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1、第二节一、对坐标的曲线积分的概念一、对坐标的曲线积分的概念 与性质与性质二、二、 对坐标的曲线积分的计算法对坐标的曲线积分的计算法 三、两类曲线积分之间的联系三、两类曲线积分之间的联系 机动 目录 上页 下页 返回 结束 对坐标的曲线积分 第十一章 一、一、 对坐标的曲线积分的概念与性质对坐标的曲线积分的概念与性质1. 引例引例: 变力沿曲线所作的功变力沿曲线所作的功.设一质点受如下变力作用在 xoy 平面内从点 A 沿光滑曲线弧 L 移动到点 B, 求移“分割” “近似”“求和” “取极限”常力沿直线所作的功解决办法:动过程中变力所作的功W.机动 目录 上页 下页 返回 结束 1) “分割分
2、割”2) “近似近似”把L分成 n 个小弧段,有向小弧段近似代替, 则有所做的功为F 沿则用有向线段 上任取一点在机动 目录 上页 下页 返回 结束 3) “求和和”4) “取极限取极限”(其中 为 n 个小弧段的 最大长度)机动 目录 上页 下页 返回 结束 2. 定义定义. 设 L 为xoy 平面内从 A 到B 的一条有向光滑有向光滑曲线弧曲线弧,若对 L 的任意分割和在局部弧段上任意取点, 都存在,在有向曲线弧 L 上对坐标的曲线积分坐标的曲线积分,则称此极限为函数或第二型曲线积分第二型曲线积分. 其中,L 称为积分弧段积分弧段 或 积分曲线积分曲线 .称为被积函数被积函数 , 在L 上
3、定义了一个向量函数极限记作机动 目录 上页 下页 返回 结束 若 为空间曲线弧 , 记称为对 x 的曲线积分;称为对 y 的曲线积分.若记, 对坐标的曲线积分也可写作类似地, 机动 目录 上页 下页 返回 结束 3. 性质性质(3) 若 L 可分成 k 条有向光滑曲线弧则机动 目录 上页 下页 返回 结束 (1) 若P(x, y) 、Q(x, y)在有向光滑曲线 L上连续，则说明说明: : 对坐标的曲线积分必须注意积分弧段的方向方向 ! 定积分是第二类曲线积分的特例.(5) 用L 表示 L 的反向曲线 , 则二、对坐标的曲线积分的计算法二、对坐标的曲线积分的计算法定理定理:在有向光滑曲线 L上
4、连续,L 的参数方程为则对应 L上的点从起点 A 变到终点B证略。证略。机动 目录 上页 下页 返回 结束 说明说明:(2) 可用曲线可用曲线 L 的方程代入或部分代入被积函数的方程代入或部分代入被积函数以简化计算；以简化计算；(1) 公式中的下限是起点参数，上限是终点参数；公式中的下限是起点参数，上限是终点参数；(3)第二型曲线积分第二型曲线积分没有没有奇偶对称性，奇偶对称性，也没有也没有轮轮换对称性；换对称性；(4) 其他公式其他公式如果曲线 L 的方程为则如果 L 的方程为则对空间光滑曲线弧 :类似有定理 目录 上页 下页 返回 结束 例例1. 计算其中L 为沿抛物线解法解法1 取 x
5、为参数, 则解法解法2 取 y 为参数, 则从点的一段. 机动 目录 上页 下页 返回 结束 例例2. 计算其中 L 为(1) 半径为 a 圆心在原点的 上半圆周, 方向为逆时针方向;(2) 从点 A ( a , 0 )沿 x 轴到点 B ( a , 0 ). 解解: (1) 取L的参数方程为(2) 取 L 的方程为则则机动 目录 上页 下页 返回 结束 例例3. 计算其中L为(1) 抛物线 (2) 抛物线 (3) 有向折线 解解: (1) 原式(2) 原式(3) 原式机动 目录 上页 下页 返回 结束 例例4. 设在力场作用下, 质点由沿移动到解解: (1) W的参数方程为试求力场对质点所作
6、的功.其中为机动 目录 上页 下页 返回 结束 W例例5. 求其中从 z 轴正向看为顺时针方向.解解: 取 的参数方程机动 目录 上页 下页 返回 结束 例例6. 求例例7. 求例例8.研研 在过点在过点O(0, 0)和和的曲线族的曲线族(a 0)中，求一条曲线中，求一条曲线 L使沿该曲线从使沿该曲线从O 到到A 的积分的积分例例9.研研 质点质点P 沿着以沿着以AB为直径的半圆周从点为直径的半圆周从点A(1, 2)运动到点运动到点B(3, 4)的过程中受变力的过程中受变力的作用，的作用， 的大小的大小其方向垂直于线段其方向垂直于线段OP，且与，且与y 轴正向夹角轴正向夹角例例10.研研 设在
7、力设在力作用下，质点作用下，质点由原点沿直线运动到由原点沿直线运动到在第一卦限的在第一卦限的最大，并求最大值。最大，并求最大值。三、两类曲线积分之间的联系三、两类曲线积分之间的联系设有向光滑弧 L 以弧长为参数 的参数方程为已知L切向量的方向余弦为则两类曲线积分有如下联系机动 目录 上页 下页 返回 结束 类似地, 在空间曲线 上的两类曲线积分的联系是令记 A 在 t 上的投影为机动 目录 上页 下页 返回 结束 二者夹角为 例例6. 设曲线段 L 的长度为s, 证明续,证证:设说明说明: 上述证法可推广到三维的第二类曲线积分.在L上连 机动 目录 上页 下页 返回 结束 例例7. .将积分化
8、为对弧长的积分,解：解：其中L 沿上半圆周机动 目录 上页 下页 返回 结束 1. 定义2. 性质(1) L可分成 k 条有向光滑曲线弧(2) L 表示 L 的反向弧对坐标的曲线积分必须注意积分弧段的方向积分弧段的方向!内容小结内容小结机动 目录 上页 下页 返回 结束 3. 计算 对有向光滑弧 对有向光滑弧机动 目录 上页 下页 返回 结束 4. 两类曲线积分的联系 对空间有向光滑弧 :机动 目录 上页 下页 返回 结束 原点 O 的距离成正比,思考与练习思考与练习1. 设一个质点在处受恒指向原点,沿椭圆此质点由点沿逆时针移动到提示提示:(解见 P139 例5)F 的大小与M 到原F 的方向
9、力F 的作用,求力F 所作的功. 思考思考: 若题中F 的方向 改为与OM 垂直且与 y 轴夹锐角,则 机动 目录 上页 下页 返回 结束 2. 已知为折线 ABCOA(如图), 计算提示提示:机动 目录 上页 下页 返回 结束 备用题备用题 1.解解:线移动到向坐标原点,其大小与作用点到 xoy 面的距离成反比.沿直求 F 所作的功 W. 已知 F 的方向指一质点在力场F 作用下由点机动 目录 上页 下页 返回 结束 2. 设曲线C为曲面与曲面从 ox 轴正向看去为逆时针方向,(1) 写出曲线 C 的参数方程 ;(2) 计算曲线积分解解: (1)机动 目录 上页 下页 返回 结束 (2) 原式 =令利用“偶倍奇零”机动 目录 上页 下页 返回 结束
