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1、3.5.2简单线性规划1在平面直角坐标系中，所有的点被直线xy10分成三类：即点在直线上，点在直线的区域，点在直线的 区域2二元一次不等式组表示的平面区域是其中的每个二元一次不等式表示的平面区域的上方下方公共部分线性规划中的基本概念名称定义目标函数求 的函数，叫做目标函数约束条件目标函数中的变量所要满足的线性目标函数如果目标函数是 则称为线性目标函数线性约束条件如果约束条件是 ，则称为线性约束条件最大值或最小值不等式组关于变量的一次函数关于变量的一次不等式组名称定义最优解使目标函数达到 的点的 ，称为问题的最优解线性规划问题在线性约束条件下，求线性目标函数的 问题，称为线性规划问题可行解 满足
2、线性约束条件的 叫做可行解可行域 由所有 组成的集合叫做可行域最大值或最小值坐标最大或最小值(x，y)可行解1在线性约束条件下，最优解唯一吗？【提示】不一定，最优解可能有一个，也可能有多个，甚至可以有无数多个2在线性目标函数zxy中，目标函数z的最大、最小值与截距的对应关系是怎样的？【提示】z的最大值对应于截距的最小值，z的最小值对应于截距的最大值解决简单线性规划的方法为图解法，就是用一组平行直线与某平面区域相交，研究直线在y轴上截距的最大值或最小值，从而求某些函数的最值【解析】由题意，满足二元一次不等式组的解的可行域如图所示【答案】C 【解析】作出直线x2y70,4x3y120，x2y30，
3、根据不等式组确定可行域如图阴影部分把zx2y2看作点(x，y)到原点(0,0)的距离的平方已知变量x，y满足约束条件1xy4，2xy2.若目标函数zaxy(其中a0)仅在点(3,1)处取得最大值，则a的取值范围为_【思路点拨】画出可行域，根据题意，结合图形找出目标函数斜率与边界斜率间的关系【解析】由约束条件画出可行域(如图)点C的坐标为(3,1)，z最大时，即平移yax时使直线在y轴上的截距最大akCD，即a1，a1.【答案】a1这是一道线性规划的逆向思维问题，解答此类问题必须明确线性目标函数的最值一般在可行域的顶点或边界取得，运用数形结合的思想方法求解，同时，要注意边界直线斜率与目标函数斜率
4、关系【解析】由约束条件画出可行域如图所示某公司的仓库A存有货物12吨，仓库B存有货物8吨，现按7吨、8吨和5吨把货物分别调运给甲、乙、丙三个商店，从仓库A运货物到商店甲、乙、丙，每吨货物的运费分别为8元、6元、9元；从仓库B运货物到商店甲、乙、丙，每吨货物的运费分别为3元、4元、5元，问应如何安排调运方案，才能使得从两个仓库运货物到三个商店的总运费最少？【思路点拨】先设仓库A运给甲、乙商店的货物吨数，利用题设等量关系表示出其他运物吨数，从而表示出目标函数总运费，列出线性约束条件，建立线性规划模型【解析】将实际问题的一般语言翻译成数学语言可得下表(即运费表，单位：元)商店每吨运费仓库甲乙丙A86
5、9B345设仓库A运给甲、乙商店的货物分别为x吨、y吨，则仓库A运给丙商店的货物为(12xy)吨；从而仓库B运给甲、乙、丙商店的货物应分别为(7x)吨，(8y)吨，5(12xy)吨，即(xy7)吨，于是总运费为z8x6y9(12xy)3(7x)4(8y)5(xy7)x2y126.则问题转化为求总运费作出上述不等式组所表示的平面区域，即可行域，作出直线l：x2y0，把直线l作平行移动，显然当直线l移动到过点A(0,8)时，在可行域内，zx2y126取得最小值zmin028126110.即x0，y8时，总运费最少答：仓库A运给甲、乙、丙商店的货物分别为0吨、8吨、4吨；仓库B运给甲、乙、丙商店的货
6、物分别为7吨、0吨、1吨，此时，可使得从两个仓库运货物到三个商店的总运费最少4.(2008广州模拟)某工厂生产甲、乙两种产品，每生产一吨产品所消耗的电能和煤、所需工人人数以及所得产值如下表所示：品种电能(千度)煤(吨)工人人数(人)产值(万元)甲2357乙85210已知该工厂的工人人数最多是200人，根据限额，该工厂每天消耗电能不得超过160千度，消耗煤不得超过150吨，问怎样安排甲、乙两种产品的生产数量，才能使每天所得的产值最大1最优解的确定最优解的确定可有两种方法：(1)将目标函数的直线平行移动，最先通过或最后通过的顶点便是最优解(2)利用围成可行域的直线的斜率来判断，若围成可行域的直线l
7、1，l2，ln的斜率分别为k1k2kn，而且目标函数的直线的斜率为k，则当kikki1时，直线li与li1的交点一般是最优解2应用线性规划处理实际问题时应注意的问题(1)求解实际问题时，除严格遵循线性规划求目标函数最值的方法外，还应考虑实际意义的约束，要认真解读题意，仔细推敲并挖掘相关条件，同时还应具备批判性检验思维，以保证解决问题的准确和完美(2)处理实际问题时，x0，y0常被忽略，在解题中应多加注意(3)在求最优解时，一般采用图解法求解【错因】显然整点B(2,1)满足约束条件，且此时S14，故上述解法不正确对于整点解问题，其最优解不一定是离边界点最近的整点而要先对边界点作目标函数tAxBy的图象，则最优解是在可行域内离直线tAxBy最近的整点【正解】依约束条件画出可行域如上图因为x，y为整数，所以当直线5x4yt平行移动时，从点A起第一个通过的可行域的整点是B(2,1)，此时Smax14.【答案】C 【答案】D 【答案】11 4有一化肥厂生产甲、乙两种混合肥料，生产1车皮甲种肥料或1车皮乙种肥料需要的主要原料和产生的利润分别为：磷酸盐2 t，硝酸盐9 t，利润8 000元或磷酸盐2 t，硝酸盐5 t，利润6 000元工厂现有库存磷酸盐20 t，硝酸盐70 t，应生产甲、乙肥料各多少车皮可获得最大利润？
