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1、专升本中值定理与导数的专升本中值定理与导数的应用应用1微分中值定理微分中值定理1.1罗尔罗尔(Rolle)定理定理21.2拉格朗日拉格朗日(Lagrange)(Lagrange)中值定理中值定理1.3柯西柯西(Cauchy)中值定理中值定理微分中值定理微分中值定理函数的性态函数的性态导数的性态导数的性态1.1罗尔罗尔(Rolle)定理定理使得使得图图1在定理的条件下在定理的条件下,区间区间内至少存在内至少存在一点一点 ，使得曲线在点，使得曲线在点 具有水平切线具有水平切线。几何意义：几何意义：定理定理1(Rolle)若函数若函数满足条件：满足条件：(1)在闭区间在闭区间上连续；上连续；(2)在
2、开区间在开区间内可导；内可导；(3)则至少存在一点则至少存在一点有且仅有两个实根，并指出根存在的区间有且仅有两个实根，并指出根存在的区间.例例1设设，证明，证明证证方程方程 有解有解在区间在区间和和上用定理上用定理1，可知，可知使得使得有且仅有两个根，且分别位于有且仅有两个根，且分别位于和和内。内。又又为二次函数，最多有两个实根，故为二次函数，最多有两个实根，故1.2拉格朗日中值定理拉格朗日中值定理或写成或写成上述公式称为上述公式称为拉格朗日中值公式。拉格朗日中值公式。（1）在闭区间）在闭区间上连续；上连续；（2）在开区间）在开区间内可导；内可导；则在则在内至少存在一点内至少存在一点，使得，使
3、得定理定理2(Lagrange)设函数设函数满足条件：满足条件：也成立也成立.且对于且对于0ABNM几何意义几何意义: 如果连续曲线如果连续曲线上除端点外处处上除端点外处处具有不垂直于具有不垂直于轴的切线轴的切线, 则则图图2推论推论 设函数设函数即即其中其中C为常数为常数.在开区间在开区间内可导内可导,且且为常数为常数.则在则在内内例例2 2验证函数验证函数在区间在区间上满足拉上满足拉证证为二次函数，故在为二次函数，故在上连续上连续,满足定理满足定理2的条件，从而的条件，从而使得使得由由得得格朗日中值定理的条件格朗日中值定理的条件, 并求出定理中的并求出定理中的值值.在在内可导内可导,例例3
4、证明证明证令证令,即即所以所以又又证证由上式得由上式得例例4 4 证明证明:当当时时, ,2洛必达法则洛必达法则定义定义函数之商的极限函数之商的极限导数之商的极限导数之商的极限转化转化(或型)洛必达法则洛必达法则本节研究本节研究:2.1型未定式型未定式定理定理1设设满足条件满足条件:(2)在点在点内可导内可导,且且的某个去心邻域的某个去心邻域(3)存在或为存在或为则则存在存在(或为或为),且且例例1求求解解例例2求求解解例例3求求解解注意注意:不是未定式不能用洛必达法则不是未定式不能用洛必达法则!2.2型未定式型未定式定理定理2 2设设 满足条件满足条件:(3)存在或为存在或为 (2)在点在点
5、内可导内可导,且且的某个去心邻域的某个去心邻域则则存在存在(或为或为),且且例例4求求解解例例5求求,得得解令解令2.3其它类型的末定式其它类型的末定式提示提示: :对对型，再利用洛必达法则求值。型，再利用洛必达法则求值。, ,先将其转化为先将其转化为解决方法解决方法:转化转化取倒数即即例例7求求解解若遇有对数函数或反三角函数若遇有对数函数或反三角函数,取倒数时一般应取倒数时一般应将将对数函数对数函数或或反三角函数保留在分子反三角函数保留在分子.提示提示例例8求求解解一般是通过一般是通过通分通分或或有理化有理化的的方法将其化为方法将其化为型型.解决方法解决方法:先取对数先取对数,将其转化为将其
6、转化为再转化为再转化为型型.解决方法解决方法:例例9求求解解 设设于是于是,取对数得取对数得10例例11求求提示提示: :先作一个等价无穷小代替，再用洛必达法则先作一个等价无穷小代替，再用洛必达法则.解解例如,而用洛必达法则1)在满足定理条件的某些情况下洛必达法则不能解决计算问题.说明说明:例例12极限不存在2)若3利用导数研究函数的性质利用导数研究函数的性质3.1函数的单调性函数的单调性例例1 1判定函数判定函数解解函数的定义域为函数的定义域为.又又均为弧立点均为弧立点,在在内内,函数函数单调增加单调增加.的单调性。的单调性。导数等于零的点导数等于零的点(驻点驻点)和不可导点，可能是单调区间
7、的分界点和不可导点，可能是单调区间的分界点问题问题: : 如上图，函数在定义区间上不是单调的，但在各个如上图，函数在定义区间上不是单调的，但在各个部分区间上单调部分区间上单调定义定义 若函数在其定义域的某个区间内是单调的，则该区若函数在其定义域的某个区间内是单调的，则该区间称为函数的间称为函数的单调区间单调区间.方法方法:用方程用方程f(x)=0的根及的根及 f(x)不存在的点来划分不存在的点来划分 函数函数 f(x)的定义区间的定义区间, ,然后判断区间内导数的符号。然后判断区间内导数的符号。 例例确定函数确定函数f (x)=2x39x2+12x3的单调区间的单调区间. .解解：f (x)=
8、6x218x+12 =6(x1)(x2)令令 f (x)=0，得得x =1，x =2，x f (x) f (x)12(,1)(1, 2)(2,+)+0021故故 f (x)的单调增区间为的单调增区间为(,1)，(2, ,+)；单调减区间为单调减区间为(1, , 2).列表讨论列表讨论(1)单调区间的分界点除驻点外，也可是导数不存在的点。单调区间的分界点除驻点外，也可是导数不存在的点。例如例如，(2)如果函数在某驻点两边导数同号，如果函数在某驻点两边导数同号，则不改变函数的单调性。则不改变函数的单调性。例如例如，说明：说明：例1解列表可使问题明朗化列表可使问题明朗化函数的单调性在证明中的应用函数
9、的单调性在证明中的应用1.利用函数的单调性利用函数的单调性证明不等式证明不等式例例3证明：当证明：当证证取取在区间在区间上单调增加，从而上单调增加，从而即当即当时时,有有小结小结利用函数增减性证明函数不等式（在某利用函数增减性证明函数不等式（在某指定区间内）的指定区间内）的步骤步骤为为:(1)移项，使不等式一边为移项，使不等式一边为0,另一边设为函数另一边设为函数 ；作比较即得所证。作比较即得所证。(2)求求在所指定区间的增减性；在所指定区间的增减性；,并验证并验证(3)求出区间端点的函数值，然后求出区间端点的函数值，然后由单调性由单调性2.利用函数的单调性利用函数的单调性证明方程根的唯一性证
10、明方程根的唯一性例例1试证方程试证方程有且仅有一个根。有且仅有一个根。证令证令,有有轴最多有一个交点，即轴最多有一个交点，即与与在在上单调增加，因此曲线上单调增加，因此曲线有一个实根有一个实根. .又又最多最多即即c为上方为上方程的根。故程的根。故方程有且只有一个根方程有且只有一个根.在在由零点定理可知，由零点定理可知，,使使上连续上连续,36由连续函数的零点存在定理知，由连续函数的零点存在定理知，利用函数的单调性讨论方程的根。利用函数的单调性讨论方程的根。例例2 2证证3.2函数的极值函数的极值定义定义1设函数设函数 在区间在区间 内有定义内有定义,如果存在点如果存在点 的某个邻域的某个邻域
11、, ,使得对于使得对于,有有,则称则称 为为的的极小值极小值. . 称为称为 的的极小值点极小值点;,则称则称若对若对的的极大值极大值. . 称为称为 的的极大值点极大值点. .为为极极大大值值和和极极小小值值统统称称为为极极值值;极极大大值值点点和和极极小小值值点点统统称为称为极值点极值点。3.2函数的极值函数的极值(是极值点情形是极值点情形)(不是极值点情形不是极值点情形)+ +及及不存在的点。不存在的点。解解函数的定义域为函数的定义域为令令 ,得驻点得驻点 .例例5 5 求函数求函数的极值。的极值。+00+有有 极极 大大 值值有有 极极 小小 值值1列表讨论列表讨论:在在处取得极大值处
12、取得极大值在在处取得极小值处取得极小值解解 在在 内连续内连续.当当时时,例例6求函数求函数的极值。的极值。当当时时,不存在不存在.令令,有有.列表讨论如下列表讨论如下:不存不存在在0极小极小值值2极大极大值值0极极小值小值2(0,1)01+0在在 处取得极大值处取得极大值.可知可知 在在 处取得极小值处取得极小值 ,定理定理4(4(第二充分条件第二充分条件) )设设 在在 处具有二阶处具有二阶导数导数, ,且且, ,那末那末(3)当当时时,可能是极值可能是极值,也可能不是也可能不是极值极值.(2)(2)当当 时时, , 函数函数 在在 处取得极小值处取得极小值. .(1)(1)当当 时时,
13、, 函数函数 在在 处取得极大值处取得极大值; ;解解令令是函数的极大值点是函数的极大值点,为极大值为极大值; 是函数的极小值点是函数的极小值点,为极小值为极小值.例例7求函数求函数的极值。的极值。列表讨论单调性,判别极值:例5解极小极小极大自己总结求极值的步骤例6解在工程技术和生产实践中,常常需要考虑在一定条件下,怎样才能使用料最少、费用最省,而效率和效益最高等问题.这些问题反映到数学上就是最优化问题.优化技术应用价值很大三、函三、函 数数 的的 最大、最小值最大、最小值求最值的几个特殊情况求最值的几个特殊情况极大(小)值点,则该点就是函数的最大(小)值点.实际判断原则实际判断原则计算函数值
14、:(端点值)例8解没有什么新的东西4.3函数的函数的最大值和最小值求最值的一般步骤求最值的一般步骤: :2.求区间端点及驻点和不可导点的函数值求区间端点及驻点和不可导点的函数值;设设在在上连续上连续.1.求驻点和不可导点求驻点和不可导点:;上的最大值上的最大值,最小者为最小值最小者为最小值. .即即3.比较它们的大小比较它们的大小,其中最大者为其中最大者为在在例例8求函数求函数在在上的上的最大值、最小值最大值、最小值.解解不予考虑不予考虑.又又上的最大值和最小值上的最大值和最小值.故故和和分别为分别为在在dhb解解由由,得得及及令令,得得例例9把一根直径为把一根直径为d的圆木锯成截面为矩形的梁
15、的圆木锯成截面为矩形的梁,问矩形截面的高问矩形截面的高h和宽和宽d应如何选择才能使梁的应如何选择才能使梁的抗弯截面模量最大？抗弯截面模量最大？(抗弯截面模量为抗弯截面模量为由于梁的最大抗弯截面模量一定存在，又由于梁的最大抗弯截面模量一定存在，又在在 内只有一个根内只有一个根得得的值最大。由的值最大。由时时, ,从而有从而有(k 为某一常数)AC AB , 要在AB 线上选定一点D 向工厂修一条已知铁路与公路每公里货运价之比为3:5, 为使货D 点应如何选取?20解解:设则总运费物从B 运到工厂C 的运费最省, 问km,公路,例例10铁路上AB 段的距离为120km,工厂C 距A 处20令得又所
16、以为唯一的极小点,故AD =15km时运费最省.从而为最小点,第四节第四节函数的单调性与曲线的凹凸性函数的单调性与曲线的凹凸性一、函数单调性的判定法一、函数单调性的判定法65定理定理66问题问题:如何研究曲线的弯曲方向如何研究曲线的弯曲方向?二、曲线的凹凸与拐点二、曲线的凹凸与拐点NABM671 1、定理、定理凹凸区间的分界点叫拐点凹凸区间的分界点叫拐点68例例8 8解解x yO69连续曲线上凸弧与凹弧度分界点,称为曲线的拐点.2.曲线拐点的定义及判别法求拐点一般步骤拐点拐点拐点拐点例4解解例6解解例例9 9解解凹凹凸凸凹凹拐点拐点拐点拐点7576例例1010解解拐点的求法：拐点的求法：1.1.找出二阶导数为零的点或不可导点；找出二阶导数为零的点或不可导点；2. 2. 若它两边的二阶导数值异号若它两边的二阶导数值异号, ,则为拐点则为拐点, ,若同号则不是拐点若同号则不是拐点. .77例例1111解解78例6解解
