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1、“杨辉三角杨辉三角”中的一些秘中的一些秘密密二项式（二项式（a+b）n展开展开式的二项式系数，当式的二项式系数，当n依次取依次取1，2，3时，列出的一张时，列出的一张表，叫做表，叫做二项式系数二项式系数表表，因它形如三角形，因它形如三角形，南宋南宋的的杨辉杨辉对其有过对其有过深入研究，所以我们深入研究，所以我们又称它为又称它为杨辉三角杨辉三角 杨辉杨辉详详解解九九章章算算法法中中记记载载的的表表1.杨辉三角杨辉三角第第5行行 1 5 5 1第第0行行12 .2 .杨杨杨杨辉辉辉辉三三 角角 与与 二二 项项 系系 数数三三 角角 与与 二二 项项 系系 数数第第1行行 1 1第第2行行 1 2
2、 1第第3行行 1 3 3 1第第4行行 1 4 1第第6行行 1 6 15 6 1第第n-1行行 11第第n行行 11 1520101064见书见书P353.杨辉三角基本性质杨辉三角基本性质第第5行行 1 5 5 1第第0行行1第第1行行 1 1第第2行行 1 2 1第第3行行 1 3 3 1第第4行行 1 4 1第第6行行 1 6 15 6 1第第n-1行行 11第第n行行 11 1520101064再探杨辉三角根据你发现的规律，猜想下列数列的前若干项的和：根据你发现的规律，猜想下列数列的前若干项的和：一般地，一般地，见书见书P364.横看杨辉三角中各行数字横看杨辉三角中各行数字 第第1
3、1行行1 11 12 2第第2 2行行1 12 21 14 42 22 2第第3 3行行1 13 33 31 18 82 23 3第第4 4行行1 14 46 64 41 116162 24 4第第5 5行行1 15 5101010105 51 132322 25 5第第n n行行 (1) (1)第第n n行数字的和为行数字的和为2 2 n n (2) (2) 前前n n行行( (含第含第0 0行行) )所有数的和为所有数的和为2 2 n+1 n+1 1 1性质性质14.横看杨辉三角中各行数字横看杨辉三角中各行数字二看：二看：4，8，16，各行数字有何特点？各行数字有何特点？一看：一看：1，3
4、，7，15各行数字有何特点？各行数字有何特点？三看：三看：2，3，5，7，11各行数字有何特点？各行数字有何特点？1 1、第第1 1，3 3，7 7，1515，这些行即这些行即2 2k k-1-1（k k是是正整数）行的各个数字均为奇数，正整数）行的各个数字均为奇数，2 2k k行除行除两端的两端的1 1之外都是偶数。之外都是偶数。2 2、当行数当行数P P是质数（素数），除去两端的是质数（素数），除去两端的数字数字1 1以外，行数以外，行数P P整除其余所有的数。整除其余所有的数。性质性质25.斜看杨辉三角中各行数字的和斜看杨辉三角中各行数字的和从杨辉三角中一个确定的数的从杨辉三角中一个确定
5、的数的“左（右）肩左（右）肩”出出发，向右（左）上方作一条和左斜边平行的射线，发，向右（左）上方作一条和左斜边平行的射线，在这条射线上的各数的和等于这个数在这条射线上的各数的和等于这个数.5.斜看杨辉三角中各行数字的和斜看杨辉三角中各行数字的和一般地，在第一般地，在第m条斜线上（从右上到左下）条斜线上（从右上到左下）前前n个数字的和，等于第个数字的和，等于第 m+1 条斜线上条斜线上的第的第 n 个数个数性质性质3第第6行行 1 6 15 20 15 6 1第第4行行 1 4 6 4 1第第5行行 1 5 10 10 5 1第第3行行 1 3 3 1 125第第7行行 1 7 21 35 35
6、 21 7 1第第1行行 1 1第第0行行1第第2行行 1 2 1138132134第第8行行 1 8 28 56 70 56 28 8 15.斜看杨辉三角中各数的和斜看杨辉三角中各数的和1，1，2，3，5，8，13，21，34，此数列此数列an满足满足, a1=1,a2=1, 且且an=an-1+an-2 (n3)这就是著名这就是著名的的斐波那契数列斐波那契数列世事洞明皆数学，留心处处是文章。性质性质4 中世纪意大利数学家斐波那契的传世之作中世纪意大利数学家斐波那契的传世之作算术之法算术之法中提中提出了一个饶有趣味的问题：假定一对刚出生的兔子一个月就能出了一个饶有趣味的问题：假定一对刚出生的
7、兔子一个月就能长成大兔子，再过一个月就开始生下一对小兔子，并且以后每长成大兔子，再过一个月就开始生下一对小兔子，并且以后每个月都生一对小兔子设所生一对兔子均为一雄一雌，且均无个月都生一对小兔子设所生一对兔子均为一雄一雌，且均无死亡问一对刚出生的小兔一年内可以繁殖成多少对兔子？死亡问一对刚出生的小兔一年内可以繁殖成多少对兔子？ 兔子繁殖问题也可以从杨辉三角得到答案：兔子繁殖问题也可以从杨辉三角得到答案：兔子繁殖问题也可以从杨辉三角得到答案：兔子繁殖问题也可以从杨辉三角得到答案：1，1，2，3，5，8，13，21，34， 6.杨辉三角与杨辉三角与“纵横路线纵横路线图图” “纵横路线图”是数学中的一
8、类有趣的问题：如图是某城市的部分街道图，纵横各有五条路，如果从A处走到B处 (只能由北到南，由西向东)，那么有多少种不同的走法？ AB 由此看来，杨辉三角与纵横路线图问题有天然的联系由此看来，杨辉三角与纵横路线图问题有天然的联系 707.杨辉三角与弹子游戏杨辉三角与弹子游戏 在游艺场，可以看到如图的弹子游戏，小球在游艺场，可以看到如图的弹子游戏，小球 ( (黑黑色色 ) ) 向容器内跌落，碰到第一层阻挡物后等可能地向容器内跌落，碰到第一层阻挡物后等可能地向两侧跌落，碰到第二层阻挡物再等可能地向两侧第向两侧跌落，碰到第二层阻挡物再等可能地向两侧第三层跌落，如是，一直下跌，最终小球落入底层，根三层
9、跌落，如是，一直下跌，最终小球落入底层，根据具体区域获得奖品。试问：为什么两边区奖品高于据具体区域获得奖品。试问：为什么两边区奖品高于中间区奖品？中间区奖品？答：答：两边的概率要比中间小。类两边的概率要比中间小。类似于一个三角形，中间掉的概率似于一个三角形，中间掉的概率高。商家当然是要把钱多的给少高。商家当然是要把钱多的给少的了！放在中间岂不是对不起自的了！放在中间岂不是对不起自己么！己么！（见书（见书P70高尔顿板高尔顿板）8.成果展示成果展示1 1、杨辉三角的第杨辉三角的第n n行数字的和为行数字的和为2 2n n。前。前n n行（含第行（含第0 0行）所有和为行）所有和为2 2n n-1
10、-1，它恰好比第，它恰好比第n n行的和行的和2 2n n小小1 1；2 2、杨辉三角的第杨辉三角的第1 1，3 3，7 7，1515，行，即第行，即第2 2K K-1-1（k k是正整数）行的各个数字均为奇数。是正整数）行的各个数字均为奇数。3 3、当行数当行数P P是质数（素数），除去两端的数字是质数（素数），除去两端的数字1 1以以外，行数外，行数P P整除其余所有的数。整除其余所有的数。4 4、一般地，在第一般地，在第m m条斜线上（从右上到左下）前条斜线上（从右上到左下）前n n个数字的和，等于第个数字的和，等于第 m+1 m+1 条斜线上的第条斜线上的第 n n 个数个数5、数列数
11、列anan满足满足, a, a1 1=1,a=1,a2 2=1, =1, 且且a an n=a=an-1n-1+a+an-2n-2 (n3)(n3)这就是著名的这就是著名的斐波那契数列斐波那契数列9.方法总结方法总结1、运用了联系、类比的观点看问题；2、运用了从特殊到一般的归纳猜想与证明的思想方法；3、学会从多角度看问题:“横看成岭侧成峰，远近高低各不同”；4、锤炼发现问题、提出问题、解决问题的能力。课外研究性作业：除了以上性质（蕴含的）数字之外，还有哪些好的性质？第0行 1第1行 1 1第2行 1 2 1第3行 1 3 3 1第4行 1 4 6 4 1第5行 1 5 10 10 5 1 1、（、（04. 上海春季高考）上海春季高考）如图，在由如图，在由二项式系数所构成的杨辉三角形中，二项式系数所构成的杨辉三角形中，第第_行中从左至右第行中从左至右第14与第与第15个数个数的比为的比为2：33410.链接高考链接高考第第1行行 1第第2行行 2 2第第3行行 3 4 3第第4行行 4 7 7 4第第5行行 5 11 14 11 5第第6行行 6 16 25 25 16 6 r+1
