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1、29.3切线的性质和判定切线的性质和判定思考：思考：判定直线判定直线 与圆的位置关系的方法有与圆的位置关系的方法有_种：种：（1）根据定义，由）根据定义，由_ 的个数来判断；的个数来判断；（2）根据性质，由）根据性质，由_的关系来判断。的关系来判断。在实际应用中，常采用第二种方法判定。在实际应用中，常采用第二种方法判定。两两直线直线 与圆的公共点与圆的公共点圆心到直线的距离圆心到直线的距离d与半径与半径r2.前面我们已学过的切线的性质有哪些前面我们已学过的切线的性质有哪些？答：答：、切线和圆有且只有一个公共点；、切线和圆有且只有一个公共点；、切线和圆心的距离等于半径。、切线和圆心的距离等于半径
2、。思考：思考：1.什么是圆的切线什么是圆的切线?判断一条直线是圆的判断一条直线是圆的切线的方法有那些切线的方法有那些?观察右图：观察右图： 如果直线如果直线AT是是 O 的切的切线，线，A 为切点，那么为切点，那么AT和和半径半径OA是是 不不 是一定垂直？是一定垂直？ATO直线直线AT切圆切圆O于于A AT OA 切线的性质定理切线的性质定理 圆的切线垂直于经过切点的半径圆的切线垂直于经过切点的半径一、一、切线还有什么性质？切线还有什么性质？观察与思考观察与思考1.如图，如果一条直线经过圆心如图，如果一条直线经过圆心O，并且与切，并且与切线线AB垂直，那么这条直线经过切点垂直，那么这条直线经
3、过切点T吗？为吗？为什么？什么？1.如图，如果一条直线经过切点如图，如果一条直线经过切点T，并且与，并且与切线切线AB垂直，那么这条直线经过圆心垂直，那么这条直线经过圆心O吗？吗？为什么？为什么？OBAT探索探索切线切线性质性质假设假设OAOA与与ATAT不垂直不垂直, ,过点过点O O作作OMAT,OMAT,垂足为垂足为M,M,n则则OMOA,OMOA,即即dr,dr,因此因此,AT,AT与与O O相交相交. .这与已这与已知条件知条件“直线直线ATAT与与O O相切相切”相矛盾相矛盾. .n所以所以ATAT与与OAOA垂直垂直. .ATOM探索探索切线切线性质性质n右图是轴对称图形右图是轴
4、对称图形,AB,AB是对称轴是对称轴, ,n沿沿直线直线ABAB对折图形时对折图形时,AT,AT与与ADAD重合重合, ,因此因此,BAT=BAD=90,BAT=BAD=90. .ATOBD作直径作直径AB经过圆心且垂直于切线的直线必经过经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点切点经过切点且垂直于切线的直线必经过经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心圆心圆的切线圆的切线垂直垂直于经过切点的半径于经过切点的半径经过圆心经过圆心直线经过切点直线经过切点垂直于切线垂直于切线知二推一知二推一经过圆心经过圆心垂直于切线垂直于切线直线经过切点直线经过切点垂直于切线垂直于切线经过圆心经过圆心直线经过切点直线经过切
5、点直线经过切点直线经过切点经过圆心经过圆心( (半径半径) )垂直于切线垂直于切线(3).如果如果AB是是 O的切线，的切线，OAAB，那么，那么A是是(2). 如果半径如果半径OAAB，那么那么AB是是按图填空：按图填空：(口答口答)(1). 如果如果AB切切 O于于A，那么那么AOB O的切线的切线切点切点OA AB.练习：练习：1 1、已已知知：如如图图：在在ABCABC中中，ACAC与与O O相相 切切 于于 点点 C C， BCBC过过 圆圆 心心 ） ，BAC=63BAC=63，求，求ABCABC的度数。的度数。2 2、已已知知：如如图图：ABAB是是O O的的弦弦，ACAC切切于
6、于点点A A，且且BAC=54BAC=54，求求OBAOBA的度数。的度数。d lr二、切线的判定二、切线的判定观察与发现观察与发现图中怎样判定直线图中怎样判定直线l是是 O的切线？的切线？答答:直线与圆有唯一公共点；直线与圆有唯一公共点；直线到圆心的距离等于该圆的半径直线到圆心的距离等于该圆的半径；判定一条直线是不是圆的切线除了这两种判定一条直线是不是圆的切线除了这两种方法外，还有其它方法吗方法外，还有其它方法吗? 如图如图OA是是 O的的半径半径，过，过点点A作直线作直线l OA,1、用、用r表示半径的长，表示半径的长，d表示圆心表示圆心O到直线到直线l的的距离，那么，距离，那么，r和和d
7、有怎样的数量关系？有怎样的数量关系？ 经过半径的外端并且垂直与这条半径的直线是经过半径的外端并且垂直与这条半径的直线是圆的切线圆的切线Alo切线的判断定理切线的判断定理：2、指出直线、指出直线 l和和 O有什么位置关系有什么位置关系? 直线直线 l 是是 O相相切切一起探究一起探究d=r 3、重新在圆上取几个点，重复上面的过程，指出过半径的、重新在圆上取几个点，重复上面的过程，指出过半径的外端且垂直半径的直线与外端且垂直半径的直线与 O的位置关系。的位置关系。 几何符号表达几何符号表达 OAOAOAOA是半径，是半径，是半径，是半径，OAOAOAOAl l于于于于A A A A l l是是是是
8、O O O O的切线。的切线。的切线。的切线。判断对错判断对错1. 过半径的外端的直线是圆的切线（过半径的外端的直线是圆的切线（ ）2. 与半径垂直的的直线是圆的切线（与半径垂直的的直线是圆的切线（ ）3. 过半径的端点与半径垂直的直线是圆的切线过半径的端点与半径垂直的直线是圆的切线 ( )OOr rl lA AOOr rl lA AOOr rl lA A 利用判定定理时，要注意直线须具备以利用判定定理时，要注意直线须具备以利用判定定理时，要注意直线须具备以利用判定定理时，要注意直线须具备以下两个条件下两个条件下两个条件下两个条件, , , ,缺一不可缺一不可缺一不可缺一不可: : : : (
9、1) (1) (1) (1)直线经过半径的外端直线经过半径的外端直线经过半径的外端直线经过半径的外端; ; ; ; (2) (2) (2) (2)直线与这半径垂直。直线与这半径垂直。直线与这半径垂直。直线与这半径垂直。O切线的画法切线的画法如图，点如图，点A是是 O上一点，过点上一点，过点A作作 O的切线的切线llA 1、连结、连结OA2、过点、过点A画画l OA直线直线l为所画为所画lO切线的画法切线的画法如图，点如图，点A是是 O外一点，过点外一点，过点A作作 O的切线的切线llA 1、直角三角板的一直角边经过、直角三角板的一直角边经过点点O2、平移三角板，使其另一直、平移三角板，使其另一
10、直角边经过点角边经过点A3、画直线、画直线lMN3. 如图的两个圆是以如图的两个圆是以O为圆为圆心的同心圆，大圆的弦心的同心圆，大圆的弦AB是小圆的切线，是小圆的切线， C为切点为切点.求证：求证：C是是AB的中点的中点.CABO证明：如图，证明：如图， C是是AB的中点的中点.AC=BC根据垂径定理，得根据垂径定理，得OCAB连接连接OC, 则则例：如果在地球赤道上空例：如果在地球赤道上空同样高度的位置上放置等同样高度的位置上放置等距的三颗地球同步通信卫距的三颗地球同步通信卫星，使卫星发射的信号刚星，使卫星发射的信号刚好能够覆盖全部赤道，那好能够覆盖全部赤道，那么卫星高度应是什么？么卫星高度
11、应是什么？（地球半径（地球半径R6370km） 分析：我们把赤道看成一个圆，同样高度且等距分析：我们把赤道看成一个圆，同样高度且等距的三颗卫星的信号刚好覆盖全部赤道，等同于一的三颗卫星的信号刚好覆盖全部赤道，等同于一个等边三角形的三边与赤道所在的圆都相切。个等边三角形的三边与赤道所在的圆都相切。 设三颗卫星分别位于点设三颗卫星分别位于点A，B，C处，这时，三个切点处，这时，三个切点把圆三等分，每份圆弧为圆把圆三等分，每份圆弧为圆周的三分之一，周的三分之一，易知：易知：AOD=60。 直线直线AB与圆相切于点与圆相切于点D，OD与直线与直线AB垂直。垂直。 解：如右图：解：如右图：设卫星高度为设
12、卫星高度为h，在，在Rt AOD中，中， cos60= 即即解这个方程，得：解这个方程，得： h=R6370km。 因此，当三颗卫星的高度是因此，当三颗卫星的高度是6370km时，信号就时，信号就能够覆盖全部赤道。能够覆盖全部赤道。 一、切线的性质有哪些？一、切线的性质有哪些？、切线和圆有且只有一个公共点、切线和圆有且只有一个公共点、圆的切线垂直于经过切点的半径、圆的切线垂直于经过切点的半径 、经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点、经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点、经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心、经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心、切线和圆心的距离等于半径、切线和圆心的距离等于半径
13、课堂小结二、判定切线的方法有哪些？二、判定切线的方法有哪些？直线直线l 与圆有唯一公共点与圆有唯一公共点与圆心的距离等于圆的半径与圆心的距离等于圆的半径经过半径外端且垂直这条半径经过半径外端且垂直这条半径l是圆的切线是圆的切线三、三、 常用的添辅助线方法？常用的添辅助线方法？ 直线与圆的公共点已知时，作出过公共点的半径，再直线与圆的公共点已知时，作出过公共点的半径，再证半径垂直于该直线。（连半径，证垂直）证半径垂直于该直线。（连半径，证垂直） 直线与圆的公共点不确定时，过圆心作直线的垂线段，直线与圆的公共点不确定时，过圆心作直线的垂线段，再证明这条垂线段等于圆的半径。（作垂直，证半径）再证明这
14、条垂线段等于圆的半径。（作垂直，证半径）l是圆的切线是圆的切线l是圆的切线是圆的切线3 3、三角形的内切圆与内心、三角形的内切圆与内心例例1、求证：经过直径的两端点、求证：经过直径的两端点的圆的切线互相平行。的圆的切线互相平行。CDOAB已知：如图，已知：如图，AB是圆是圆O的直的直径，直线径，直线AC,BD分别是过点分别是过点A,B的圆的圆O的切线。的切线。求证求证 : AC BD证明：如图，证明：如图，AB 是是 O的直径的直径AC、BD是是 O的切线的切线ABACABBDACBD123OBACD例例2、 如图，如图，AB为为 O的直径，的直径， ，AD是和是和 O相切于点相切于点A的切线
15、，的切线， O的弦的弦BC平行于平行于OD. 求证：求证：DC是是 O的切线的切线4已知：直线已知：直线AB经过经过 O上的点上的点C，并且，并且OA=OB，CA=CB。 求证：直线求证：直线AB是是 O的切线。的切线。OOB BA AC C分析：由于分析：由于ABAB过过O O上的点上的点C C，所以连接，所以连接OCOC，只要证明，只要证明 ABOCABOC即可。即可。 证明：连结证明：连结OC(OC(如图如图) )。 OAOAOB,CAOB,CACB, CB, OC OC是等腰三角形是等腰三角形OABOAB底边底边ABAB上的中线。上的中线。 ABOCABOC。 OCOC是是O O的半径
16、的半径 ABAB是是O O的切线。的切线。例例1例例2已知：已知：已知：已知：O O O O为为为为BACBACBACBAC平分线上一点，平分线上一点，平分线上一点，平分线上一点，ODABODABODABODAB于于于于D,D,D,D,以以以以O O O O为圆心，为圆心，为圆心，为圆心，ODODODOD为半径作为半径作为半径作为半径作O O O O。求证：求证：求证：求证：O O O O与与与与ACACACAC相切。相切。相切。相切。OOA AB BC CE ED D证明：过证明：过O O作作OEACOEAC于于E E。 AOAO平分平分BACBAC，ODABODAB OE OEODOD O
17、D OD是是O O的半径的半径 ACAC是是O O的切线。的切线。小小 结结例例1 1与例与例2 2的证法有何不同的证法有何不同? ?(1)(1)如果已知直线经过圆上一点如果已知直线经过圆上一点, ,则连结这点和圆心则连结这点和圆心, ,得到辅助半径得到辅助半径, ,再证所作半径与这直线垂直。简记再证所作半径与这直线垂直。简记为：为：连半径连半径, ,证垂直证垂直。 (2)(2)如果已知条件中不知直线与圆是否有公共如果已知条件中不知直线与圆是否有公共点点, ,则过圆心作直线的垂线段为辅助线则过圆心作直线的垂线段为辅助线, ,再证垂线再证垂线段长等于半径长。简记为：段长等于半径长。简记为：作垂直
18、作垂直, ,证半径证半径。OOB BA AC COOA AB BC CE ED D判断一条直线是圆的切线的方法判断一条直线是圆的切线的方法 1.1.利用切线的定义利用切线的定义: :与圆有唯一公共点的与圆有唯一公共点的直线是圆的切线。直线是圆的切线。 2.2.利用利用d d与与r r的关系作判断的关系作判断: :当当d dr r时直线时直线是圆的切线。是圆的切线。 3.3.利用切线的判定定理利用切线的判定定理: :经过半径的外端经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线。并且垂直于这条半径的直线是圆的切线。知识归纳知识归纳 分析：分析：假设符合条件的圆已经作出，那么它假设符合条件的圆已经
19、作出，那么它应当与三角形的三边都相切，这个圆的圆心到三应当与三角形的三边都相切，这个圆的圆心到三角形的距离都等于半径，如何找到圆心？角形的距离都等于半径，如何找到圆心？CAB 在一块三角形材料上截出一块圆形用料，怎样截在一块三角形材料上截出一块圆形用料，怎样截才能使圆的面积最大呢？才能使圆的面积最大呢？ 三角形的三条角平分线交于一三角形的三条角平分线交于一点，并且这个点到三条边的距点，并且这个点到三条边的距离相等，因此，圆心是三角形离相等，因此，圆心是三角形三个内角的平分线的交点。半三个内角的平分线的交点。半径的长是圆心到三角形一边的径的长是圆心到三角形一边的距离。距离。内切圆的圆心是三角形三
20、内切圆的圆心是三角形三条角平分线的交点条角平分线的交点,叫做三叫做三角形的角形的内心内心.CABIDMNr与三角形各边都相切的与三角形各边都相切的圆叫做三角形的圆叫做三角形的内切圆内切圆（3）以点）以点I为圆心，为圆心，ID的长为半径作的长为半径作 I ，则，则 I与与ABC的三条的三条边都相切边都相切. I就是符合就是符合要求的圆，要求的圆，即在三角形材料上截下即在三角形材料上截下的面积最大的圆。的面积最大的圆。解解（1）分别作出分别作出B、C的平分线的平分线BM和和CN，设他们相，设他们相 交于点交于点I（2）过点）过点I作作ID BC,垂足为垂足为DCOABEFD如图如图 ABC的内切圆
21、的内切圆 O与与BC、CA、AB分别相切于点分别相切于点D、E、F，且，且AB=9cm，BC=14cm，CA=13cm，求，求AF、BD、CE的长的长.解解: 设设 AF=x（cm），则），则AE=x，CD=CE=ACAE=13x，BD=BF=ABAF=9x，由由BD+CD=BC可得可得（13x）+（9x）=14.解得解得 x=4cm.因此因此 AF=4（cm），），BD=5 （cm），），CE=9 （cm）.证明：连结证明：连结OPOP。 AB=AC,B=CAB=AC,B=C。 OB=OPOB=OP，B=OPBB=OPB， OBP=COBP=C。 OPACOPAC。 PEACPEAC， PEOPPEOP。 PEPE为为0 0的切线。的切线。如图如图如图如图,ABC,ABC,ABC,ABC中，中，中，中，AB=ACAB=ACAB=ACAB=AC，以，以，以，以ABABABAB为直径的为直径的为直径的为直径的O O O O交边交边交边交边BCBCBCBC于于于于P P P P， PEACPEACPEACPEAC于于于于E E E E。 求证求证求证求证:PE:PE:PE:PE是是是是O O O O的切线。的切线。的切线。的切线。练 习OOA AB BC CE EP P
