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1、第四章第四章 一般概率论基础一般概率论基础本章内容提要本章内容提要有限概率空间有限概率空间无限概率空间无限概率空间定义定义可以写出所有可能的结果可以写出所有可能的结果不能写出所有可能的结果不能写出所有可能的结果概率测度概率测度（ ，P P）（ ，F，P）随机变量随机变量X: X: R RX: X: B B（R R中的开区间）中的开区间）分布分布取不同值的概取不同值的概率表述率表述期望期望LebesgueLebesgue积分积分条件期望条件期望EX|GEX|G2024/7/272CopyrightPei Zhang 20144.1 一般概率论一般概率论无限概率空间：无限概率空间：随机试验存在随机
2、试验存在无穷多个可能结果无穷多个可能结果单位区间单位区间0，1中随机选择一个数中随机选择一个数连续抛掷硬币无穷多次连续抛掷硬币无穷多次不能通过对样本空间子集（事件）的不能通过对样本空间子集（事件）的所有元素的概率求和来确定事件发生所有元素的概率求和来确定事件发生的概率。的概率。（因为任何一个特定结果出（因为任何一个特定结果出现的概率均为现的概率均为0）2024/7/273CopyrightPei Zhang 2014定义（定义（ -代数）代数）设设为非空集合，为非空集合，F为为的的子集族子集族。则。则F是是一个一个 -代数（代数（ - 域域 domain），如果：，如果：（1）空集）空集 属于
3、属于F（2）只要）只要A属于属于F，则余集，则余集 也属于也属于F（3）只要一列集合）只要一列集合A1、 A2， 属于属于F，则，则并集并集 也属于也属于F。对对 -代数中的集合进行任何运算（有限并、代数中的集合进行任何运算（有限并、无限交、有限交、全空间），其结果仍在无限交、有限交、全空间），其结果仍在该该 -代数中代数中2024/7/274CopyrightPei Zhang 2014概率测度（无限空间）概率测度（无限空间）定义：设定义：设为非空集合，为非空集合，F为为子集的一个子集的一个 -代数。概率测度代数。概率测度P是是F上的一个函数，它上的一个函数，它为每个集合为每个集合AF指定为
4、指定为0,1中的一个数中的一个数P（A），称为），称为A的的概率概率。我们要求：。我们要求：（1）P（ ）=1（2）（可数可加性）设）（可数可加性）设A1、 A2是是F中互不中互不相交的集合，则相交的集合，则:称（称（ ，F，P）为）为概率空间概率空间2024/7/275CopyrightPei Zhang 2014例：勒贝格测度（例：勒贝格测度（L）定义闭区间定义闭区间a,b的概率为：的概率为：由闭区间生成的由闭区间生成的 -代数称为代数称为0,1的子集的子集的的Borel -代数代数，这一，这一 -代数中的集合代数中的集合称为称为Borel集集。2024/7/276CopyrightPei
5、 Zhang 2014例：无穷次独立抛掷硬币的空间例：无穷次独立抛掷硬币的空间连续抛掷硬币无穷多次，连续抛掷硬币无穷多次，表示所有可能结果的集合。假设每次抛掷硬表示所有可能结果的集合。假设每次抛掷硬币出现正面的概率为币出现正面的概率为p p，出现背面的概率为，出现背面的概率为q q，各次抛掷都是相互独立的，如何建立这，各次抛掷都是相互独立的，如何建立这一随机试验的概率测度？一随机试验的概率测度？2024/7/277CopyrightPei Zhang 20144.2 随机变量和分布随机变量和分布定义：设定义：设（ ，F，P）是一个概率空间。）是一个概率空间。随机变量随机变量X是定义在是定义在上
6、满足以下性质的上满足以下性质的实值函数：对于实值函数：对于R的任何的任何Borel子集子集B，下，下列列的子集：的子集：都在都在 -代数代数F中。中。主要考虑主要考虑X取值在某一集合上的概率取值在某一集合上的概率2024/7/278CopyrightPei Zhang 2014例：股票价格例：股票价格无穷次独立抛掷硬币结果的空间：无穷次独立抛掷硬币结果的空间：2024/7/279CopyrightPei Zhang 2014分布测度分布测度设设X是（是（ ，F，P）上的一个随机变量。）上的一个随机变量。X的的分布（测度）分布（测度）是如下概率测度是如下概率测度 ： 对对R的的每一个每一个Bor
7、el子集子集B，指定质量，指定质量例如：如果例如：如果B=4，则，则如果如果B=2,5，则，则2024/7/2710CopyrightPei Zhang 2014两个不同的随机变量可以有相同的分布两个不同的随机变量可以有相同的分布同一随机变量（在不同的概率测度下）同一随机变量（在不同的概率测度下）可以有不同的分布可以有不同的分布例：设例：设P是是0,1上的均匀测度。对所有上的均匀测度。对所有 ， 定义定义计算计算X和和Y的分布测度。的分布测度。2024/7/27CopyrightPei Zhang 201411例例1.2.5构造一个定义在无限次抛掷硬币空间上，构造一个定义在无限次抛掷硬币空间上
8、，取值在取值在0，1中的均匀分布随机变量。假设中的均匀分布随机变量。假设每次抛掷硬币出现正面的概率每次抛掷硬币出现正面的概率p=1/2。对于。对于n=1,2，我们定义：，我们定义：2024/7/27CopyrightPei Zhang 2014124.3 4.3 期望期望设设X是定义在概率空间是定义在概率空间（ ，F，P）上的）上的随机变量，如果随机变量，如果是有限空间，定义是有限空间，定义X的的平均值平均值：如果如果是无限空间，可将是无限空间，可将EX定义为定义为无穷和无穷和：如果如果是不可数无限空间，如何定义期望？是不可数无限空间，如何定义期望？2024/7/27CopyrightPei
9、Zhang 201413RiemannRiemann积分积分设设f(x)是闭区间是闭区间a,b上的连续函数，按照如上的连续函数，按照如下方式定义下方式定义Riemann积分积分：（1）将）将a,b划分成子区间划分成子区间x0,x1, x1,x2, xn-1,xn,（2）定义）定义（3）定义黎曼上和、下和）定义黎曼上和、下和（4） 趋近于趋近于0，黎曼上和与下和收敛于同，黎曼上和与下和收敛于同一极限，即黎曼积分，记为一极限，即黎曼积分，记为2024/7/27CopyrightPei Zhang 201414RiemannRiemann积分的局限性积分的局限性自变量取值必须是实数集自变量取值必须是
10、实数集如果自变量取值不为实数集，如何对如果自变量取值不为实数集，如何对进行划分？进行划分？需要定义更一般意义上的积分需要定义更一般意义上的积分2024/7/27CopyrightPei Zhang 201415Georg Friedrich Bernhard Riemann德国数学家、物理学德国数学家、物理学家，对数学分析和微家，对数学分析和微分几何做出了重要贡分几何做出了重要贡献，其中一些为广义献，其中一些为广义相对论的发展铺平了相对论的发展铺平了道路。他的名字出现道路。他的名字出现在黎曼在黎曼函数，黎曼积函数，黎曼积分，黎曼引理，黎曼分，黎曼引理，黎曼流形，黎曼映照定理，流形，黎曼映照定理
11、，黎曼黎曼-希尔伯特问题，希尔伯特问题，黎曼思路回环矩阵和黎曼思路回环矩阵和黎曼曲面中。黎曼曲面中。2024/7/27CopyrightPei Zhang 201416黎曼猜想黎曼猜想黎曼黎曼 函数的所有非平凡零点都位于复平面函数的所有非平凡零点都位于复平面上上 Re(s)=1/2 的直线上。也即方程的直线上。也即方程（s）的的非平凡零点非平凡零点的实部都是的实部都是0.5。平凡零点：平凡零点：黎曼 函数在 s=-2n (n 为正整数） 取值为零。2024/7/27CopyrightPei Zhang 201417Lebesgue积分积分（1）对）对“y轴轴”进行划分进行划分（2）定义分割）定
12、义分割（3）定义）定义（4）定义）定义LebesgueLebesgue下和下和勒贝格积分：勒贝格积分：2024/7/27CopyrightPei Zhang 201418Lebesgue积分的性质积分的性质2024/7/27CopyrightPei Zhang 201419不可数无限空间的不可数无限空间的期望期望设设X是定义在概率空间是定义在概率空间（ ，F，P）上的随机变量。上的随机变量。X的期望定义为：的期望定义为：2024/7/27CopyrightPei Zhang 201420期望的性质期望的性质2024/7/27CopyrightPei Zhang 2014212024/7/27C
13、opyrightPei Zhang 201422如果构造黎曼积分，结果会怎样？如果构造黎曼积分，结果会怎样？黎曼积分与勒贝格积分的比较（定理黎曼积分与勒贝格积分的比较（定理1.3.8）Lebesgue测度测度（无限概率空间上的概率测度）（无限概率空间上的概率测度）2024/7/27CopyrightPei Zhang 201423Borel可测可测设设f（x）是定义在）是定义在R上的上的实值函数实值函数，对，对R的任一的任一Borel子集子集B，集合，集合x，f(x)B仍仍是是R的的Borel子集。子集。Borel集上可以定义集上可以定义Lebesgue测度测度本书中考虑的都是本书中考虑的都是
14、Borel可测函数可测函数任何连续函数以及分段连续函数都任何连续函数以及分段连续函数都Borel可测可测Borel可测函数可以定义可测函数可以定义Lebesgue积分积分2024/7/27CopyrightPei Zhang 201424Borel可测的可测的Lebesgue积分积分2024/7/27CopyrightPei Zhang 201425指示函数指示函数2024/7/27CopyrightPei Zhang 2014264.4 积分的收敛积分的收敛2024/7/27CopyrightPei Zhang 201427强大数定律强大数定律2024/7/27CopyrightPei Zh
15、ang 201428几乎处处收敛几乎处处收敛2024/7/27CopyrightPei Zhang 2014292024/7/27CopyrightPei Zhang 201430积分与极限交换次序积分与极限交换次序2024/7/27CopyrightPei Zhang 201431单调收敛定理的推论单调收敛定理的推论2024/7/27CopyrightPei Zhang 201432St. Petersburg 悖论悖论2024/7/27CopyrightPei Zhang 201433控制收敛定理控制收敛定理2024/7/27CopyrightPei Zhang 2014344.5 期望的
16、计算期望的计算2024/7/27CopyrightPei Zhang 201435证明：四步标准程式证明：四步标准程式利用密度函数计算期望利用密度函数计算期望2024/7/27CopyrightPei Zhang 201436证明：四步标准程式证明：四步标准程式4.6 测度变换测度变换离散模型中的写法不再有意义：离散模型中的写法不再有意义：2024/7/27CopyrightPei Zhang 201437无限概率空间上的概率转换无限概率空间上的概率转换2024/7/27CopyrightPei Zhang 201438两个概率测度的关系两个概率测度的关系2024/7/27CopyrightP
17、ei Zhang 201439采用真实概率或是风险中性概率，对于采用真实概率或是风险中性概率，对于哪些可能，哪些不可能的看法并不改变。哪些可能，哪些不可能的看法并不改变。在一种概率下几乎必然有效的对冲，在在一种概率下几乎必然有效的对冲，在另一概率测度下也几乎必然有效另一概率测度下也几乎必然有效2024/7/27CopyrightPei Zhang 2014402024/7/27CopyrightPei Zhang 2014412024/7/27CopyrightPei Zhang 201442真实概率、风险中性概率、真实概率、风险中性概率、Z Z具有显示表达式具有显示表达式2024/7/27C
18、opyrightPei Zhang 201443形式记忆形式记忆2024/7/27CopyrightPei Zhang 201444拉东拉东尼克蒂姆导数尼克蒂姆导数2024/7/27CopyrightPei Zhang 2014452024/7/27CopyrightPei Zhang 2014462024/7/27CopyrightPei Zhang 201447在风险中性概率测度下在风险中性概率测度下Y Y是标准是标准正态分布随机变量正态分布随机变量2024/7/27CopyrightPei Zhang 201448拉东拉东尼克蒂姆导数的存在性尼克蒂姆导数的存在性2024/7/27Copy
19、rightPei Zhang 2014494.7 无限概率空间的条件期望无限概率空间的条件期望问题的提出：问题的提出：期权工具的动态复制期权工具的动态复制随着时间的推移，我们逐步缩小可能的随着时间的推移，我们逐步缩小可能的范围。范围。（依信息分解）（依信息分解）例如：在三次抛掷硬币试验中，我们知道例如：在三次抛掷硬币试验中，我们知道第一次结果，或者知道第一次和第二次第一次结果，或者知道第一次和第二次的结果，我们可以得到一系列的结果，我们可以得到一系列信息集信息集2024/7/27CopyrightPei Zhang 201350依信息分解依信息分解2024/7/27CopyrightPei Z
20、hang 201451域流（域流（filtrationfiltration）定义：定义：设设 是非空集合。是非空集合。T T是固定的正数，是固定的正数，并且对每一个并且对每一个t t0,T0,T，有一个，有一个 代数代数F F（t t），对于），对于stst，F F（s s）中的所有事）中的所有事件都在件都在F F（t t）中，称）中，称 代数族代数族F F（t t）是一个是一个域流（域流（filtrationfiltration）2024/7/27CopyrightPei Zhang 2013522024/7/27CopyrightPei Zhang 201453随机变量生成的随机变量生成的
21、 代数代数定义：定义：设设X X是定义在非空样本空间是定义在非空样本空间 上的随机上的随机变量。由变量。由X X生成的生成的 代数代数（记为（记为 （X X）是所有形如是所有形如XXBB的的 子集族，其中子集族，其中B B是是R R的波雷尔子集。的波雷尔子集。2024/7/27CopyrightPei Zhang 201354随机变量生成的随机变量生成的 代数代数2024/7/27CopyrightPei Zhang 201455 代数代数- -可测可测定义：定义：设设X X是定义在是定义在非空样本空间非空样本空间 上的随机上的随机变量。变量。G G是是 子集的子集的 代数，代数，如果如果 （
22、X X）中的所有集合都在）中的所有集合都在G G中，则称中，则称X X是是G G可测的。可测的。2024/7/27CopyrightPei Zhang 201456适应的随机过程适应的随机过程（an adapted stochastican adapted stochastic）设设 是非空样本空间，并有流域是非空样本空间，并有流域F F（t t），），设设X X（t t）是以）是以t t0,T0,T标记的一族随机变标记的一族随机变量。如果对每一个量。如果对每一个t t，X(t)X(t)都是都是F(t)F(t)可测可测的，我们称这一族随机变量是一个的，我们称这一族随机变量是一个适应适应的随机过
23、程。的随机过程。资产组合头寸、财富过程都是适应的随资产组合头寸、财富过程都是适应的随机过程。机过程。2024/7/27CopyrightPei Zhang 201357独立性独立性 代数中包含的信息并不能提供关于该代数中包含的信息并不能提供关于该随机变量的值的任何线索随机变量的值的任何线索2024/7/27CopyrightPei Zhang 201458联合分布联合分布2024/7/27CopyrightPei Zhang 201459边际分布边际分布2024/7/27CopyrightPei Zhang 201460方差、标准差、相关系数方差、标准差、相关系数2024/7/27Copyri
24、ghtPei Zhang 201461一般条件期望一般条件期望介于介于G-G-可测与独立于可测与独立于G G之间，基于之间，基于G G，X X的条件期望。的条件期望。离散情形：离散情形：2024/7/27CopyrightPei Zhang 201462连续情形连续情形2024/7/27CopyrightPei Zhang 201463 离散情形：离散情形：连续情形：连续情形：条件期望的定义条件期望的定义设设（ ，F F，P P）是概率空间，）是概率空间，G G是是F F的子的子 代数，代数，X X是非负或者可积随机变量。是非负或者可积随机变量。X X的条的条件期望件期望EX|GEX|G是满足
25、以下性质的随机变量：是满足以下性质的随机变量：（1 1） EX|G EX|G是是G G可测的可测的（2 2）2024/7/27CopyrightPei Zhang 201364条件期望的性质条件期望的性质2024/7/27CopyrightPei Zhang 201465鞅（无限概率空间）鞅（无限概率空间）2024/7/27CopyrightPei Zhang 201466马尔科夫过程马尔科夫过程2024/7/27CopyrightPei Zhang 201467人生的感悟人生的感悟每个人的一生都是一个随机过程，在每每个人的一生都是一个随机过程，在每一个时刻就是一个随机变量，可能会发一个时刻就
26、是一个随机变量，可能会发生不同的结果，但是却只有一种情况发生不同的结果，但是却只有一种情况发生了，每个时刻串联起来就是一个人的生了，每个时刻串联起来就是一个人的人生，就是随机过程的一个样本。人生，就是随机过程的一个样本。 Life is like a box of chocolates, You never know what youre gonna get.Forrest Gump2024/7/27CopyrightPei Zhang 201468性格决定命运性格决定命运我们自身有一个概率分布的特点（比方我们自身有一个概率分布的特点（比方说性格就是一个概率分布），那么如果说性格就是一个概率分
27、布），那么如果我们在长期的生活实践中，相当于作了我们在长期的生活实践中，相当于作了很多次随机试验，因此会体现出该概率很多次随机试验，因此会体现出该概率分布的某些倾向性结果分布的某些倾向性结果2024/7/27CopyrightPei Zhang 201469世事无常，机缘巧合世事无常，机缘巧合就某一次事件的结果而言，完全的预测就某一次事件的结果而言，完全的预测是很困难的，因为即便你知道一个随机是很困难的，因为即便你知道一个随机变量的分布，你也不能断定他的下一个变量的分布，你也不能断定他的下一个取值会是什么。因此对大多数人大多数取值会是什么。因此对大多数人大多数事件来说，还是充满了一定的随机性。事件来说，还是充满了一定的随机性。很多人因此不得不感叹世事无常，机缘很多人因此不得不感叹世事无常，机缘巧合。巧合。2024/7/27CopyrightPei Zhang 201470
