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1、1议程(ychng)FDTD简介差分运算基本概念FDTD基本原理解的稳定性数值色散(ssn)吸收边界条件第1页/共18页第一页，共19页。2FDTD简介(jin ji)时域有限差分法 (FDTD, Finite-Difference Time-Domain)是1966年K.S.Yee发表在AP上的一篇论文建立起来的，后被称为Yee网格空间离散方式核心思想是把带时间变量的Maxwell旋度方程转化为差分形式，模拟出电子脉冲和理想导体作用的时域响应号称目前计算电磁学界最受关注，最时髦的算法，但还在发展完善之中国外已有多种基于FDTD算法的电磁场计算的软件:XFDTD，等等关键的三大要素(yo s)
2、差分格式解的稳定性吸收边界条件FDTD的特点广泛的应用性节约运算和存储空间适合并行计算计算程序的通用性简单直观，容易掌握第2页/共18页第二页，共19页。3差分(chfn)计算基本概念设函数(hnsh)f(x),独立变量x有很小的增量，则有Taylor公式(gngsh)可得:由上可知：中心差分截断的误差最小，大致和由上可知：中心差分截断的误差最小，大致和h的二次方成正比的二次方成正比!第3页/共18页第三页，共19页。4有限差分(chfn)通常采用的步骤采用一定的网格划分方式(fngsh)离散化场域对场内的偏微分方程及各种边界条件进行差分离散化处理，建立差分格式，得到差分方程组结合选定的代数方
3、程组的解法，编制程序，求边值问题的数值解FDTD就是按照这个步骤，结合自身的特点进行!第4页/共18页第四页，共19页。5FDTD基本原理Maxwell旋度方程(fngchng)可以推出此六个耦合方程(fngchng)Maxwell方程组第5页/共18页第五页，共19页。6FDTD基本原理(续)Yee首先在空间上建立矩形(jxng)差分网格，在时刻nt时刻，F(x,y,z)可以写成用中心差分取二阶精度：对空间(kngjin)离散:对时间(shjin)离散:(1)(2)第6页/共18页第六页，共19页。7FDTD基本原理(续)为了满足(1)式空间精度的要求，并满足(2)式，Yee把空间任一网格上
4、的E和H的六个分量，如下(rxi)图放置:Yee把E 和H 在时间(shjin)长相差半个步长计算(为了满足精度的要求)。 第7页/共18页第七页，共19页。8FDTD基本原理(续)根据这一原则(yunz)可以写出六个差分方程: 其余的也如法可以写出，每个网格点上的个场分两的新值依赖于该点在前一时间步长时刻的值机该点周围的临近点上另一场量在早半个时间步长时的值。因此任一时刻可一次算出一个点，并行算法可计算出多个点。通过这些(zhxi)运算可以交替算出电场磁场在各个时间步的值。第8页/共18页第八页，共19页。9数值(shz)稳定性条件问题的提出时间步长t，空间步长x,y,z必须满足一定的关系，
5、否则就使得数值(shz)表现不稳定，表现为：随着计算步数的增加，计算场量的数值(shz)会无限的增大，这种增大不是由于误差积累造成的，而是由于电磁波的传播关系被破坏造成的。所以t,x,y,z必须满足一定的关系以保证稳定性第9页/共18页第九页，共19页。10数值(shz)稳定性的条件当当x= y= z的时候，即：空间的时候，即：空间(kngjin)步长相等步长相等的时候的时候:数值数值(shz)稳定的稳定的条件：条件：而一般取：而一般取：当当 x, x, y, y, z z不相等时：不相等时：C：为光速，自由空间中：是根据电磁原理用数学推导出来的，这里只给出结论，即保证数值稳定的条件如下：第1
6、0页/共18页第十页，共19页。11产生原因FDTD网格中，会导致数字波模在网格中发生改变，这种改变是由于计算网格本身引起的，而非物理因素(yns)，所以必须考虑适当选取时间步长，空间步长，传播方向，可以得到理想情况（我们实验只需考虑这种特殊情况）3-D方形网格：取波沿对角线传播(数值稳定的极限状态),可得理想色散关系。2-D方形网格:也是沿对角线传播，（也是数值稳定的极限状态）1-D网格(数值稳定的极限状态)数值(shz)色散第11页/共18页第十一页，共19页。12吸收(xshu)边界条件问题的提出在电磁场的辐射和散射问题中，边界总是开放(kifng)的，电磁场占据无限大空间，而计算机内存
7、是有限的，所以只能模拟有限空间。即：时域有限差分网格将在某处被截断。这要求在网格截断处不能引起波的明显反射，因而对向外传播的波而言，就像在无限大的空间传播一样，一种行之有效的方法是在截断处设置一种吸收边界条件。使传播到截断出的波被边界吸收而不产生反射。吸收边界条件很多，而且是研究的热点，吸收边界条件很多，而且是研究的热点，下面只给出下面只给出Engquist-MajdaEngquist-Majda吸收边界条件，采用吸收边界条件，采用MurMur差分差分(ch fn)(ch fn)格式格式第12页/共18页第十二页，共19页。13Engquist-Majda边界(binji)吸收条件，Mur差分
8、格式总体(zngt)虚假反射在1%5%之间一维一阶近似情形(qng xing), x=0边界:二维二阶近似情形, x=0边界:第13页/共18页第十三页，共19页。14Engquist-Majda边界吸收条件，Mur差分(ch fn)格式(续)三维二阶近似(jn s)情形, x=0边界:Mur吸收边界在角点处不适用，因为其中要用到的某些网格点位于网格区域以外，这些网格点的场量的数据(shj)无法知道，需要其它处理方法。第14页/共18页第十四页，共19页。15一维FDTD计算( jsun)的例子xEy自由空间中，一维FDTD,采用(ciyng)一阶Mur吸收边界条件，时间步长为：高斯激励源，激
9、励源的位置在中心网格的中心位置。Nt=120第15页/共18页第十五页，共19页。16算法(sunf)的复杂度和可并行性时间复杂度与网格个数成正比空间复杂度自由空间中也是与网格个数成正比并行的可行性串行情况下，一次只能算出一个点的场值，并行情况下，可以(ky)同时计算多个点的场值每一步计算只与附近的点有数据依赖关系可以(ky)考虑利用CELL中SPU的矢量计算功能第16页/共18页第十六页，共19页。TheEnd第17页/共18页第十七页，共19页。18感谢您的观赏(gunshng)第18页/共18页第十八页，共19页。内容(nirng)总结1。是1966年K.S.Yee发表在AP上的一篇论文建立起来的，后被称为Yee网格空间离散方式。核心思想是把带时间变量的Maxwell旋度方程(fngchng)转化为差分形式，模拟出电子脉冲和理想导体作用的时域响应。国外已有多种基于FDTD算法的电磁场计算的软件:XFDTD，等等。由上可知：中心差分截断的误差最小，大致和h的二次方成正比。Maxwell旋度方程(fngchng)可以推出此六个耦合方程(fngchng)。C：为光速，自由空间中：。第17页/共18页第十九页，共19页。
