m=0.02kg。开始时，两个小物体分别被固定在棒中心的两。开始时，两个小物体分别被固定在棒中心的两侧且距棒中心各为侧且距棒中心各为r=0.05m，此系统以，此系统以n1=15rev/min转速转转速转动。若将小物体松开后，它们在滑动过程中受到的阻力正动。若将小物体松开后，它们在滑动过程中受到的阻力正比于速度。求：（比于速度。求：（1）当两小物体到达棒端时，系统的角速）当两小物体到达棒端时，系统的角速度是多少？（度是多少？（2）当两小物体飞离棒端，棒的角速度是多少）当两小物体飞离棒
8、端，棒的角速度是多少？Harbin Engineering University孙秋华孙秋华作业作业21. 一根放在水平光滑桌面上的匀质棒，可绕通过其一端一根放在水平光滑桌面上的匀质棒，可绕通过其一端的竖直固定光滑轴的竖直固定光滑轴O转动。棒的质量为转动。棒的质量为m=1.5kg，长度为，长度为l=1.0m，对轴的转动惯量为，对轴的转动惯量为J=ml2/3。初始时棒静止。今有一。初始时棒静止。今有一水平运动的子弹垂直地射入棒的另一端，并留在棒中，如图水平运动的子弹垂直地射入棒的另一端，并留在棒中，如图所示。子弹的质量为所示。子弹的质量为m =0.020kg，速率为，速率为v=400m/s。试问
9、：。试问：（1）棒开始和子弹一起转动时角速度）棒开始和子弹一起转动时角速度有多大？（有多大？（2）若棒转）若棒转动时受到大小为动时受到大小为Mr=4.0Nm的恒定阻力矩作用，棒能转过多大的恒定阻力矩作用，棒能转过多大角度？角度？om vHarbin Engineering University孙秋华孙秋华作业作业22. 质量为质量为M，长度为，长度为l的均匀细棒，可绕垂直于棒的的均匀细棒，可绕垂直于棒的一端的水平轴一端的水平轴O无摩探地转动，它原来静止在平衡位置上无摩探地转动，它原来静止在平衡位置上(如图如图)现有一质量为现有一质量为m的弹性小球沿水平方向飞来，正的弹性小球沿水平方向飞来，正好
10、垂直的与细棒的下端相撞相撞后，使棒从平衡位置摆好垂直的与细棒的下端相撞相撞后，使棒从平衡位置摆到最大角度到最大角度 30o处。处。 (1)设碰撞为弹性碰撞试计算小球的初速设碰撞为弹性碰撞试计算小球的初速v0的值；的值； (2)相碰时，小球受列的冲量有多大相碰时，小球受列的冲量有多大?Harbin Engineering University孙秋华孙秋华1.已已知知：M1 、R的的鼓鼓形形轮轮，M2、r的的圆圆盘盘悬悬挂挂m，两两轮轮的的顶顶点点在在同同一一水水平平面面上上。求求：当当重重物物由由静静止止开开始始下下降降时时，（1）物物体的加速度；（体的加速度；（2）绳中张力。）绳中张力。m M
11、2,rM1,R二、典型例题二、典型例题Harbin Engineering University孙秋华孙秋华 解得：解得： 解：由牛顿第二定律与转动定律解：由牛顿第二定律与转动定律m M2,rM1,RT T1 mgHarbin Engineering University孙秋华孙秋华2.质量为质量为M的匀质圆盘，可绕通过盘中心垂直于盘的固定光的匀质圆盘，可绕通过盘中心垂直于盘的固定光滑轴转动，转动惯量为滑轴转动，转动惯量为 绕过盘的边缘挂有质量绕过盘的边缘挂有质量为为m，长为，长为l的匀质柔软绳索（如图）设绳与圆盘无相对的匀质柔软绳索（如图）设绳与圆盘无相对滑动，试求：当圆盘两侧绳长之差为滑动
12、，试求：当圆盘两侧绳长之差为S时，绳的加速度的大时，绳的加速度的大小小 sa21Harbin Engineering University孙秋华孙秋华解：选坐标如图所示，任一时刻圆盘两侧的绳长分别为解：选坐标如图所示，任一时刻圆盘两侧的绳长分别为x1、x2 选长度为选长度为x1、x2的两段绳和绕着绳的盘为研究对象设的两段绳和绕着绳的盘为研究对象设a为绳的加速度，为绳的加速度，为盘的角加速度，为盘的角加速度，r为盘的半径，为盘的半径， 为绳为绳的线密度，且在的线密度，且在1、2两点处绳中的张力分别为两点处绳中的张力分别为T1、T2，则，则 = m / l，x2 gT2 = x2 a T1x1 g
13、 = x1 a (T1T2 ) r = (M/2 r )r 2 sa21oxHarbin Engineering University孙秋华孙秋华解上述方程，利用解上述方程，利用l = rx1x2，并取，并取x2x1 = S得得 :Harbin Engineering University孙秋华孙秋华3. 已知：已知：L=0.60m、M =1kg的，水平固定轴的，水平固定轴OO 。m=1010-3kg，l = 0.36m，v0 =500m/s，v =200m/s。求求:（1）子弹给木板的冲量；）子弹给木板的冲量； （2）木板获得的角速度。）木板获得的角速度。 （已知：木板绕（已知：木板绕OO轴
14、的转动惯量为轴的转动惯量为J=ML2/3）OOLlv0vAHarbin Engineering University孙秋华孙秋华解解（1）由动量定理，得）由动量定理，得（2）由角动量守恒，得）由角动量守恒，得:其中：其中：解得：解得：OOLlv0vAHarbin Engineering University孙秋华孙秋华4. 已已知知：棒棒长长2L，质质量量m，以以v0平平动动时时，与与支支点点O发发生生完完全全非非弹弹性性碰碰撞撞。碰碰撞撞点点为为L/2处处，如如图图所所示示。求求棒棒在在碰碰撞撞后的瞬时绕后的瞬时绕O点转动的角速度点转动的角速度。v0v0OL/2L/2LHarbin Engi
15、neering University孙秋华孙秋华解解: 碰前碰前其中其中碰后碰后v0v0Oxdx解得解得:Harbin Engineering University孙秋华孙秋华5. 如图所示，已知：如图所示，已知：r，J0，m，G。求求：飞飞轮轮的的角角加加速速度度。如如果果飞飞轮轮转转过过1角角后后，绳绳与与杆杆轴轴脱脱离离，并并再再转转过过2角角后后，飞飞轮轮停停止止转转动动，求求：飞飞轮轮受受到到的的阻阻力力矩矩G的大小。（设飞轮开始时静止）的大小。（设飞轮开始时静止）GrmHarbin Engineering University孙秋华孙秋华解解:绳脱前绳脱前绳脱后绳脱后GrmHarb
16、in Engineering University孙秋华孙秋华所以所以而而解得解得:Harbin Engineering University孙秋华孙秋华6. 空空心心圆圆环环可可绕绕AC竖竖直直轴轴自自由由转转动动，如如图图所所示示。其其转转动动惯惯量量为为J0，环环的的半半径径为为R，初初始始角角速速度度为为0。质质量量为为m的的小小球球，原原来来静静止止放放在在A点点，由由于于微微小小的的干干扰扰，小小球球向向下下滑滑动动，设设圆环的内壁光滑。圆环的内壁光滑。求求:小球滑到小球滑到B点时环的点时环的 角速度及小球相对环角速度及小球相对环 的速率。的速率。ACBOHarbin Engine
17、ering University孙秋华孙秋华解解:其中其中:解得解得:ACBOHarbin Engineering University孙秋华孙秋华7.一长为一长为l、质量为、质量为M的均质细棒，可绕水平轴的均质细棒，可绕水平轴O自由转动；自由转动；另有一质量为另有一质量为m的小球与倔强系数为的小球与倔强系数为k的轻质弹簧相连的轻质弹簧相连(弹弹簧的另一端固定簧的另一端固定)，静止在倾角为，静止在倾角为 的光滑斜面上，如图所的光滑斜面上，如图所示。若把细杆拉到水平位置后无初速地释放，当棒转到偏示。若把细杆拉到水平位置后无初速地释放，当棒转到偏离铅直位置角度离铅直位置角度 = 时，棒端与小球发生
18、完全弹性碰撞。时，棒端与小球发生完全弹性碰撞。求：求：(1)碰撞后，小球沿斜面上升的最大位置碰撞后，小球沿斜面上升的最大位置xm；(2)碰撞后，棒能转到与铅直方向的最大夹角碰撞后，棒能转到与铅直方向的最大夹角 m。ml Harbin Engineering University孙秋华孙秋华解：（解：（1）设棒与小球碰撞前的角速度为）设棒与小球碰撞前的角速度为 0（逆时针方向（逆时针方向为正），由系统机械能守恒有为正），由系统机械能守恒有其中其中 :设棒与小球碰撞后的角速度为设棒与小球碰撞后的角速度为 1（顺时针方向为正），小球（顺时针方向为正），小球速度为速度为v0（斜上方向为正），由系统角动
19、量守恒、机械能守（斜上方向为正），由系统角动量守恒、机械能守恒有恒有Harbin Engineering University孙秋华孙秋华由弹簧系统机械能守恒有由弹簧系统机械能守恒有: 小球碰撞前受力平衡有小球碰撞前受力平衡有Harbin Engineering University孙秋华孙秋华（2）由细杆机械能守恒有）由细杆机械能守恒有Harbin Engineering University孙秋华孙秋华8. 一杂技演员一杂技演员 M 由距水平跷板高为由距水平跷板高为 h 处自由下落到跷板的一处自由下落到跷板的一端端A,并把跷板另一端的演员并把跷板另一端的演员N 弹了起来弹了起来.设跷板是匀
20、质的设跷板是匀质的,长度长度为为l,质量为质量为m , 跷板可绕中部支撑点跷板可绕中部支撑点C 在竖直平面内转动在竖直平面内转动,演演员的质量均为员的质量均为m.假定演员假定演员M落在跷板上落在跷板上,与跷板的碰撞是完全与跷板的碰撞是完全非弹性碰撞非弹性碰撞.问演员问演员N可弹起多高可弹起多高?ll/2CABMNh解解: 碰撞前碰撞前 M 落在落在 A点点 的速度的速度 碰撞后的瞬间碰撞后的瞬间, M、N具有相同的线速度具有相同的线速度Harbin Engineering University孙秋华孙秋华 把把M、N和跷板作为一和跷板作为一个系统个系统, 角动量守恒角动量守恒解得解得:演员演员
21、 N 以以 u 起跳起跳, 达到的高度达到的高度ll/2CABMNhHarbin Engineering University孙秋华孙秋华9.在半径为在半径为R的具有光滑竖直固定中心轴的水平圆盘上，有的具有光滑竖直固定中心轴的水平圆盘上，有一人静止站立在距转轴为处一人静止站立在距转轴为处R/2，人的质量是圆盘质量的，人的质量是圆盘质量的1/10开始时盘载人对地以角速度开始时盘载人对地以角速度0匀速转动，现在此人垂匀速转动，现在此人垂直圆盘半径相对于盘以速率直圆盘半径相对于盘以速率v 沿与盘转动相反方向作圆周运沿与盘转动相反方向作圆周运动，如图所示动，如图所示 已知圆盘对中心轴的转动惯量为已知圆
22、盘对中心轴的转动惯量为MR2/2求求： (1) 圆盘对地的角速度圆盘对地的角速度 (2) 欲使圆盘对地静止，人应沿着圆周对圆盘的速度的大小欲使圆盘对地静止，人应沿着圆周对圆盘的速度的大小及方向？及方向？ R/2Harbin Engineering University孙秋华孙秋华解：解：(1) 设当人以速率设当人以速率v沿相对圆盘转动相反的方向走动时，沿相对圆盘转动相反的方向走动时，圆盘对地的绕轴角速度为圆盘对地的绕轴角速度为，则人对与地固联的转轴的角速，则人对与地固联的转轴的角速度为度为 人与盘视为系统，所受对转轴合外力矩为零，系统的角动人与盘视为系统，所受对转轴合外力矩为零，系统的角动量守恒设盘的质量为量守恒设盘的质量为M，则人的质量为，则人的质量为M / 10，有：，有： Harbin Engineering University孙秋华孙秋华将将式代入式代入式得：式得： (2) 欲使盘对地静止，则式欲使盘对地静止，则式必为零即必为零即 0 +2v / (21R)0 得：得： v21R0 / 2 式中负号表示人的走动方向与上一问中人走动的方式中负号表示人的走动方向与上一问中人走动的方 向相反，向相反，即与盘的初始转动方向一致即与盘的初始转动方向一致
