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1、高等院校非数学类本科数学课程 一元微积分学 大 学 数 学（一一）第五讲第五讲第五讲第五讲 函数极限的概念和性质函数极限的概念和性质函数极限的概念和性质函数极限的概念和性质经济数学第5讲函数极限概念 函数的极限与连续性第一节 函数的极限与性质三. 极限定义及定理小结四. 函数极限的基本性质经济数学第5讲函数极限概念 由于数列实际上可以看成是定义域为正整数域的函数, 所以, 可望将数列的极限理论推广到函数中, 并用极限理论研究函数的变化情形.的图形可以看出: 如何描述它？如何描述它？经济数学第5讲函数极限概念 有问题没有？有问题没有？ 好像没有问题好像没有问题. .经济数学第5讲函数极限概念定义
2、定义想想：如何从几何的角度来表示该定义？经济数学第5讲函数极限概念经济数学第5讲函数极限概念 将图形对称过去后将图形对称过去后, , 你有什么想法你有什么想法? ? 将图形对称将图形对称经济数学第5讲函数极限概念定义定义经济数学第5讲函数极限概念 现在从整体上来看这个图形现在从整体上来看这个图形 , , 你有什么想法你有什么想法? ?经济数学第5讲函数极限概念你能否由此得出 一个极限的定义 和一个重要的定理. 现在从整体上来看这个图形现在从整体上来看这个图形 , , 你有什么想法你有什么想法? ?经济数学第5讲函数极限概念定义定义经济数学第5讲函数极限概念由于 | x | X 0 x X 或
3、x X,所以, x 按绝对值无限增大时,又包含了 x 的情形.既包含了 x +,经济数学第5讲函数极限概念定理定理定理定理及极限的三个定义即可证明该定理.由绝对值关系式:经济数学第5讲函数极限概念证证证证成立. 由极限的定义可知:例例1 1经济数学第5讲函数极限概念解无限缩小, 可以小于任意小的正数 . 因而应该有下面证明我们的猜想:证明过程怎么写？例例2 2经济数学第5讲函数极限概念 这里想得通吗？经济数学第5讲函数极限概念由图容易看出：分析 需要证明之处 请同学们 自己先证一下.例例3 3经济数学第5讲函数极限概念证证经济数学第5讲函数极限概念证证经济数学第5讲函数极限概念例例4 4证证经
4、济数学第5讲函数极限概念 x x0 时函数的极限, 是描述当 x 无限接近 x0 时, 函数 f (x)的变化趋势.经济数学第5讲函数极限概念 f ( x ) 在点 x0= 0 处有定义. 函数 f ( x ) 在点 x0= 1 处没有定义.例例5 5经济数学第5讲函数极限概念经济数学第5讲函数极限概念(经济数学第5讲函数极限概念定义定义经济数学第5讲函数极限概念注意注意为什麽要考虑空心邻域？为什麽要考虑空心邻域？考虑空心邻域，是什麽意思？考虑空心邻域，是什麽意思？ 考虑函数在一点的极限时，不考虑函数考虑函数在一点的极限时，不考虑函数在该点处是否有定义，定义的值是什麽，在该点处是否有定义，定义
5、的值是什麽，但是，在附近必须要有定义。但是，在附近必须要有定义。反例反例经济数学第5讲函数极限概念证证证证 这是证明吗？这是证明吗？非非常常非非常常严严格格！例例6 6经济数学第5讲函数极限概念证证例例7 7经济数学第5讲函数极限概念证证？如何处理它如何处理它例例8 8经济数学第5讲函数极限概念 这里 | x + 2 | 没有直接的有界性可利用, 但又必须设法去掉它. 因为 x 1, 所以, 从某时候开始 x 应充分地接近 1 .( )0x211 11+ 1分析分析结论经济数学第5讲函数极限概念证证证毕例例8 8经济数学第5讲函数极限概念观察知观察知证证证毕证毕例例经济数学第5讲函数极限概念在
6、极限定义中：在极限定义中：1) 与 和 x0 有关, 即 = ( , x0). 一般说来, 值越小, 相应的 值也越小. 2) 不等式 | f (x)a | 0 , 同 时也要对 x x0 以任何方式进行都成立.3) 函数 f (x) 以 a 为极限, 但函数 f (x) 本身可以 不取其极限值 a.经济数学第5讲函数极限概念y = a y = a y = axOyx0x0 x0 + 曲线只能从该矩形的左右两边穿过经济数学第5讲函数极限概念考虑两个问题.经济数学第5讲函数极限概念y = a y = a y = axOyx0x0 + 函数在 x0 的左边可以无定义想想这种情形下, 函数有极限吗
7、? 如何描述这种情形？经济数学第5讲函数极限概念想想这种情形下, 函数有极限吗 ?y = a y = a y = axOyx0x0 函数在 x0 的右边可无定义 如何描述这种情形？经济数学第5讲函数极限概念3.函数的左、右极限定义定义定义定义经济数学第5讲函数极限概念定义定义定义定义经济数学第5讲函数极限概念(1) 左、右极限均存在, 且相等；(2) 左、右极限均存在, 但不相等；(3) 左、右极限中至少有一个不存在.找找例题！ 函数在点 x0 处的左、右极限可能出现以下三种情况之一：经济数学第5讲函数极限概念y = f (x)xOy11在 x = 1 处的左、右极限.解例例9 9经济数学第5
8、讲函数极限概念y = a y = a y = axOyx0x0 + y = a y = a y = aOyx0x0 对此有什么想法没有？ “左右重合”经济数学第5讲函数极限概念定理定理定理定理 利用 | x x0 | x x0 0推不出极限推不出极限A0.经济数学第5讲函数极限概念性质性质4: （函数极限与数列极限的关系）（函数极限与数列极限的关系）证明证明 必要性必要性 根据假设根据假设经济数学第5讲函数极限概念经济数学第5讲函数极限概念经济数学第5讲函数极限概念性质性质5经济数学第5讲函数极限概念 极限值的正负与函数值正负的关系 该定理也称为第一保号性定理经济数学第5讲函数极限概念极限值正
9、负与函数值正负关系的推论 作辅助函数 F( x ) = f ( x ) c 再利用定理的结论即可得证.经济数学第5讲函数极限概念 函数值的正负与极限值正负的关系 该定理也称为第二保号性定理经济数学第5讲函数极限概念第二保号性定理成立.运用反证法, 设 f ( x ) 0 ( f ( x ) 0 ) 时,有 a 0 ), 则由第一保号性定理将推出 f ( x ) 0) 的矛盾, 该矛盾就证明了经济数学第5讲函数极限概念注意注意: :当 f ( x ) 0 ( f ( x ) g( x ) , 则有 a b, 在极限存在的条件下，对不等式两边取极限时，不等号保持方向不变，但严格不等号一般要变为不严格不等号. 令 F (x) = f (x) g (x) 0 , 即可进行证明.经济数学第5讲函数极限概念
