《高等数学课件：8-8多元函数的极值及其求法》由会员分享，可在线阅读，更多相关《高等数学课件：8-8多元函数的极值及其求法（28页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、一一 问题的提出问题的提出二二 多元函数的极值和最值多元函数的极值和最值第八节第八节 多元函数的极值和最值多元函数的极值和最值五五 思考判断题思考判断题三三 条件极值拉格朗日乘数法条件极值拉格朗日乘数法四四 结论结论(Absolute maximum and minmum values)vms7/27/20241一一 问题的提出问题的提出ABCD7/27/20242二二 多元函数的极值和最值多元函数的极值和最值1 1 二元函数极值的定义二元函数极值的定义(Absolute maximum and minmum values)7/27/20243(1)(2)(3)例例1 1例例例例7/27/20
2、2442 2 多元函数取得极值的条件多元函数取得极值的条件证证7/27/202457/27/20246 仿照一元函数，凡能使一阶偏导数同时为零的点，均称为函数的驻点.驻点极值点问题：如何判定一个驻点是否为极值点？注意：7/27/202477/27/20248解解7/27/202497/27/2024107/27/202411求最值的一般方法： 1）将函数在D内的所有驻点处的函数值 2）求D的边界上的最大值和最小值 3）相互比较函数值的大小，其中最大者即为最大值，最小者即为最小值. 与一元函数相类似，我们可以利用函数的极值来求函数的最大值和最小值.3 3 多元函数的最值多元函数的最值7/27/2
3、02412解解如图如图,7/27/2024137/27/2024147/27/2024154 4 最值问题应用最值问题应用( (Application)Application)例例6 某厂要用铁板做成一个体积为2的有盖长方体水箱，问长宽高各取怎样的尺寸时，才能使用料最省？解：设水箱的长为x,宽为y,则其高为此水箱的用料面积7/27/202416时，A取得最小值，根据题意可知，水箱所用材料的面积的最小值一定存在，并在开区域D(x0,y0)内取得。又函数在D内只有唯一的驻点，因此可断定当就是说，当水箱的长、宽、高均为时，水箱所用的材料最省。7/27/202417三三 条件极值拉格朗日乘数条件极值拉
4、格朗日乘数( (Lagrange)Lagrange)条件极值：对自变量有附加条件的极值无条件极值：对自变量除有定义域的限制外无任何其它条件限制的极值无条件极值可根据前面的方法求定义域上的极值条件极值可化为无条件极值来计算，比如前面的例6。(Conditional extremum)7/27/202418条件极值还可以应用拉格朗日乘数法来计算7/27/2024197/27/202420解解则7/27/2024217/27/202422解7/27/2024237/27/2024247/27/202425可得即7/27/202426多元函数的极值拉格朗日乘数法（取得极值的必要条件、充分条件）多元函数的最值四四 小结小结7/27/202427五五 思考判断题思考判断题7/27/202428
