24223圆实用教案

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1、学习(xux)目标1.掌握切线长的定义掌握切线长的定义(dngy)及切线长定理及切线长定理.（重点）（重点）2.初步学会运用切线长定理进行计算与证明初步学会运用切线长定理进行计算与证明.（难点）（难点）第1页/共36页第一页，共37页。讲授讲授(jingshu)新课新课切线长定理及应用一互动(hdn)探究问题1 上节课我们学习(xux)了过圆上一点作已知圆的切线(如左图所示)，如果点P是圆外一点，又怎么作该圆的切线呢？过圆外的一点作圆的切线，可以作几条？POBAO.PA B 第2页/共36页第二页，共37页。P1.切线长的定义：切线长的定义： 切线上一点到切点之间切线上一点到切点之间的线段的线

2、段(xindun)的长叫的长叫作这点到圆的切线长作这点到圆的切线长AO切线是直线(zhxin)，不能度量.切线长是线段的长，这条线段的两个(lin )端点分别是圆外一点和切点，可以度量2.切线长与切线的区别在哪里？知识要点第3页/共36页第三页，共37页。问题2 PA为O的一条切线，沿着直线PO对折(duzh)，设圆上与点A重合的点为B OB是O的一条(y tio)半径吗？ PB是O的切线(qixin)吗？（利用图形轴对称性解释） PA、PB有何关系？ APO和BPO有何关系？O.PAB第4页/共36页第四页，共37页。B BPOA A切线长定理: 过圆外一点作圆的两条切线，两条切线长相等.圆

3、心与这一点的连线平分(pngfn)两条切线的夹角.PA、PB分别(fnbi)切O于A、BPA = PBOPA=OPB几何(j h)语言: 切线长定理为证明线段相等、角相等提供了新的方法.注意知识要点第5页/共36页第五页，共37页。O.P已知，如图PA、PB是O的两条切线(qixin)，A、B为切点.求证：PA=PB，APO=BPO.证明(zhngmng)：PA切O于点A， OAPA.同理可得OBPB.OA=OB，OP=OP，RtOAPRtOBP，PA=PB，APO=BPO.推理(tul)验证AB第6页/共36页第六页，共37页。想一想：若连结两切点A、B，AB交OP于点M.你又能得出什么新的

4、结论(jiln)?并给出证明.OP垂直平分AB.证明：PA，PB是O的切线,点A，B是切点(qidin) PA = PB ，OPA=OPB PAB是等腰三角形，PM为顶角的平分线 OP垂直平分AB.O.PABM第7页/共36页第七页，共37页。想一想：若延长PO交O于点C，连结(lin ji)CA、CB，你又能得出什么新的结论?并给出证明.证明(zhngmng)：PA，PB是O的切线,点A，B是切点， PA = PB ，OPA=OPB. PC=PC. PCA PCB， AC=BC.CA=CBO.PABC第8页/共36页第八页，共37页。典例精析例1 已知：如图，四边形ABCD的边AB、BC、C

5、D、DA与O分别(fnbi)相切与点E、F、G、H.求证(qizhng)：AB+CD=AD+BC.ABCDO证明(zhngmng)：AB、BC、CD、DA与O分别相切与点E、F、G、H，EFGH AE=AH，BE=BF，CG=CF，DG=DH. AE+BE+CG+DG=AH+BF+CF+DH.AB+CD=AD+BC.第9页/共36页第九页，共37页。例2 为了测量一个圆形铁环的半径，某同学采用了如下办法：将铁环平放在水平桌面上，用一个锐角(rujio)为30的三角板和一个刻度尺，按如图所示的方法得到相关数据，进而可求得铁环的半径，若三角板与圆相切且测得PA=5cm，求铁环的半径解析：欲求半径O

6、P，取圆的圆心为O，连OA，OP，由切线性质(xngzh)知OPA为直角三角形，从而在RtOPA中由勾股定理易求得半径O第10页/共36页第十页，共37页。在RtOPA中，PA5，POA30，OQ解：过O作OQAB于Q，设铁环(ti hun)的圆心为O，连接OP、OA.AP、AQ为O的切线(qixin)，AO为PAQ的平分线，即PAOQAO.又BAC60，PAOQAOBAC180，PAOQAO60.即铁环的半径为第11页/共36页第十一页，共37页。B BPO OA APA、PB是O的两条切线(qixin)，A,B是切点，OA=3.（1）若AP=4,则OP= ;（2）若BPA=60 ,则OP=

7、 .56练一练第12页/共36页第十二页，共37页。 小明在一家木料(mlio)厂上班，工作之余想对厂里的三角形废料进行加工：裁下一块圆形用料，怎样才能使裁下的圆的面积尽可能大呢？三角形的内切圆及作法二互动(hdn)探究第13页/共36页第十三页，共37页。问题1 如果最大圆存在，它与三角形三边应有怎样的位置(wi zhi)关系？ OOOO最大的圆与三角形三边(sn bin)都相切第14页/共36页第十四页，共37页。三角形角平分线的这个性质，你还记得吗？问题2 如何(rh)求作一个圆，使它与已知三角形的三边都相切？ (1) 如果半径为r的I与ABC的三边都相切，那么圆心(yunxn)I应满足

8、什么条件？(2) 在ABC的内部，如何(rh)找到满足条件的圆心I呢？ 圆心I到三角形三边的距离相等，都等于r.三角形三条角平分线交于一点，这一点与三角形的三边距离相等.圆心I应是三角形的三条角平分线的交点.为什么呢？第15页/共36页第十五页，共37页。已知：ABC.求作：和ABC的各边都相切的圆.MND作法(zu f)：1.作B和C的平分线BM和CN，交点为O.2.过点O作ODBC.垂足为D.3.以O为圆心，OD为半径作圆O.O就是(jish)所求的圆.做一做第16页/共36页第十六页，共37页。1.与三角形三边(sn bin)都相切的圆叫作三角形的内切圆.2.三角形内切圆的圆心叫做这个(

9、zh ge)三角形的内心.3.这个三角形叫做(jiozu)这个圆的外切三角形.BACI I是ABC的内切圆，点I是ABC的内心，ABC是I的外切三角形.知识要点第17页/共36页第十七页，共37页。三角形的内心的性质三BACo问题1 如图，o是ABC的内切圆，那么(n me)线段OA，OB ,OC有什么特点？互动(hdn)探究线段OA，OB ,OC 分别是A，B，C的平分线.第18页/共36页第十八页，共37页。BACI问题2 如图，分别过点I作AB、AC、BC的垂线，垂足分别为E、F，G，那么线段(xindun)IE、IF、IG之间有什么关系？EFGIE=IF=IG第19页/共36页第十九页

10、，共37页。知识(zhshi)要点u三角形内心三角形内心(nixn)(nixn)的的性质性质三角形的内心(nixn)在三角形的角平分线上.三角形的内心到三角形的三边距离相等.BACIEFG IA，IB，IC是ABC的角平分线，IE=IF=IG.第20页/共36页第二十页，共37页。例3 如图，ABC中， B=43，C=61 ，点I是ABC的内心(nixn)，求 BIC的度数.解：连接(linji)IB，IC.ABCI点I是ABC的内心(nixn)，IB，IC分别是 B，C的平分线，在IBC中，第21页/共36页第二十一页，共37页。例4 如图，一个木模(m m)的上部是圆柱，下部是底面为等边三

11、角形的直三棱柱. 圆柱的下底面圆是直三棱柱上底面等边三角形的内切圆，已知直三棱柱的底面等边三角形的边长为3cm，求圆柱底面圆的半径.该木模(m m)可以抽象为几何如下几何图形.第22页/共36页第二十二页，共37页。CABrOD解： 如图，设圆O切AB于点D，连接(linji)OA、OB、OD.圆O是ABC的内切圆,AO、BO是BAC、ABC的角平分线 ABC是等边三角形, OAB=OBA=30oODAB，AB=3cm，AD=BD= AB=1.5(cm)OD= (cm)答:圆柱(yunzh)底面圆的半径为 cm.第23页/共36页第二十三页，共37页。例5 ABC的内切圆O与BC、CA、AB分

12、别(fnbi)相切于点D、E、F，且AB=13cm，BC=14cm，CA=9cm，求AF、BD、CE的长.想一想：图中你能找出哪些相等的线段(xindun)？理由是什么？BACEDFO第24页/共36页第二十四页，共37页。解:设AF=xcm，则AE=xcm.CE=CD=AC-AE=9-x(cm)， BF=BD=AB-AF=13-x(cm).由 BD+CD=BC，可得 (13-x)+(9-x)=14， AF=4(cm)，BD=9(cm)，CE=5(cm).方法小结：关键是熟练运用切线长定理，将相等线段转化集中(jzhng)到某条边上，从而建立方程.解得 x=4.ACEDFO第25页/共36页第

13、二十五页，共37页。比一比名称确定方法图形性质外心：三角形外接圆的圆心内心：三角形内切圆的圆心三角形三边(sn bin)中垂线的交点1.OA=OB=OC2.外心(wixn)不一定在三角形的内部三角形三条(sn tio)角平分线的交点1.到三边的距离相等；2.OA、OB、OC分别平分BAC、ABC、ACB3.内心在三角形内部ABOABCO第26页/共36页第二十六页，共37页。ABCODEFABCDEFO2.设ABC的面积为S，周长为L， ABC内切圆的半径为r，则S，L与r之间存在(cnzi)怎样的数量关系？第27页/共36页第二十七页，共37页。ABCOcDEr3.如图，直角三角形的两直角边

14、分别(fnbi)是a、b,斜边为c，则其内切圆的半径r为_（以含a、b、c的代数式表示r）.解析：过点O分别作AC，BC，AB的垂线(chu xin)，垂足分别为D，E，F.F则AD=AC-DC=b-r,BF=BC-CE=a-r,因为(yn wi)AF=AD，BF=BE，AF+BF=c,所以a-r+b-r=c,所以第28页/共36页第二十八页，共37页。A2.如图，已知点O是ABC 的内心，且ABC= 60 , ACB= 80 ,则BOC= . 1.如图，PA、PB是O的两条切线，切点分别是A、B，如果AP=4, APB= 40 ,则APO= ,PB= . BPOA第1题BCO第2题当堂当堂(

15、dn tn)练习练习20 4110 第29页/共36页第二十九页，共37页。（3）若BIC=100 ，则A = 度.（2）若A=80 ，则BIC = 度.130203.如图，在ABC中，点I是内心(nixn)， （1）若ABC=50， ACB=70，BIC=_.ABCI（4）试探索： A与BIC之间存在怎样的数量(shling)关系？120第30页/共36页第三十页，共37页。4.如图所示，已知在ABC中，B90，O是AB上一点，以O为圆心，OB为半径(bnjng)的圆与AB交于E，与AC相切于点D.求证：DEOC.证明(zhngmng)：连接OD，AC切O点D，ODAC，ODC=B=90.在

16、RtOCD和RtOCB中， ODOB ，OCOC RtODCRtOBC（HL），DOC=BOC.OD=OE，ODE=OED，DOB=ODE+OED，BOC=OED，DEOC第31页/共36页第三十一页，共37页。方法二：证明(zhngmng)：连接BD，AC切O于点D，AC切O于点B，DC=BC，OC平分DCB.OCBD.BE为O的直径，DEBD.DEOC第32页/共36页第三十二页，共37页。5.如图，ABC中，I是内心(nixn)，A的平分线和ABC的外接圆相交于点D.求证：DIDB.证明(zhngmng)：连接BI.I是ABC的内心，BAD=CAD，ABI=CBI，CBD=CAD，BAD

17、=CBD，BID=BAD+ABI，IBD=CBI+CBD，BID=IBD，BD=ID第33页/共36页第三十三页，共37页。切线(qixin)长切线(qixi n )长定理作用(zuy n g )图形的轴对称性原理提供了证线段和角 相 等 的 新 方 法辅助线分别连接圆心和切点；连接两切点；连接圆心和圆外一点.三角形内切圆运用切线长定理，将相等线段转化集中到某条边上，从而建立方程.有关概念内心概念及性质应 用课堂小结课堂小结第34页/共36页第三十四页，共37页。见课时(ksh)练本课时(ksh)练习课后作业课后作业(zuy)第35页/共36页第三十五页，共37页。谢谢大家(dji)观赏！第36页/共36页第三十六页，共37页。内容(nirng)总结学习目标。PA、PB分别切O于A、B。切线长定理为证明线段相等、角相等提供了新的方法.。想一想：若延长PO交O于点C，连结CA、CB，你又能得出什么新的结论。求证：AB+CD=AD+BC.。 AE+BE+CG+DG=AH+BF+CF+DH.。AB+CD=AD+BC.。3.以O为圆心，OD为半径作。(13-x)+(9-x)=14，。所以a-r+b-r=c,。（4）试探索： A与BIC之间存在(cnzi)怎样的数量关系第三十七页，共37页。