教学课件第四章恒定磁场

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1、第四章 恒定磁场磁场能量第 4 章 恒定磁场 实验表明，导体中有恒定电流通过时，在导体内部和它周围的媒质中 ，不仅有恒定电场 ，同时还有不随时间变化的磁场 ，简称 恒定磁场。 恒定磁场和静电场是性质完全不同的两种场，但在分析方法上却有许多共同之处。学习本章时，注意类比法的应用。4.1 磁感应强度4.1.1 安培力定律 1820年, 法国物理学家安培从实验中总结出电流回路之间的相互作用力的规律,称为安培力定律。 电流 的回路对电流I回路的作用力 F式中真空中的磁导率 H/m4.1.2 毕奥沙伐定律 磁感应强度电流之间相互作用力通过磁场传递。电荷之间相互作用力通过电场传递。定义：磁感应强度单位 T

2、（wb/m2）特斯拉。式中 I1I2oI1dl11）适用条件：无限大均匀媒质 ，且电流分布在有限区域内。写成一般表达式，即毕奥沙伐定律（Biot - Savart Law ) 2）由毕奥沙伐定律可以导出恒定磁场的基本方程（B 的散度与旋度）。3）对于体分布或面分布的电流，Biot - Savart Law 可写成 例 1 试求有限长直载流导线产生的磁感应强度。解:采用圆柱坐标系，取电流Idz，则式中，当 时，图 长直导线的磁场解：元电流 Idl l 在其轴线上P点产生的磁感应强度为 例 2 真空中有一载流为I，半径为 R 的圆形回路，求其轴线上P 点的磁感应强度。 图 圆形载流回路轴线上的磁场

3、分布根据圆环磁场对 P 点的对称性，图 圆形载流回路 由于是无限大电流平面，所以选P点在 y 轴上。根据对称性 , 整个面电流所产生的磁感应强度为 例 3 图示一无限大导体平面上有恒定面电流 ,求其所产生的磁感应强度。解：在电流片上取宽度为 的一条无限长线电流，它在空间引起的磁感应强度为图 无限大电流片及 B B 的分布4.2 磁通连续性原理 安培环路定律4.2.1 磁通连续性原理矢量恒等式所以 表明 B 是无头无尾的闭合线，恒定磁场是无源场。（在任意媒质中均成立）两边取散度可从 Biot-Savart Law 直接导出恒定磁场 B 的散度。1. 恒定磁场的散度则可以作为判断一个矢量场能否成为

4、恒定磁场的必要条件。图 计算体电流的磁场2. 磁通连续性原理 这说明磁场通过任意闭合面的磁通量为零，称之为磁通连续性原理，或称磁场中的高斯定律 (Gausss Law for the Magnetic field )。 仿照静电场的 E 线，恒定磁场可以用 B 线描绘，B 线的微分方程在直角坐标系中散度定理图 磁通连续性原理图 B 的通量 若要计算 B B 穿过一个非闭合面 S S 的磁通，则3. 磁力线B 线的性质： B 线是闭合的曲线; B 线不能相交 ( 除 B = 0 外 )； 闭合的 B 线与交链的电流成 右手螺旋关系； B 强处，B 线稠密，反之，稀疏。图 一载流导线 I 位于无限

5、大铁板上方 的磁场分布（B B 线）图 长直螺线管磁场的分布（B B 线）4.2.2 磁通连续性原理1. 安培环路定律（真空）以长直导线的磁场为例（1）安培环路与磁力线重合（2）安培环路与磁力线不重合（3）安培环路不交链电流（4）安培环路与若干根电流交链该结论适用于其它任何带电体情况。注意：环路方向与电流方向成右手，电流取正，否则取负。图 证明安培环路定律用图例 试求无限大截流导板产生的磁感应强度B解：分析场的分布，取安培环路（与电流交链，成右手螺旋）根据对称性解：这是平行平面磁场，选用圆柱坐标系，应用安培环路定律,得 例 试求载流无限长同轴电缆产生的磁感应强度。图 同轴电缆截面取安培环路 交

6、链的部分电流为图 无限大截流导板应用安培环路定律，得 对于具有某些对称性的磁场，可以方便地应用安培环路定律得到 B 的解析表达式。 图 同轴电缆的磁场分布2. 媒质的磁化（Magnetization） 媒质的磁化产生的物理现象和分析方法与静电场媒质的极化类同。2）媒质的磁化无外磁场作用时，媒质对外不显磁性，图 磁偶极子 图 磁偶极子受磁场力而转动 用磁化强度（Magnetization Intensity）M 表示磁化的程度，即A/m1）磁偶极子分子电流，电流方向与 方向成右手螺旋关系Am2磁偶极矩 在外磁场作用下，磁偶极子发生旋转， 转矩为 Ti=miB ， 旋转方向使磁偶极矩方向与外磁场方

7、向一致，对外呈现磁性，称为磁化现象。图 媒质的磁化3）磁化电流4）磁偶极子与电偶极子对比体磁化电流面磁化电流 有磁介质存在时，场中任一点的 B 是自由电流和磁化电流共同作用在真空中产生的磁场。结论： 磁化电流具有与传导电流相同的磁效应模型 电量产生的电场与磁场电偶极子磁偶极子3. 一般形式的安培环路定律有磁介质时将 代入上式，得移项后定义磁场强度则有说明: H的环量仅与环路交链的自由电流有关。 环路上任一点的 H H 是由系统全部载流体产生的。 电流的正、负仅取决于环路与电流的交链是否满足右手螺旋关系，是为正，否为负。图 H 的分布与磁介质有关图 H 与I 成右螺旋关系4. B B 与 H H

8、 的构成关系实验证明，在各向同性的线性磁介质中式中 磁化率，无量纲量，代入 中 式中 相对磁导率，无量纲， ，单位 H/m。 构成关系例 一矩形截面的镯环，如图示，试求气隙中的 B 和 H。图 镯环磁场分布解： 在镯环中, 有限，故H = 0。取安培环路（与I交链），由 ，得5. H H 的旋度积分式对任意曲面S都成立，则恒定磁场是有旋的 例 有一磁导率为 ，半径为a 的无限长导磁圆柱，其轴线处有无限长的线电流I，圆柱外是空气（0 ），如图所示。试求圆柱内外的 B，H 与 M 的分布。解：磁场为平行平面场,且具有轴对称性，应用安培环路定律，得磁场强度磁化强度磁感应强度 图 磁场分布4.3 恒定

9、磁场的基本方程 分界面上的衔接条件4.3.1 恒定磁场的基本方程媒质的性能方程 例 4.3.1 试判断 能否表示为一个恒定磁场？F2不可能表示恒定磁场。恒定磁场的基本方程表示为（磁通连续原理）（安培环路定律）（无源）（有旋）恒定磁场是有旋无源场,电流是激发磁场的涡旋源F1可以表示为恒定磁场。解：4.3.2 分界面上的衔接条件1. . B 的衔接条件在媒质分界面上，包围P点作一小扁圆柱，令l 0 ，则根据 , 可得B 的法向分量连续2. H 的衔接条件 H 的切向分量不连续H 的切向分量连续当 K = 03. 分界面上的折射定律 当两种媒质均匀、各向同性，且分界面无自由电流线密度K，则折射定律图

10、 分界面上 B 的衔接条件图 分界面上 H 的衔接条件 在媒质分界面上，包围P点作一矩形回路 。 令 , 根据可得例 分析铁磁媒质与空气分界面上磁场的折射情况。解： 它表明只要铁磁物质侧的B不与分界面平行，那么在空气侧的B 可认为近似与分界面垂直。图 铁磁媒质与空气分界面上磁场的折射 即A/mT解：图 含有K K的分界面衔接条件 例 4.3.3 设x = 0 平面是两种媒质的分界面。 ,分界面上有面电流A/m ，且 A/m，试求 B1，B2与 H2 的分布。 4.4 磁矢位及其边值问题4.4.1 磁矢位 A 的引出由4.4.2 磁矢位 A 的边值问题1. 微分方程及其特解( 泊松方程 )( 拉

11、普拉斯方程 ) 当 J J = 0 时 A 称磁矢位，单位： wb/m。库仑规范使得A唯一确定。 可见，每个电流元产生的磁矢位 A 与此元电流Idl，KdS，JdV具有相同的方向。令无限远处A的量值为零（参考磁矢位），则特解为 面电流与线电流引起的磁矢位为a）围绕 P点作一矩形回路，则当 时, 即b）围绕P点作一扁圆柱，则当 时， 即 表明在媒质分界面上磁矢位 A 是连续的。2. 分界面上的衔接条件图 磁矢位 A 分界面上的衔接条件综合两个结论，有根据 有根据由于 ， 4.4.3 磁矢位 A 的应用 1) 矢量积分求A解：取圆柱坐标 例 空气中有一长度为 l ，位于 z 轴上的短铜线，电流 I

12、 沿 z 轴方向，试求离铜线较远处（R l ）的磁感应强度。 图 位于坐标原点的短铜线4.5 磁位及其边值问题4.5.1 磁位 的引出恒定磁场无电流区域标量磁位，简称磁位，单位：A（安培）。 磁位 m 仅适合于无自由电流区域，且无物理意义。磁位m 的特点： 等磁位面（线）方程为 m= 常数，等磁位面（线）与磁场强度 H 线垂直。 m 的多值性则 在恒定磁场中， 设B 点为参考磁位，由安培环路定律，得推论 多值性 图 磁位 与积分路径的关系 为了克服 m 多值性，规定积分路径不得穿过从电流回路为周界的 S 面（磁屏障面）。4.5.3 磁位 、磁矢位 A 与电位 的比较位 函 数比较内容引入位函数

13、的依据位与场的关系微分方程位与源的关系电位磁位磁矢位（A）(有源或无源）(无源）(有源或无源）4.5.2 磁位 的边值问题（适用于无自由电流区域）2. 分界面上的衔接条件推导方法与静电场类似，由推导得4.7 电 感4.7 .1 自感 在线性各向同性媒质中，L 仅与回路的几何尺寸、媒质参数有关，与回路的电流无关。自感计算的一般步骤：设回路的电流与该回路交链的磁链的比值称为自感。即单位:H（亨利） 自感又分为内自感 Li 和外自感 L0 。内自感是导体内部仅与部分电流交链的磁链与回路电流比值。 外自感是导体外部闭合的磁链与回路电流的比值。图 内磁链与外磁链设安培环路包围部分电流 ，则有磁链中的匝数

14、，可根据因此，有内自感例 4.7.1试求图示长为 的同轴电缆的自感 L。图4.7.3 同轴电缆内导体纵截面穿过宽度为 ,长度为 l 的矩形面积的磁通为图 同轴电缆截面1)内导体的内自感 解： 总自感工程上视同轴电缆外导体为面分布的电流，故忽略此部分的内自感 。3） 内、外导体间的外自感 故总电感为2）外导体内自感 4.7.2 互感式中，M21 为互感，单位:H(亨利） 互感是研究一个回路电流在另一个回路所产生的磁效应，它不仅与两个回路的几何尺寸和周围媒质有关，还和两个回路之间的相对位置有关。 在线性媒质中，回路1的电流 产生与回路2相交链的磁链 与 成正比。同理，回路2对回路1的互感可表示为可

15、以证明图 电流I1 产生与回路2交链的磁链计算互感的一般步骤：设4.7.3 黎曼公式应用磁矢位 A 计算互感与自感的一般公式。求两导线回路的互感 将式（1）代入式（2）得则两细导线回路间的互感若回路1、2分别由 N1、N2 细线密绕，互感为设回路 1 通以电流 I1，则空间任意点的磁矢位为穿过回路2 的磁通为图 两个细导线电流回路4.8 磁场能量 磁场作为一种特殊的物质，和电场一样具有能量。4.8.1 恒定磁场中的能量 是回路k 独存在时的能量，称为自有能量。自有能量始终大于零。 与两回路的电流及互感系数有关，称为互有能。 对于单一回路对于线性、均匀、各向同性媒质磁场能量4.8.2 磁场能量的

16、分布及磁能密度 单位：J（焦耳）上式表明磁能是储存在整个场域中。磁能密度单位： 例 4.8.1 长度为 ,内外导体半径分别为 R1 与 R2 的同轴电缆，通有电流 I ，试求电缆储存的磁场能量与自感。解：由安培环路定律，得磁能为自感图 同轴电缆截面3.8.3 磁场力 磁场能量的宏观效应就是载流导体或运动的电荷 在磁场中要受到力的作用。仿照静电场，磁场力的计算也有三种方法。1. 安培力 例 求如图通以电流 I 的两块大平行导板间的相互作用力。B 板产生的磁场解： 由安培力定律，得A 板产生的磁场两板间的磁场A板受力图 两平行导板间的磁力2.虚位移法电源提供的能量 = 磁场能量的增量 + 磁场力所

17、做的功 常电流系统 常磁链系统 表明外源提供的能量，一半用于增加磁场能量，另一半提供磁场力作功，即 假设系统中 n 个载流回路分别通有电流I1，I2，In，仿照静电场， 当回路仅有一个广义坐标发生位移 dg ，该系统中发生的功能过程是 由于各回路磁链保持不变，故各回路没有感应电动势，电源不提供（增加的）能量，即 ，所以 ，只有减少磁能来提供磁场力作功，故有由此得广义力由此得广义力 在实际问题中，若求相互作用力，只需求出互有磁能，并以相对位置为广义坐标，利用上式即可得到相应的广义力。 例 试求图示载流平面线圈在均匀磁场中受到的转距。设线圈中的电流I1，线圈的面积为 S，其法线方向与外磁场 B 的夹角为 。解：系统的相互作用能为选 为广义坐标，对应的广义力是转距，即式中m=IS 为载流回路的磁偶极矩；T0 表示广义力（转矩）企图使广义坐标 减小，使该回路包围尽可能多的磁通。用矢量表示为图 外磁场中的电流回路 两种假设结果相同，即