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1、2.5等比数列的前N项和121.等比数列的前n项和公式数列an是公比为q的等比数列,则当q=1时,Sn=na1;练一练1等比数列an的公比q=2,首项a1=2,则Sn等于()A.n2+nB.n2-nC.2n+1-2 D.2n-1答案:C12名师点拨1.推导等比数列前n项和的方法为错位相减法.2.在运用等比数列的前n项和公式时,一定要注意对公比q的讨论(q=1或q1).3.当q1时,若已知a1及q,则用公式 较好;若已知an,则用公式 较好.122.等比数列前n项和性质(1)在等比数列an中公比q-1时,连续相同项数和也成等比数列,即Sk,S2k-Sk,S3k-S2k,仍成等比数列.(2)当n为
2、偶数时,偶数项之和与奇数项之和的比等于等比数列的公比,即(3)若一个非常数列an的前n项和Sn=-Aqn+A(A0,q0,nN*),则数列an为等比数列,即Sn=-Aqn+A数列an为等比数列.练一练2已知数列an是等比数列,其前n项和为Sn,若S2=2,S4=6,则S6=.解析:由题意知S2,S4-S2,S6-S4成等比数列,又S2=2,S4-S2=4,S6-S4=8,S6=8+S4=14.答案:14探究一探究二探究三探究四探究一等比数列前探究一等比数列前n项和的基本计算项和的基本计算在等比数列an的五个量a1,q,an,n,Sn中,a1与q是最基本的元素,已知其中三个,求其余两个时,可利用
3、通项公式与求和公式,列出方程组求解,即“知三求二”.在解方程组时,要注意整体思想的运用,如qn, 都可看作一个整体.探究一探究二探究三探究四典型例题1在等比数列an中,其前n项和为Sn.(1)S2=30,S3=155,求Sn;(2)若Sn=189,a1=3,an=96,求q和n.思路分析:可利用等比数列的求和公式列方程(组)求解.探究一探究二探究三探究四(2)等比数列an中,a1=3,an=96,Sn=189, =189.q=2.an=a1qn-1.96=32n-1.n=5+1=6.探究一探究二探究三探究四变式训练1设数列an是等比数列,Sn是其前n项和.(1)若a1+a3=10,a4+a6=
4、 求a4和S5;(2)若q=2,S4=1,求S8.探究一探究二探究三探究四探究一探究二探究三探究四探究一探究二探究三探究四探究二等比数列前探究二等比数列前n项和的性质的应用项和的性质的应用等比数列前n项和的性质是在等比数列的通项公式、前n项和公式及等比数列的性质的基础上推得的,因而利用有关性质可以简化计算,但通项公式、前n项和公式仍是解答等比数列问题的最基本方法.探究一探究二探究三探究四典型例题2(1)在等比数列an中,已知Sn=48,S2n=60,求S3n;(2)一个等比数列的首项为1,项数是偶数,其奇数项的和为85,偶数项和为170,求出数列的公比和项数.思路分析:用求和公式直接求解或用性
5、质求解.探究一探究二探究三探究四探究一探究二探究三探究四(方法二)an为等比数列,Sn,S2n-Sn,S3n-S2n也成等比数列,(S2n-Sn)2=Sn(S3n-S2n),探究一探究二探究三探究四探究一探究二探究三探究四(方法二)由等比数列前n项和的性质知S偶=qS奇.又S偶=170,S奇=85,q=2.又Sn=170+85=255,a1=1, 255,即2n=256,n=8.数列的公比为2,项数为8.探究一探究二探究三探究四变式训练2等比数列an共有2n项,它的全部各项的和是奇数项的和的3倍,则公比q=.解析:设an的公比为q,由已知可得q1,则奇数项也构成等比数列,其公比为q2,首项为a
6、1,答案:2探究一探究二探究三探究四探究三等差、等比数列的综合应用探究三等差、等比数列的综合应用1.等差数列与等比数列相结合的综合问题是高考考查的重点,特别是等差、等比数列的通项公式、前n项和公式以及等差中项、等比中项问题是历年命题的热点.2.利用等比数列前n项和公式时注意公比q的取值,同时对两种数列的性质,要熟悉它们的推导过程,利用好性质,可降低题目的难度,解题时有时还需利用条件联立方程组求解.探究一探究二探究三探究四典型例题3已知Sn是无穷等比数列an的前n项和,且公比q1,已知1是 的等差中项,6是2S2和3S3的等比中项.(1)求S2和S3;(2)求此数列an的前n项和公式;(3)求数
7、列Sn的前n项和.思路分析:先利用等差中项与等比中项求出S2与S3,进而求出a1与公比q,再写出Sn,根据Sn的特点求Sn的前n项和.探究一探究二探究三探究四探究一探究二探究三探究四探究一探究二探究三探究四探究四易错辨析探究四易错辨析易错点未讨论q是否为1致错典型例题4已知等比数列an中,其前n项和为Sn,a1=2,S3=6,求a3和q.错解:由等比数列的前n项和公式,解得q=-2.故a3=a1q2=2(-2)2=8.错因分析:在上面的求解过程中,没有讨论公比q是否为1,就直接使用了等比数列的前n项和公式 ,从而出现漏解情况.探究一探究二探究三探究四正解:若q=1,则S3=3a1=6,符合题意
8、.此时,q=1,a3=a1=2.若q1,则由等比数列的前n项和公式,解得q=1(舍去)或q=-2.此时,a3=a1q2=2(-2)2=8.综上所述,a3=2,q=1或a3=8,q=-2.1 2 3 4 51.已知等比数列的公比为2,且前5项和为1,那么前10项的和等于()A.31B.33C.35D.37答案:B1 2 3 4 52.等比数列an的前n项和为Sn,已知S3=a2+10a1,a5=9,则a1=()解析:设公比为q,S3=a2+10a1,a5=9,答案:C1 2 3 4 53.等比数列an的前5项和S5=10,前10项和S10=50,则它的前15项和S15=.解析:S5=10,S10=50,且an是等比数列,S5=10,S10-S5=40,S15-S10=160.S15=10+40+160=210.答案:2101 2 3 4 54.已知等比数列an的前n项和Sn=4n+a,则a的值等于.答案:-11 2 3 4 55.设等比数列an的前n项和为Sn,已知a2=6,6a1+a3=30,求an和Sn.当a1=3,q=2时,an=32n-1,Sn=3(2n-1);当a1=2,q=3时,an=23n-1,Sn=3n-1.
