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1、第二章第二章 n 维向量维向量n 维向量及其线性运算维向量及其线性运算一、一、n 维向量的概念维向量的概念1.定义定义1:行向量行向量列向量列向量第第i个分量个分量矩阵矩阵 A的行向量的行向量矩阵矩阵 A的列向量的列向量0 = ( 0,0,0 )零向量零向量负向量负向量2.定义定义2:二二、n 维向量的线性运算维向量的线性运算1.加法加法:2.减法减法:设向量设向量3.数乘数乘:线性运算满足线性运算满足8条运算规律条运算规律,见教材见教材.向量组的线性相关性向量组的线性相关性一、线性相关性一、线性相关性1.定义定义1:2.定义定义2:0(1) 当向量组只含一个向量时当向量组只含一个向量时,若该
2、向量是零向量若该向量是零向量,则它线则它线 性相关性相关;若该向量是非零向量若该向量是非零向量,则它线性无关则它线性无关.(2) 两个向量线性相关的充要条件是其对应分量成比例两个向量线性相关的充要条件是其对应分量成比例.(3) 任一含有零向量的向量组线性相关任一含有零向量的向量组线性相关.3.讨论向量组的相关性：讨论向量组的相关性：解：O O设系数行列式为方程组有非零解，即有非零的数O O故解：即O OO OO O= O O= O O即：系数行列式为向量组的等价向量组的等价1.定义定义1: 设有两个设有两个 n 维向量组维向量组 若向量组（I ）中每个向量都可由向量组（II）线性表示，则称向量
3、组（I ）可由向量组（II）线性表示； 若向量组（I ）与向量组（II）可以互相线性表示，则称向量组（I ）与向量组（II）等价。向量组的等价关系具有自反性、对称性、传递性。例1：设 n 维向量组证：相关性的判定及有关重要结论相关性的判定及有关重要结论1.线性相关与线性组合的关系定理线性相关与线性组合的关系定理证：0O O证：00O O所以表示式惟一。2.相关性的判定定理相关性的判定定理定理定理3：在一个向量组中，若有一个部分向量组线性相关， 则整个向量组也必定线性相关。推论推论：一个线性无关的向量组的任何非空的部分向量组都 线性无关。解：解：证明定理证明定理4.写成分量形式为对A作初等变换考
4、虑A的r+1阶子式按向量形式写，上式为：0推论推论1：当mn时，m个n维向量线性相关。推论推论2：任意 m 个 n 维向量线性无关的充要条件是由它们 构成的矩阵A= 的秩r(A)=m。推论推论3：任意 n 个 n 维向量线性无关的充要条件是由它们 构 成的方阵 A的行列式不等于零。或r(A)=n.推论推论4：任意 n 个 n 维向量线性相关的充要条件是由它们 构 成的方阵 A的行列式等于零。或r(A)s,则向量组线推论推论2：任意两个线性无关的等价向量组所含向量的个数相等。任意两个线性无关的等价向量组所含向量的个数相等。定理定理2：一个向量组的一个向量组的任意两个极大无关组所含向量的个数相任意
5、两个极大无关组所含向量的个数相 等。等。向量组的秩向量组的秩定义定义：向量组的极大无关组所含向量的个数，称为向量组的秩向量组的秩，记为注：注：（1）线性无关的向量组的秩=向量的个数。（2）向量组线性无关秩=向量个数。定理定理3：推论推论：等价的向量组有相同的秩。必须注意：有相同秩的两个向量组不一定等价。必须注意：有相同秩的两个向量组不一定等价。= n例1：设向量组线性表示,求例2：设有两个n维向量组若你能举一个反例吗？向量组的秩的求法向量组的秩的求法定理定理4：向量组的秩与该向量组所构成的矩阵的秩相等。行秩：行秩：矩阵行向量组的秩；列秩：列秩：矩阵列向量组的秩。推论：推论：矩阵的行秩与列秩相等
6、。这实际上给出了一个求向量组秩的方法：先将向量组构成一个矩阵，然后求矩阵的秩，这个秩就是向量组的秩。例1：求向量组的秩。解：极大无关组的求法极大无关组的求法列摆行变换法。列摆行变换法。例2：求向量组的秩及极大无关组。（记录法与逐个考察法就不介绍了。）列摆行变换将矩阵化为梯形阵后，秩即求出来了。这时，只要在同一高度上取一个向量，即可得到极大无关组。如上例，求秩及一个极大无关组。矛盾矛盾反例：反例：但，行摆行变换不行！但，行摆行变换不行！我们已经看到：用矩阵可以解决向量组的问题，实际上，用向量组也可以解决矩阵的问题。一个最典型的例子是：这是一个非常这是一个非常重要的关于秩重要的关于秩的不等式！的不等式！设有n两个维向量组若这又是一个非常有用的公式这又是一个非常有用的公式 。详见参考书第3739页。
