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1、第第7 7节节 空间曲线的曲率空间曲线的曲率 (Curvature of Curve in Space)1.曲率的定义2.2.曲率的计算曲率的计算3.曲率圆与曲率半径(circle of curvature and radius of curvature )2013年5月1南京航空航天大学 理学院 数学系曲率是描述曲线局部性质曲率是描述曲线局部性质（弯曲程度）（弯曲程度）的量的量.)弧段弯曲程度弧段弯曲程度越大越大,转角越大转角越大转角相同弧段越短转角相同弧段越短弯曲程度越大弯曲程度越大1 1 曲率的定义曲率的定义)曲线的弯曲程度与弧段切线的转角大小成正比，曲线的弯曲程度与弧段切线的转角大小成
2、正比，与弧长成反比与弧长成反比. .第第7节节 空间曲线的曲率空间曲线的曲率2（设曲线设曲线G G是是光滑的光滑的，（定义定义曲线曲线G G在点在点M处的曲率处的曲率有连续变动的切线有连续变动的切线3解解: : 如图所示如图所示 , ,例例1 直线段直线段AB的平均曲率为零的平均曲率为零例例2 圆上任意弧段的平均曲率等于半径的倒数圆上任意弧段的平均曲率等于半径的倒数注意注意: :(1) 直线的曲率处处为零直线的曲率处处为零;(2) 圆上各点处的曲率等于半径的倒数圆上各点处的曲率等于半径的倒数,且且半径越小曲率越大半径越小曲率越大.42 2 曲率的计算公式曲率的计算公式对于空间曲线：对于空间曲线
3、：5 小结小结曲率曲率刻画曲线的弯曲程度刻画曲线的弯曲程度曲线曲线弯曲的角度弯曲的角度随弧长的变化率随弧长的变化率切线转过切线转过的角度的角度基本结论基本结论：See P127.定理定理7.16对于用对于用一般参数方程表示一般参数方程表示的空间曲线：的空间曲线：曲率计算公式：曲率计算公式：对于平面曲线对于平面曲线: :曲率计算公式：曲率计算公式：See P127 的推论的推论See P127（7.11）式）式7(1) (1) 曲线由直角坐标方程给出曲线由直角坐标方程给出: :则曲率公式则曲率公式(2) (2) 曲线由极坐标方程给出曲线由极坐标方程给出: :8例例7.4 求螺旋线求螺旋线的曲率的
4、曲率解解9例例解解显然显然,10要使要使 最大，最大， 必有必有 最小，最小，此时此时 最大，最大，解解 椭圆椭圆 上哪些点处曲率最上哪些点处曲率最大和最小？大和最小？例例4 4要使要使 最小，最小，必有必有 最大，最大，此时此时 最小最小113. 3. 曲率圆与曲率半径曲率圆与曲率半径定义定义14由此可得曲率中心公式由此可得曲率中心公式(注意注意与与异号异号 )161.曲线上一点处的曲率半径与曲线在该点处的曲线上一点处的曲率半径与曲线在该点处的曲率互为倒数曲率互为倒数.注意注意: :2.曲线上一点处的曲率半径越大曲线上一点处的曲率半径越大,曲线在该点曲线在该点处的曲率越小处的曲率越小(曲线越
5、平坦曲线越平坦);曲率半径越小曲率半径越小,曲曲率越大率越大(曲线越弯曲曲线越弯曲).3.曲线上一点处的曲率圆弧可近似代替该点附曲线上一点处的曲率圆弧可近似代替该点附近曲线弧近曲线弧(称为曲线在该点附近的二次近似称为曲线在该点附近的二次近似).4. 在点在点P 处曲率圆与曲线有下列密切关系处曲率圆与曲线有下列密切关系:(1) 有公切线有公切线;(2) 凹向一致凹向一致;(3) 曲率相同曲率相同 .171.1.曲率的定义曲率的定义2 2 曲率的计算公式曲率的计算公式小结18平面曲线的曲率计算公式平面曲线的曲率计算公式3. 3. 曲率圆曲率圆, ,曲率半径和曲率中心曲率半径和曲率中心19解解由题设条件由题设条件,必在该点处具有相同的一阶导数和二阶导数必在该点处具有相同的一阶导数和二阶导数,于是有于是有20EX2. 求双曲线求双曲线的曲率半径的曲率半径 R , 并分析何处并分析何处 R 最小最小?解解:则则利用利用21
