《高等数学课件：3-6 弧微分 曲率 函数作图》由会员分享，可在线阅读，更多相关《高等数学课件：3-6 弧微分 曲率 函数作图（64页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、1、弧长的定义、弧长的定义oyxM0Mx0x 设函数设函数f(x)在在(a,b)内具有连续得导数，曲线内具有连续得导数，曲线y=f(x)上固定点上固定点M0(x0,y0)为度量弧长得基点，并规定依为度量弧长得基点，并规定依x增大的方向为曲线的正向，曲线上任意一点增大的方向为曲线的正向，曲线上任意一点M(x,y),规定弧长规定弧长S的长度的绝对值等于这段弧的长度的长度的绝对值等于这段弧的长度,有向有向3.6 弧微分弧微分 曲率曲率 函数作图函数作图3.6.1 弧微分弧微分2、弧微分公式、弧微分公式oyxM0Mx0x弧微分公式弧微分公式3.6.2 曲率及其计算曲率及其计算曲率是描述曲线局部性质（弯
2、曲程度）的量曲率是描述曲线局部性质（弯曲程度）的量)弧段弯曲程度弧段弯曲程度越大转角越大越大转角越大转角相同弧段越转角相同弧段越短弯曲程度越大短弯曲程度越大1、曲率的定义、曲率的定义)曲线的弯曲程度与切线转角的大小曲线的弯曲程度与切线转角的大小成正比，与弧的长度反比成正比，与弧的长度反比M0Myox)yxo（定义定义曲线曲线C在点在点M处的曲率处的曲率oM再如，设圆的半径为再如，设圆的半径为a，如图如图圆的任意一点处曲率都是圆的任意一点处曲率都是 ,圆的各点圆的各点的弯曲程度一样，且半径越小的圆弯曲越厉害的弯曲程度一样，且半径越小的圆弯曲越厉害 .2、曲率的计算公式、曲率的计算公式例：求半径为
3、例：求半径为R的圆的曲率的圆的曲率解：设圆的方程为解：设圆的方程为x2+y2=R2,由隐函数求导法由隐函数求导法例例1 1解解显然显然,曲率圆与曲率半径曲率圆与曲率半径这个圆就叫做曲线在点这个圆就叫做曲线在点M处的曲率圆处的曲率圆.曲率圆曲率圆的的圆心叫做曲线在点圆心叫做曲线在点M的的曲率中心曲率中心,曲率圆的半曲率圆的半径径叫做曲线在点叫做曲线在点M的曲的曲率半径率半径.MDOXy 在点在点M处处,曲率圆和曲率圆和曲线曲线y=f(x)有相同的切线有相同的切线和曲率和曲率,并且在点并且在点M有向有向同的凹向同的凹向,因此因此,在点在点M可可用曲率圆弧近似代替用曲率圆弧近似代替曲线弧曲线弧. 曲
4、线曲线y=f(x)在点在点M处的处的曲率曲率K和该点的曲率半径和该点的曲率半径的关系为的关系为:故当曲率半径较大时故当曲率半径较大时,曲率较小曲率较小,曲线弯曲较轻曲线弯曲较轻;故故当曲率半径较小时当曲率半径较小时,曲率较大曲率较大,曲线弯曲较厉害曲线弯曲较厉害.1.曲线上一点处的曲率半径与曲线在该点处的曲线上一点处的曲率半径与曲线在该点处的曲率互为倒数曲率互为倒数.注意注意: :2.曲线上一点处的曲率半径越大曲线上一点处的曲率半径越大,曲线在该点曲线在该点处的曲率越小处的曲率越小(曲线越平坦曲线越平坦);曲率半径越小曲率半径越小,曲曲率越大率越大(曲线越弯曲曲线越弯曲).3.曲线上一点处的曲
5、率圆弧可近似代替该点附曲线上一点处的曲率圆弧可近似代替该点附近曲线弧近曲线弧(称为曲线在该点附近的二次近似称为曲线在该点附近的二次近似). 例例4:设某零件内表面的截线为抛物线设某零件内表面的截线为抛物线 y=0.4x2,加工时用砂轮磨削其内表面加工时用砂轮磨削其内表面,问选用问选用直径多大的砂轮才合适？直径多大的砂轮才合适？oxy 解解:抛物线在顶点处曲率抛物线在顶点处曲率最大最大,曲率半径最小曲率半径最小,砂轮半砂轮半径不应大于顶点处的曲率径不应大于顶点处的曲率半径半径.这里求出抛物线这里求出抛物线 y=0.4x2在点在点(0,0)处的曲率处的曲率.点击图片任意处播放点击图片任意处播放暂停
6、暂停例例2 2证证如图如图（在缓冲段上在缓冲段上,实际要求实际要求例例3 3解解如图如图,受力分析受力分析视飞行员在点视飞行员在点o作匀速圆周运动作匀速圆周运动,O点处抛物线轨道的曲率半径点处抛物线轨道的曲率半径得曲率为得曲率为曲率半径为曲率半径为即即:飞行员对座椅的压力为飞行员对座椅的压力为641.5千克力千克力.3.6.3 渐近线渐近线定义定义: :1.1.铅直渐近线铅直渐近线例如例如有铅直渐近线两条有铅直渐近线两条: :注意注意:例例1 1解解3.6.4 函数图形描绘函数图形描绘利用函数特性描绘函数图形利用函数特性描绘函数图形.第一步第一步第二步第二步第三步第三步第四步第四步 确定函数图
7、形的水平、铅直渐近线、斜渐确定函数图形的水平、铅直渐近线、斜渐近线以及其他变化趋势近线以及其他变化趋势;第五步第五步作图举例作图举例例例2 2解解非奇非偶函数非奇非偶函数,且无对称性且无对称性.列表确定函数升降区间列表确定函数升降区间,凹凸区间及极值点和拐点凹凸区间及极值点和拐点:不存在不存在拐点拐点极值点极值点间间断断点点作图作图例：作出例：作出y=3x-x3的图形的图形.-1 (-1,0)0(0,1)10_0+_+0_极极小小值值拐点(0,0)极大值符号“”表示单调减少下凸.曲线无水平、垂直渐进线,利用函数的奇偶性,可描绘函数图形如下:oxy-2-11212-1-2(-3,3)3(3,6)
8、6-+-0+间断点极大值拐点极大值极大值f(3)=4,得点得点(3,4), 综合上述描绘函数图形如下综合上述描绘函数图形如下oxyX=-3例例3 3解解偶函数偶函数, 图形关于图形关于y轴对称轴对称.拐点拐点极大值极大值列表确定函数升降区间列表确定函数升降区间,凹凸区间及极值点与拐点凹凸区间及极值点与拐点:拐点拐点例例4 4解解无奇偶性及周期性无奇偶性及周期性.列表确定函数升降区间列表确定函数升降区间, 凹凸区间及极值点与拐点凹凸区间及极值点与拐点:拐点拐点极大值极大值极小值极小值小小 结结运用微分学的理论运用微分学的理论,研究曲线和曲面的性研究曲线和曲面的性质的数学分支质的数学分支微分几何学
9、微分几何学.基本概念基本概念: 弧微分弧微分,曲率曲率,曲率圆曲率圆.曲线弯曲程度的描述曲线弯曲程度的描述曲率曲率;曲线弧的近似代替曲率圆曲线弧的近似代替曲率圆(弧弧).函数图形的描绘综合运用函数性态的研究函数图形的描绘综合运用函数性态的研究,是是导数应用的综合考察导数应用的综合考察.最最大大值值最最小小值值极极大大值值极极小小值值拐拐点点凹的凹的凸的凸的单增单增单减单减思考题思考题 1、 椭圆椭圆 上哪些上哪些点处曲率最大？点处曲率最大？思考题解答思考题解答要使要使 最大，最大， 必有必有 最小，最小，此时此时 最大，最大，练练 习习 题题练习题答案练习题答案练习题练习题练习题答案练习题答案1图图2图图二、二、3图图三、三、
