线性代数与解析几何：第3章 线性方程组

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1、 线性代数课程结构简图线性代数课程结构简图未知数个数与方程个数相等行列式矩 阵线性代数方程组未知数个数与方程个数不等向向量量空空间间第三章第三章 线性方程组线性方程组n第一节 解的有关概念n第二节 线性方程组的解法n第三节 解的理论 解集合：解集合：解的全体解方程组解方程组：求出解集合2024/7/274同同解解相相容容方方程程组组有有相相同同解解集集合合存存在在解解集集合合否则否则不不相相容容若方程组的解能用统一的形式来表示，若方程组的解能用统一的形式来表示，称该解为线性方程组一般解称该解为线性方程组一般解(或通解或通解)；相对应的具体的解称为特解。相对应的具体的解称为特解。 求解线性方程组

2、就是把线性方程组求解线性方程组就是把线性方程组经过同解变换化成容易求解的方程组。经过同解变换化成容易求解的方程组。从而写出方程组的解。从而写出方程组的解。系数系数矩阵矩阵未知量未知量矩阵矩阵常数项常数项矩阵矩阵增广矩阵增广矩阵方程组 Ax=B 与下面的增广矩阵存在一一对应关系一一对应关系： 这是线性代数中最基本的也是最重要的一次抽象抽象，世界上所有的方程组 与所有的矩阵（增广矩阵）之间存在一一对应的关系，从此，对方程组 的研究彻底的转化为对矩阵的研究。第二节 线性方程组的解法定义定义2：方程组的初等变换u（1） 互换两个方程的位置u（2） 用一个非零数乘某个方程的两边u（3） 将一个方程的两边

3、同乘以某常数 加到另一个方程u性质性质1：方程组的初等变换是同解变换。 u性质性质2：方程组的初等变换，对应于增广矩阵的初等行变换。线性方程组解法讨论增广矩阵增广矩阵初等行变换初等行变换阶梯型矩阵阶梯型矩阵2024/7/2715与方程组与方程组比较比较阶梯型矩阵中可能有全为零的阶梯型矩阵中可能有全为零的行，对应的均为多余的方程行，对应的均为多余的方程第三节 解的理论 容易看出方程组有解矩阵对应方程组矩阵对应方程组通解为r=nr=n时，方程有唯一解时，方程有唯一解定理定理1线性方程组解的情形定理定理1线性方程组解的情形有解有解无穷多解n唯一解=n定理定理1线性方程组解的情形无解无解 对于线性方程

4、组对于线性方程组AX=B，当，当B=0时，时，称为齐次线性方程组；反之，称为非齐称为齐次线性方程组；反之，称为非齐次线性方程组。易知齐次线性方程组一次线性方程组。易知齐次线性方程组一定存在零解，所以齐次线性方程组经常定存在零解，所以齐次线性方程组经常关心的是它是否存在非零解关心的是它是否存在非零解.推论推论1：n元齐次线性方程组仅有零解的充要条件是秩(A)=n，有非零解的充要条件是秩(A)n.练习解考虑1.有无解2.有解(唯一解还是无穷多解)讨论:最后的阶梯型矩阵对应的线性方程组为其通解为方法2由本题的特点:方程组中方程的个数与未知量个数一样,可想到先求系数行列式,利用克莱姆法则从上面介绍的消元法我们知道，消元法实质上是利用一系列方程组的初等变换将其变成同解的阶梯形方程组.我们强调，对方程组实行初等变换相应于对其增广矩阵实行矩阵的初等行变换. 因此消元法也可看作是对其增广矩阵实行一系列初等行变换化为阶梯矩阵阶梯矩阵的过程.u今日签到！ u善为士者不武，善战者不怒，善胜敌者不与，善用人者为之下。老子