《高中数学 第四章 §1 1.2 函数的极值课件 北师大版选修11》由会员分享，可在线阅读，更多相关《高中数学 第四章 §1 1.2 函数的极值课件 北师大版选修11（36页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、第第四四章章11.2理解教材理解教材新知新知把握热点把握热点考向考向应用创新应用创新演练演练考点一考点一考点二考点二考点三考点三 “横看成岭侧成峰，远近高低各不同横看成岭侧成峰，远近高低各不同”，说的是庐山，说的是庐山的高低起伏，错落有致，在群山中，各个山峰的顶端，的高低起伏，错落有致，在群山中，各个山峰的顶端，虽然不一定是群山的最高处，但它却是其附近的最高点虽然不一定是群山的最高处，但它却是其附近的最高点如图为某同学绘制的庐山主峰剖面图如图为某同学绘制的庐山主峰剖面图 问题问题1：若把该图视为某函数的图像，图中共有多少个相：若把该图视为某函数的图像，图中共有多少个相对于附近的对于附近的“最高
2、最高”点？点？ 提示：提示：5个个 问题问题2：这些：这些“最高最高”点的左右两侧函数的单调性如何？点的左右两侧函数的单调性如何？ 提示：左侧增，右侧减提示：左侧增，右侧减 问题问题3：图中共有多少个相对于附近的：图中共有多少个相对于附近的“最低点最低点”？ 提示：提示：4个个 问题问题4：这些：这些“最低最低”点的左右两侧函数的单调性如何？点的左右两侧函数的单调性如何？ 提示：左侧减，右侧增提示：左侧减，右侧增 1函数极值的有关定义函数极值的有关定义 (1)在包含在包含x0的一个区间的一个区间(a，b)内，函数内，函数yf(x)在任何一点在任何一点的函数值都的函数值都 x0点的函数值，称点点
3、的函数值，称点x0为函数为函数yf(x)的极大的极大值点，值点， 为函数的极大值为函数的极大值 (2)在包含在包含x0的一个区间的一个区间(a，b)内，函数内，函数yf(x)在任何一点在任何一点的函数值都的函数值都 x0点的函数值，称点点的函数值，称点x0为函数为函数yf(x)的极小的极小值点，值点， 为函数的极小值为函数的极小值 (3) 与与 统称为极值，统称为极值， 与与 统统称为极值点称为极值点不大于不大于其函数值其函数值f(x0)不小于不小于其函数值其函数值f(x0)极大值极大值极小值极小值极大值点极大值点极小值点极小值点 2函数极值的判定函数极值的判定 (1)单调性判别：单调性判别：
4、 如果函数如果函数yf(x)在区间在区间(a，x0)上是上是 ，在区间，在区间(x0，b)上是上是 ，则，则x0是极大值点，是极大值点，f(x0)是极大值是极大值 如果函数如果函数yf(x)在区间在区间(a，x0)上是上是 ，在区，在区间间(x0，b)上是上是 ，则，则x0是极小值点，是极小值点，f(x0)是极小值是极小值 增加的增加的减少的减少的减少的减少的增加的增加的(2)图表判别：图表判别：极大值的判定：极大值的判定：x(a，x0)x0(x0，b)f(x)0yf(x)增加增加减少减少极小值的判定：极小值的判定：x(a，x0)x0(x0，b)f(x)0yf(x)减少减少增加增加极大值极大值
5、极小值极小值(3)图像判别：图像判别：极大值：极大值：极小值：极小值： 1函数的极值是函数的局部性质，它反映了函数在函数的极值是函数的局部性质，它反映了函数在某一点附近的大小情况某一点附近的大小情况 2由函数极值的定义知道，函数在一个区间的端点由函数极值的定义知道，函数在一个区间的端点处一定不可能取得极值，即端点一定不是函数的极值点处一定不可能取得极值，即端点一定不是函数的极值点 3在一个给定的区间上，函数可能有若干个极值点，在一个给定的区间上，函数可能有若干个极值点，也可能不存在极值点，极大值不一定大于极小值也可能不存在极值点，极大值不一定大于极小值 思路点拨思路点拨首先从方程首先从方程f(
6、x)0入手，求出在函入手，求出在函数数f(x)的定义域内所有可能的极值点，然后按照函数极的定义域内所有可能的极值点，然后按照函数极值的判断方法判断在这些点处是否取得极值值的判断方法判断在这些点处是否取得极值x(，1)1(1,3)3(3，)f(x)00f(x)增加增加 极大值极大值减少减少 极小值极小值增增加加精解详析精解详析(1)f(x)3x26x9.解方程解方程3x26x90，得，得x11，x23.当当x变化时，变化时，f(x)与与f(x)的变化情况如下表：的变化情况如下表：因此，当因此，当x1时函数取得极大值，且极大值为时函数取得极大值，且极大值为f(1)10；当当x3时函数取得极小值，且
7、极小值为时函数取得极小值，且极小值为f(3)22.x(0，e)e(e，)f(x)0f(x)增加增加 极大值极大值减少减少 一点通一点通求函数求函数yf(x)的极值点的步骤：的极值点的步骤： (1)求出导数求出导数f(x) (2)解方程解方程f(x)0. (3)对于方程对于方程f(x)0的每一个解的每一个解x0，分析，分析f(x)在在x0左、右两左、右两侧的符号侧的符号(即即f(x)的单调性的单调性)，确定极值点：，确定极值点： 若若f(x)在在x0两侧的符号两侧的符号“左正右负左正右负”，则，则x0为极大值点；为极大值点； 若若f(x)在在x0两侧的符号两侧的符号“左负右正左负右正”，则，则x
8、0为极小值点；为极小值点； 若若f(x)在在x0两侧的符号相同，则两侧的符号相同，则x0不是极值点不是极值点解：解：函数的定义域为函数的定义域为x|x0f(x)2 ，令，令f(x)0，得，得x2.列表如下：列表如下：x(，2)2(2,0)(0,2)2(2，)f(x)00f(x) 极大值极大值 极小值极小值所以，当所以，当x2时，函数时，函数f(x)有极大值有极大值f(2)8；当；当x2时，函数取极小值时，函数取极小值f(2)8.2求函数求函数yx44x35的极值的极值解：解：y4x312x24x2(x3)令令y4x2(x3)0，得，得x10，x23.当当x变化时，变化时，y，y的变化情况如下表
9、：的变化情况如下表：x(，0)0(0,3)3(3，)y00y不是极值不是极值极小值极小值故当故当x3时函数取得极小值，且时函数取得极小值，且y极小值极小值f(3)22. 例例2设设x1与与x2是函数是函数f(x)aln xbx2x的两个极的两个极值点值点 (1)试确定常数试确定常数a和和b的值；的值； (2)判断判断x1、x2是函数是函数f(x)的极大值点还是极小值点，的极大值点还是极小值点，并说明理由并说明理由 思路点拨思路点拨x1与与x2是函数是函数f(x)的两个极值点，则的两个极值点，则1,2即为即为f(x)0的两个根，由此可得的两个根，由此可得a、b的方程组，解方程组即的方程组，解方程
10、组即可求解，然后再判断可求解，然后再判断x1，x2为极大值点还是极小值点为极大值点还是极小值点 一点通一点通已知函数极值情况，逆向应用确定函数的解已知函数极值情况，逆向应用确定函数的解析式时，注意两点：析式时，注意两点： (1)根据极值点处导数为根据极值点处导数为0和极值两个条件列方程组和极值两个条件列方程组 (2)因为导数值等于零不是此点为极值点的充要条件，因为导数值等于零不是此点为极值点的充要条件，所以求解后必须验证根的合理性所以求解后必须验证根的合理性3已知已知f(x)x3ax2(a6)x1有极大值和极小值，则有极大值和极小值，则a的的取值范围为取值范围为_解析：解析：f(x)3x22a
11、x(a6)，函数函数f(x)有极大值和极小值，有极大值和极小值，4a212(a6)0，即即a23a180.a6或或a3.答案：答案：(，3)(6，)4已知函数已知函数f(x)ax3bx22x在在x2，x1处取得极值处取得极值(1)求函数求函数f(x)的解析式；的解析式；(2)求函数求函数f(x)的单调区间的单调区间 一点通一点通研究函数的零点个数可转化为其图像与研究函数的零点个数可转化为其图像与x轴轴交点个数问题，也可转化为较熟悉的两个函数图像的交点交点个数问题，也可转化为较熟悉的两个函数图像的交点问题用导数可求出函数的单调区间和极值，可以画出函问题用导数可求出函数的单调区间和极值，可以画出函
12、数草图，通过数形结合来确定交点个数数草图，通过数形结合来确定交点个数7若函数若函数f(x)2x36xk在在R上只有一个零点，求常数上只有一个零点，求常数k的的取值范围取值范围解：解：f(x)2x36xk，则则f(x)6x26，令令f(x)0，得，得x1或或x1，可知可知f(x)在在(1,1)上是减少的，上是减少的，f(x)在在(，1)和和(1，)上为增加的上为增加的f(x)的极大值为的极大值为f(1)4k，f(x)的极小值为的极小值为f(1)4k.要使原方程只有一个实数根，要使原方程只有一个实数根，只需只需4k0(如图所示如图所示)即即k4.k的取值范围是的取值范围是(，4)(4，)1对于可导函数，导数为零的点不一定是极值点，对于可导函数，导数为零的点不一定是极值点，而极值点的导数一定为零而极值点的导数一定为零2极值点一定是某一区间内的点，而不能是区间极值点一定是某一区间内的点，而不能是区间的端点的端点3函数在其单调区间内无极值函数在其单调区间内无极值
