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1、第六讲解析函数与调和函数的关系解析函数与调和函数的关系 在在3.63.6我们证明了在我们证明了在D内的解析函数内的解析函数,其导数其导数仍为解析函数仍为解析函数,所以解析函数有任意阶导数。本节所以解析函数有任意阶导数。本节利用这一重要结论研究解析函数与调和函数之间利用这一重要结论研究解析函数与调和函数之间的关系。的关系。内内 容容 简简 介介3.7 解析函数与调和函数的关系解析函数与调和函数的关系定义定义定理定理证明：证明：设设f (z)=u(x,y)+i v(x,y)在区域在区域D内解析，则内解析，则即即u及及v 在在D内满足拉普拉斯内满足拉普拉斯(Laplace)方程方程:定义定义上面定理
2、说明：上面定理说明：由解析的概念得：由解析的概念得：现在研究反过来的问题：现在研究反过来的问题：如如定理定理A 公式不用强记！可如下推出：公式不用强记！可如下推出：类似地，类似地， 然后两端积分得，然后两端积分得，A 调和函数在流体力学和电磁场理论等实际调和函数在流体力学和电磁场理论等实际问题中都有重要应用。本节介绍了调和函数与解问题中都有重要应用。本节介绍了调和函数与解析函数的关系。析函数的关系。例例1解解曲线积分法曲线积分法故故A 又解又解凑凑全全微微分分法法又解又解偏偏积积分分法法又解又解不不定定积积分分法法& 1. 复数列的极限复数列的极限& 2. 级数的概念级数的概念第第 四四 章章
3、 级级 数数CH44.1 复数项级数复数项级数 1. 复数列的极限复数列的极限定义定义又设复常数：又设复常数：定理定理1证明证明2. 级数的概念级数的概念级数的前面级数的前面n项的和项的和-级数的部分和级数的部分和不收敛不收敛-无穷级无穷级数数定义定义设复数列：设复数列：例例1解解定理定理2证明证明A 由定理由定理2，复数项级数的收敛问题可归之为，复数项级数的收敛问题可归之为 两个实数项级数的收敛问题。两个实数项级数的收敛问题。性质性质定理定理3证明证明A ?定义定义由由定理定理3的证明过程，及不等式的证明过程，及不等式定理定理4解解例例2例例3解解练习：练习：& 1. 幂级数的概念幂级数的概
4、念& 2. 收敛定理收敛定理& 3. 收敛圆与收敛半径收敛圆与收敛半径& 4. 收敛半径的求法收敛半径的求法& 5. 幂级数的运算和性质幂级数的运算和性质4.2 幂级数幂级数1. 幂级数的概念幂级数的概念定义定义设复变函数列：设复变函数列：-称为复变函数项级称为复变函数项级数数级数的最前面级数的最前面n项的和项的和-级数的部分和级数的部分和若级数若级数(1)在在D内处处收敛，其和为内处处收敛，其和为z的函数的函数-级数级数(1)的和函数的和函数特殊情况，在级数特殊情况，在级数(1)中中称为幂级数称为幂级数2. 收敛定理收敛定理同实变函数一样，复变幂级数也有所谓的收敛定理：同实变函数一样，复变幂
5、级数也有所谓的收敛定理：定理定理1 (阿贝尔阿贝尔(Able)定理）定理）3. 收敛圆与收敛半径收敛圆与收敛半径由由Able定理，幂级数的收敛范围不外乎下述定理，幂级数的收敛范围不外乎下述三种情况：三种情况：(i)若对所有正实数都收敛，级数若对所有正实数都收敛，级数(3)在复平面上在复平面上处处收敛。处处收敛。(ii )除除z=0外，对所有的正实数都是发散的，这时，外，对所有的正实数都是发散的，这时， 级数级数(3)在复平面上除在复平面上除z=0外处处发散。外处处发散。显然，显然， 否则，级数否则，级数(3)将在将在 处发散。处发散。将将收敛部分染成红色，发散收敛部分染成红色，发散部分染成蓝色
6、，部分染成蓝色， 逐渐变大，逐渐变大，在在c c 内部都是红色内部都是红色, , 逐渐变逐渐变小，在小，在c c 外部都是蓝色，外部都是蓝色，红、蓝色不会交错。红、蓝色不会交错。故故A ( (i) )幂级数在收敛圆内部收敛，在收敛圆外幂级数在收敛圆内部收敛，在收敛圆外部发散，在圆周上可能收敛可能发散，具体问题部发散，在圆周上可能收敛可能发散，具体问题要具体分析。要具体分析。定义定义这个红蓝两色的分界圆周这个红蓝两色的分界圆周cR叫做幂级数的叫做幂级数的收敛圆；这个圆的半径收敛圆；这个圆的半径R叫做幂级数的收敛半径。叫做幂级数的收敛半径。(ii)幂级数幂级数(3)的收敛范围是以的收敛范围是以0为
7、中心，半径为为中心，半径为R的圆域；幂级数的圆域；幂级数(2)的收敛范围是以的收敛范围是以z0为中心为中心,半径半径为为R的圆域的圆域.4. 收敛半径的求法收敛半径的求法 定理定理3(根值法根值法) 定理定理2(比值法比值法)例例1解解 综上综上例例3 求下列幂级数的收敛半径并讨论收敛圆周上的情形求下列幂级数的收敛半径并讨论收敛圆周上的情形:解解 (1)该级数收敛该级数收敛该级数发散该级数发散p=1p=2该级数在收敛圆上是该级数在收敛圆上是处处处处收敛的。收敛的。 综上综上该级数发散。该级数发散。该级数收敛，该级数收敛，故该级数在复平面上是处处收敛的故该级数在复平面上是处处收敛的.5. 幂级数的运算和性质幂级数的运算和性质q代数运算代数运算-幂级数的加、减运算幂级数的加、减运算-幂级数的乘法运算幂级数的乘法运算-幂级数的代换幂级数的代换(复合复合)运算运算A 幂级幂级数的代换运数的代换运算在函数展算在函数展成幂级数中成幂级数中很有用很有用.例例3解解代换代换解解代换代换展开展开还原还原q分析运算分析运算定理定理4-幂级数的逐项求导运算幂级数的逐项求导运算-幂级数的逐项积分运算幂级数的逐项积分运算 作业P103 30(1)(2),31P141 1(2)(4),3(3)(4),6(2)(3)(4),11(1)(3)
