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1、如果积分区域如果积分区域 D 为：为：其中函数其中函数 、 在区间在区间 上连续上连续.2 Evaluation of Double Integral 一、 Double Integral in Rectangular CoordinatesX型区域型区域 X型型区域的特点区域的特点： 穿过区域且平行于穿过区域且平行于y轴的直轴的直线与区域边界相交不多于两个交点线与区域边界相交不多于两个交点.应用计算应用计算“平行截平行截面面积为已知的立面面积为已知的立体求体积体求体积”的方法的方法,得得根据二重积分的几何意义根据二重积分的几何意义, ,当当 时时, ,D如果积分区域如果积分区域 D 为：为：
2、Y型区域型区域 Y型型区域的特点区域的特点：穿过区域且平行于穿过区域且平行于x轴的直轴的直线与区域边界相交不多于两个交点线与区域边界相交不多于两个交点.当被积函数均非负均非负在在D上上变号变号时时,因此上面讨论的二次积分法仍然有效因此上面讨论的二次积分法仍然有效 .由于由于说明: (1) 若积分区域既是X型区域又是Y 型区域 , 为计算方便为计算方便,可可选择积分序选择积分序, 必要时还可以必要时还可以交换积分序交换积分序.则有则有(2) 若积分域较复杂若积分域较复杂,可将它分成若干可将它分成若干X-型域或型域或Y-型域型域 , 则则 Eg.1注意两种积分次序的注意两种积分次序的 计算效果！计
3、算效果！Sol.1 将将D看作看作X型区域型区域, 则则Sol.2 将将D看作看作Y型区域型区域, 则则Eg.2 计算其中其中D 是抛物线是抛物线所围成的闭区域所围成的闭区域. Sol. 为计算简便为计算简便, 先对先对 x 后对后对 y 积分积分,及及直线直线则则 Eg.3Sol.X-型型Eg.4Sol.积不出的积分，无法计算。积不出的积分，无法计算。 由以上几例可见，为了使二重积分的计算较为由以上几例可见，为了使二重积分的计算较为简便，究竟选用哪一种积分次序主要由积分区域的简便，究竟选用哪一种积分次序主要由积分区域的特点来确定，同时还要兼顾被积函数的特点，看被特点来确定，同时还要兼顾被积函
4、数的特点，看被积函数对哪一个变量较容易积分，总之要兼顾积分积函数对哪一个变量较容易积分，总之要兼顾积分区域和被积函数的特点。区域和被积函数的特点。 有些二次积分为了积分方便有些二次积分为了积分方便, 还需交换积分顺还需交换积分顺序序.Eg.5 交换下列积分顺序Sol. 积分域由两部分组成积分域由两部分组成:视为视为Y型区域型区域 , 则则Sol. 积分域由两部分组成积分域由两部分组成:D1D2视为视为Y型区域型区域 , 则则Eg.7Sol.Sol.Sol. 化二重积分为二次积分时选择积分次序的重化二重积分为二次积分时选择积分次序的重要性，有些题目两种积分次序在计算上难易程度差要性，有些题目两种
5、积分次序在计算上难易程度差别不大，有些题目在计算上差别很大，甚至有些题别不大，有些题目在计算上差别很大，甚至有些题目对一种次序能积出来，而对另一种次序却积不出目对一种次序能积出来，而对另一种次序却积不出来来. 另外交换二次积分的次序：先由二次积分找另外交换二次积分的次序：先由二次积分找出二重积分的积分区域，画出积分区域，再交换积出二重积分的积分区域，画出积分区域，再交换积分次序，写出另一种次序下的二次积分分次序，写出另一种次序下的二次积分.以上各例说明以上各例说明性质: : 设函数D 位于位于 x 轴上方的部分为轴上方的部分为D1 , 当区域关于当区域关于 y 轴对称轴对称, 函数关于变量函数
6、关于变量 x 有奇偶性有奇偶性时时, 在在 D 上上在闭区域上连续在闭区域上连续, 域域 D 关于关于x 轴轴则则则则仍有类似结果仍有类似结果. .在第一象限部分在第一象限部分, 则则有有对称对称 , Eg.10 计算其中其中D 由由所围成所围成.Sol. 令(如图所示)显然,Eg.11 求两个底圆半径为R 的直角圆柱面所围的体积.Sol. 设两个直圆柱方程为设两个直圆柱方程为利用对称性利用对称性, 考虑第一卦限部分考虑第一卦限部分,其曲顶柱体的顶为其曲顶柱体的顶为则所求体积为则所求体积为Sol.曲面围成的立体如图曲面围成的立体如图.二重积分在直角坐标下的计算公式二重积分在直角坐标下的计算公式
7、（在积分中要正确选择在积分中要正确选择积分次序积分次序）小结Y型型X型型思考与练习1. 设设且且求求解解:交换积分顺序后交换积分顺序后, x , y互互换换2 2解解 先去掉绝对值符号，如图先去掉绝对值符号，如图将将D 分为分为添加辅助线添加辅助线利用对称性利用对称性 , 得得3. 计算二重积分解解: :积分域如图积分域如图, ,其中其中 D由直线由直线围成围成 .证明证明证证: :左端左端5.证证: :左端左端练练 习习 题题练习题答案练习题答案二、 Double Integral in Polar Coordinates 设设 D :则则若若 f 1 则可求得则可求得D 的面积的面积特别特
8、别,若若D:则则D:进一步进一步,若若则则Sol.Eg.2 计算其中其中Sol. 在极坐标系下在极坐标系下原式原式的原函数不是初等函数的原函数不是初等函数 , 故本题无法用直角故本题无法用直角由于由于故故坐标计算坐标计算.注:利用例利用例2可得到一个在概率论与数理统计及工程上可得到一个在概率论与数理统计及工程上非常有用的反常积分公式非常有用的反常积分公式事实上事实上, 当当D 为为 R2 时时,利用例利用例2的结果的结果, 得得故故式成立式成立 .Sol.Sol.Sol.AEg.6 求球体被圆柱面被圆柱面所截得的所截得的(含在柱面内的含在柱面内的)立体的体积立体的体积. Sol. 设设由对称性可知由对称性可知二重积分在极坐标下的计算公式二重积分在极坐标下的计算公式（在积分中注意使用在积分中注意使用对称性对称性）小结1. 计算二重积分其中其中 D为圆域为圆域解解: 利用对称性利用对称性.思考与练习2.解解练练 习习 题题练习题答案练习题答案
