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1、教教 材材: :材料力学材料力学，欧贵宝等，欧贵宝等，哈尔滨工程大学出版社，哈尔滨工程大学出版社，19971997年年. .授课教师：周授课教师：周 博博1第第5 5章章 平面弯曲平面弯曲5-9 5-9 梁的变形与刚度条件梁的变形与刚度条件5-10 5-10 梁的挠曲线微分方程及其积分梁的挠曲线微分方程及其积分5-11 5-11 用叠加法计算梁的变形用叠加法计算梁的变形5-12 5-12 简单超静定梁及其解法简单超静定梁及其解法5-13 5-13 提高粱承载能力的一些措施提高粱承载能力的一些措施作业：作业：5-20, 5-23, 5-27, 5-32, 5-33, 5-35, 5-362一、工
2、程实践中的弯曲变形问题一、工程实践中的弯曲变形问题 在工程实践中，对某些受弯构件，除要求具有足在工程实践中，对某些受弯构件，除要求具有足够的强度外，还要求变形不能过大，即要求构件有够的强度外，还要求变形不能过大，即要求构件有足够的刚度，以保证结构或机器正常工作。足够的刚度，以保证结构或机器正常工作。5-9 梁的变形与刚度条件梁的变形与刚度条件3 摇臂钻床的摇臂或车床的主轴变形过大，摇臂钻床的摇臂或车床的主轴变形过大，就会影响零件的加工精度，甚至会出现废品。就会影响零件的加工精度，甚至会出现废品。4 桥式起重机的横梁变形过大桥式起重机的横梁变形过大,则会使小车则会使小车行走困难，出现爬坡现象。行
3、走困难，出现爬坡现象。5 但在另外一些情况下，有时却要求构件具但在另外一些情况下，有时却要求构件具有较大的弹性变形，以满足特定的工作需要。有较大的弹性变形，以满足特定的工作需要。 例如，车辆上的板弹簧，要求有足够大的例如，车辆上的板弹簧，要求有足够大的变形，以缓解车辆受到的冲击和振动作用。变形，以缓解车辆受到的冲击和振动作用。61.挠曲线挠曲线二、弯曲变形的基本概念二、弯曲变形的基本概念挠曲线挠曲线72.挠度和转角挠度和转角规定：向上的挠度为正规定：向上的挠度为正 逆时针的转角为正逆时针的转角为正挠曲线方程：挠曲线方程：转角方程：转角方程：8三、梁的刚度条件三、梁的刚度条件v、是构件的许可挠度
4、和转角，它们是构件的许可挠度和转角，它们决定于构件正常工作时的要求。决定于构件正常工作时的要求。95-10 梁的挠曲线微分方程及其积分梁的挠曲线微分方程及其积分一、梁的挠曲线近似微分方程一、梁的挠曲线近似微分方程101112梁的挠曲线近似微分方程梁的挠曲线近似微分方程13二、用积分法求梁的变形二、用积分法求梁的变形式中积分常数式中积分常数C、D由边界条件和连续条件确定由边界条件和连续条件确定14 例例a：已知梁的抗弯刚度为：已知梁的抗弯刚度为EI。试求图示简试求图示简支梁在均布载荷支梁在均布载荷q作用下的转角方程、挠曲线作用下的转角方程、挠曲线方程，并确定方程，并确定max和和vmax。15解
5、：解：由边界条件：由边界条件：得：得：16梁的转角方程和挠曲线方程分别为：梁的转角方程和挠曲线方程分别为：最大转角和最大挠度分别为：最大转角和最大挠度分别为：17 例例b：已知梁的抗弯刚度为：已知梁的抗弯刚度为EI。试求图示悬试求图示悬臂梁在集中力臂梁在集中力P作用下的转角方程、挠曲线方作用下的转角方程、挠曲线方程，并确定程，并确定max和和vmax。18解：解：由边界条件：由边界条件：得：得：19梁的转角方程和挠曲线方程分别为：梁的转角方程和挠曲线方程分别为：最大转角和最大挠度分别为：最大转角和最大挠度分别为：20 例例c：已知梁的抗弯刚度为：已知梁的抗弯刚度为EI。试求图示简试求图示简支梁
6、在集中力支梁在集中力P作用下的转角方程、挠曲线方作用下的转角方程、挠曲线方程，并确定程，并确定max和和 vmax。21解：解：由边界条件：由边界条件：得：得：由对称条件：由对称条件：得：得：22AC段段梁的转角方程和挠曲线方程分别为：梁的转角方程和挠曲线方程分别为：最大转角和最大挠度分别为：最大转角和最大挠度分别为：23 例例d：已知梁的抗弯刚度为：已知梁的抗弯刚度为EI,试求图示简支梁试求图示简支梁的转角方程、挠曲线方程，并确定的转角方程、挠曲线方程，并确定max和和vmax .24解：由对称性，只考虑半跨梁解：由对称性，只考虑半跨梁ACD25由连续条件：由连续条件：由边界条件：由边界条件
7、：由对称条件：由对称条件：26梁的转角方程和挠曲线方程分别为：梁的转角方程和挠曲线方程分别为：最大转角和最大挠度分别为：最大转角和最大挠度分别为：27在材料服从胡克定律、且变形很小的前提下在材料服从胡克定律、且变形很小的前提下,载荷与它所引起的变形成线性关系。载荷与它所引起的变形成线性关系。当梁上同时作用几个载荷时，各个载荷所引起当梁上同时作用几个载荷时，各个载荷所引起的变形是各自独立的，互不影响。的变形是各自独立的，互不影响。若计算几个载荷共同作用下在某截面上引起的若计算几个载荷共同作用下在某截面上引起的变形，则可分别计算各个载荷单独作用下的变变形，则可分别计算各个载荷单独作用下的变形，然后
8、叠加。形，然后叠加。5-11 用叠加法计算梁的变形用叠加法计算梁的变形28例例a：用叠加法求：用叠加法求29解：解：30 例例b：已知梁的：已知梁的 为常数，今欲使梁的挠为常数，今欲使梁的挠曲线在曲线在 处出现一拐点，则比值处出现一拐点，则比值 为多少？为多少？31解：由梁的挠曲线近似微分方程解：由梁的挠曲线近似微分方程知，在梁挠曲线的拐点处有：知，在梁挠曲线的拐点处有：从弯矩图可以看出：从弯矩图可以看出：32例例c：欲使欲使AD梁梁C点挠度为零，求点挠度为零，求P与与q的关系。的关系。33解：解：34 例例d：若图示梁：若图示梁B端的转角端的转角B=0，则力偶矩则力偶矩等于多少？等于多少？3
9、5解：解：36 例例e： 用叠加法求图示变截面梁用叠加法求图示变截面梁B、C截面截面的挠度的挠度 vB 、 vC 。37解：解：38 例例a：图示工字钢梁，：图示工字钢梁， l =8m， Iz=2370cm4, Wz=237cm3， v = l500，E=200GPa，=100MPa。试根据梁的刚度试根据梁的刚度条件，确定梁的许可载荷条件，确定梁的许可载荷 P，并校核强度。并校核强度。39解：由刚度条件解：由刚度条件405-12 简单超静定梁及其解法简单超静定梁及其解法一、超静定梁的概念一、超静定梁的概念对维持梁的平衡来说对维持梁的平衡来说,不必要的约束，称为不必要的约束，称为多余约束多余约束
10、，相应的约束反力称为，相应的约束反力称为多余约束反力多余约束反力。此时支反力的数目将多于平衡方程的数目，此时支反力的数目将多于平衡方程的数目，仅由平衡方程已不能求解。仅由平衡方程已不能求解。这种梁称为这种梁称为超静定梁（或静不定梁）超静定梁（或静不定梁）。L/L/L/ 2 22L/L/L/ 2 22F FF41超静定梁的基本解法超静定梁的基本解法例例 求图示的梁的支反力。解：（1）选取静定基。撤除多余约束，超静定梁变成了静定梁。这个静定梁称为原超静定梁的静定基。以支座B为多余约束，相应的支座反力为多余约束反力。lBqAlBqBRABl42（2）找变形条件。加上原来的均布载荷和多余约束力，受力情
11、况和原超静定梁完全相同。载荷q和多余约束反力共同作用下满足B点挠度等于零的变形条件。即 上式称为变形谐调条变形谐调条件件。AMlARABqBRABlq(a)43（3） 建立补充方程求解多余约束力。载荷q和多余的约束反力在B点分别产生的挠度为 它们表示了力与位移之间的关系，称为物理条件。AMlARBRABqABlq(b)44将（b）式代入（a）式得 （c）这就是补充方程。由此得（4）求其余支反力。然后用静力平衡方程求得其余支反力为AMlARABq45去掉固定端的转动约束，代之以相应约束力MA偶,得到新的静定基。变形协调条件A处的转角为零，即而载荷和约束力偶在A点分别产生转角为联合解得lABqAM
12、46解题方法：解题方法：先选取适当的静定基先选取适当的静定基;通过原超静定梁与静定基的变形进行比较通过原超静定梁与静定基的变形进行比较找出变形谐调条件；找出变形谐调条件；利用力与位移的物理关系得到补充方程，利用力与位移的物理关系得到补充方程，从而求得多余约束力；从而求得多余约束力；由平衡条件求其余支反力。由平衡条件求其余支反力。475.13 提高承载能力的一些措施提高承载能力的一些措施由弯曲正应力强度条件知，提高梁的弯曲强度主要从两个方面来考虑： 一方面是降低梁内最大弯矩值； 另一方面是提高梁横截面的抗弯截面模量值。1.合理安置梁的支座 合理安置梁的支座，能降低梁内的最大弯矩，提高梁的弯曲强度
13、。48如图所示简支梁，受均布载荷q作用，梁内的最大弯矩为ql28ql49若将两支座内移 ，则最大弯矩减少到即仅为前者的 。 q0.2l0.6l0.2l240ql250ql在静定梁上增加支座数目，成为超静定梁，也可以降低梁内最大弯矩，提高弯曲强度。502、合理布置载荷如图所示简支梁，在跨长中点受集中力P，粱内最大弯矩为若将集中力变为分布力或分解为几个较小的集中力，梁内的最大弯矩均减小了一半。p2l2l(a)(b)pql=lp(c)4l4l4l4l51在条件允许的情况下，合理地布置载荷，可以降低梁内最大弯矩，提高弯曲强度。(c)p4l4l4l4lp2l2l(a)(b)pql=l523、合理选择和利
14、用梁的截面形状、合理选择和利用梁的截面形状从弯曲强度考虑，最合理的截面形状，是用最少的材料获得最大抗弯截面模量的截面，故应使抗弯截面模量与该截面面积之比尽可能大。53例如矩形截面梁，截面竖放(图a)比平放(图b)将不易弯断。两者的截面面积相同，上述差别是由于两者的抗弯模量不同。pbzhy(a)pyz(b)54竖放时平放时 两者的比值因此竖放时具有较大的抗弯强度，更为合理。pbzhy(a)pyz(b)554.采用变截面梁采用变截面梁 根据弯矩的变化情况，将梁相应地设计成变截面梁。 在弯矩较大处，采用较大截面；在弯矩铰小处，采用较小截面。 这种截面沿梁轴线变化的梁称为变截面梁。 理想的变截面梁可设计成每个横截面上的最大正应力都正好等于材料的许用应力,即 （a） 这种梁称为等强度梁。56例 试证明在均布载荷作用下，宽度保持不变的等强度悬臂梁具有楔形形状。lq qhb57解：以左侧端点为起点，则 各处， , ，强度条件 则：lq qhbx58解得 m为常数，则 ，为线性函数， ，为楔形。lq qhb5960
