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1、曲线积分 第十一章 与曲面积分山东建筑大学高等数学下册第十一章山东建筑大学高等数学下册第十一章 2013.6.711.1.物理意义物理意义 对弧长的曲线积分对弧长的曲线积分非均匀曲线形构件的质量非均匀曲线形构件的质量 对坐标的曲线积分对坐标的曲线积分变力沿曲线做功变力沿曲线做功 2.2. 对坐标的曲线积分特有的性质对坐标的曲线积分特有的性质: : 一一一一. . . .曲线积分曲线积分曲线积分曲线积分 2二二二二. . . .曲面积分曲面积分曲面积分曲面积分 1.1.物理意义物理意义 对面积的曲面积分对面积的曲面积分 曲面型构件的质量曲面型构件的质量 3.3.对坐标的曲面积分特有的性质对坐标的
2、曲面积分特有的性质: : 曲面面积曲面面积2.2.几何意义几何意义33.3.3.3.计算方法计算方法计算方法计算方法参数化化成定积分，下限小于上限参数化化成定积分，下限小于上限参数化化成定积分，下限参数化化成定积分，下限起点，上限起点，上限终点终点格林公式（平面上）格林公式（平面上）斯托克斯公式斯托克斯公式(空间空间)与方向无关与方向无关与方向无关与方向无关 投影法变成二重积分投影法变成二重积分(投影时看是否含投影时看是否含z，注意注意dS与与dxdy(dydz,dzdx)关系关系）投影变成二重积分投影变成二重积分, 添加正负号添加正负号高斯公式高斯公式连续性、封闭性、方向性连续性、封闭性、方
3、向性连续性、封闭性、方向性连续性、封闭性、方向性连续性、封闭性连续性、封闭性连续性、封闭性连续性、封闭性 方向性方向性方向性方向性44.4.两类曲线积分之间的关系两类曲线积分之间的关系: : 55.5.5.5.二元函数的全微分求积二元函数的全微分求积二元函数的全微分求积二元函数的全微分求积 6.6.6.6.五个等价命题五个等价命题五个等价命题五个等价命题为某一函数为某一函数的全微分的的全微分的充要条件是充要条件是方法方法3 凑微分法凑微分法.方法方法2 利用利用 求积分求积分.方法方法1 利用积分与路径无关的条件利用积分与路径无关的条件.怎样求该函数怎样求该函数6五个等价命题：五个等价命题：五
4、个等价命题：五个等价命题：1 1、积分、积分 的值与路径无关，的值与路径无关，是单连通区域是单连通区域, , 、 在在 内有一阶连续内有一阶连续偏导数偏导数为全微分方程为全微分方程5 5、3 3、在、在 内内2 2、对于、对于 内任一封闭曲线，内任一封闭曲线，4 4、存在、存在 内的可微函数内的可微函数76.6.6.6.两类曲面积分之间的关系两类曲面积分之间的关系两类曲面积分之间的关系两类曲面积分之间的关系: : : : 8三三三三. . . .例题例题例题例题例例例例1 1 1 1.计算下列曲线积分计算下列曲线积分计算下列曲线积分计算下列曲线积分解解其中其中为曲线为曲线其中其中为曲线为曲线解
5、解课本课本P190 3（8）总习题十一总习题十一 3(2)9其中其中 为曲线为曲线解解 其中其中为曲线为曲线到到上由上由的一段弧的一段弧.解解10其中其中为圆周为圆周 按逆时针按逆时针 方向绕行。方向绕行。 解解 此时不能用格林公式此时不能用格林公式 可以用格林公式可以用格林公式 11其中其中为正向星形线为正向星形线解解由格林公式得由格林公式得12其中其中是在圆周是在圆周上上由点由点到点到点的一段弧。的一段弧。解解作辅助线作辅助线方向如图所示。方向如图所示。在整个在整个面都成立，面都成立，即该积分与积分路径无关。即该积分与积分路径无关。作业纸作业纸P44 （3）另法）另法13例例例例2 2.
6、螺旋形弹簧一圈的方程为螺旋形弹簧一圈的方程为螺旋形弹簧一圈的方程为螺旋形弹簧一圈的方程为其中其中它的线密度为它的线密度为求求（2）它的重心）它的重心.（1）它关于）它关于轴的转动惯量轴的转动惯量解解 （1）（2）课本课本P190 5P190 51415例例例例3 3 3 3. 一力场由沿横轴正方向的常一力场由沿横轴正方向的常力力所构成所构成.试求当一质量为试求当一质量为的的质点沿圆周质点沿圆周按逆时针方向移过第一象限的那一段弧时按逆时针方向移过第一象限的那一段弧时场力所做的功场力所做的功.解解课本课本P201 5P201 516在在内是某个二元函数内是某个二元函数的全微分的全微分.例例4.证明
7、证明:在整个在整个平面除去平面除去的负半轴及原点的开的负半轴及原点的开区域区域内是某个二元函数的全微分内是某个二元函数的全微分,并求出这样的一个二元函数并求出这样的一个二元函数.证证是单连通区域是单连通区域, 且且总习题十一总习题十一 517证证 把把例例例例5 5 5 5 设在上半平面设在上半平面内函数内函数具有具有连续偏导数连续偏导数, 且对任意且对任意 t 0 都有都有证明证明对对D内任意分段光滑的闭曲线内任意分段光滑的闭曲线L, 都有都有两边对两边对t求导求导, 得得:因此结论成立因此结论成立.(2006考研考研)18例例例例6.6.6.6.计算下列曲面积分计算下列曲面积分计算下列曲面
8、积分计算下列曲面积分 中的部分；中的部分； 解解（1）其中其中 为平面为平面 在第一卦限在第一卦限 课本习题课本习题10-4 6（2）19（2）其中其中 为锥面为锥面 被平面被平面 和和 所截得的部分；所截得的部分； 解解在在xOy面的投影区域为面的投影区域为 课本习题课本习题10-4 5（2）20例例例例7 7 7 7.计算计算 其中其中 为球面为球面 的外侧的外侧. 解解: 此时不能用高斯公式！此时不能用高斯公式！此时不能用高斯公式！此时不能用高斯公式！ 用高斯公式得用高斯公式得用高斯公式得用高斯公式得 补充补充2122 例例11.1511.15（090110090110）的外的外侧侧,计
9、算曲面积分计算曲面积分解解设椭球面设椭球面围成的区域为围成的区域为, , 在在内作小球面内作小球面取其取其外外侧侧. .记记所围区域为所围区域为学学习习指指导导应用高斯公式，得应用高斯公式，得2011-2012-22011-2012-2考题考题2223.23例例例例8 8.计算计算其中其中为抛为抛部分的外侧部分的外侧. 物面物面位于位于解解: 做辅助面做辅助面取下侧取下侧.由由Gauss公式公式:也可用柱面坐标求也可用柱面坐标求也可用柱面坐标求也可用柱面坐标求 补充补充24例例例例9 9 9 9.计算计算: 其中其中为锥面为锥面的外侧；的外侧；解解添加平面添加平面并取上侧。并取上侧。由高斯公式
10、得由高斯公式得总习题十一总习题十一 4（2）25思思 考考 题题1) 二重积分是哪一类积分二重积分是哪一类积分? 答答: 第一类曲面积分的特例第一类曲面积分的特例.2) 设曲面设曲面问下列等式是否成立问下列等式是否成立? 不对不对 ! 对坐标的积分与对坐标的积分与 的的侧有侧有关关 26备用题备用题 1. 已知平面区域已知平面区域L为为D 的边界的边界, 试证试证证证 (1) 根据格林公式根据格林公式所以相等所以相等, 从而从而左端相等左端相等, 即即(1)成立成立.(2003 考研考研)因因、两式右端积分具有轮换对称性两式右端积分具有轮换对称性,27(2) 由由式式由轮换对称性由轮换对称性2
11、8(1) 在任一固定时刻在任一固定时刻 , 此卫星能监视的地球表面积此卫星能监视的地球表面积是是 2. 地球的一个侦察卫星携带的广角高分辨率摄象机地球的一个侦察卫星携带的广角高分辨率摄象机能监视其能监视其”视线视线”所及地球表面的每一处的景象并摄所及地球表面的每一处的景象并摄像像, 若地球半径为若地球半径为R , 卫星距地球表面高度为卫星距地球表面高度为 H =0.25 R ,卫星绕地球一周的时间为卫星绕地球一周的时间为 T , 试求试求(2) 在在解解 如图建立坐标系如图建立坐标系.的时间内的时间内 , 卫星监视的地球卫星监视的地球表面积是多少表面积是多少 ?多少多少 ? 设卫星绕设卫星绕 y 轴旋转轴旋转29(1) 利用球坐标利用球坐标, 任一固定时刻监视的地球表面积为任一固定时刻监视的地球表面积为(2) 在在时间内监视的地球表面积为时间内监视的地球表面积为点击图片任意处点击图片任意处播放开始或暂停播放开始或暂停注意盲区与重复部分注意盲区与重复部分其中其中S0 为盲区面积为盲区面积30(1) 利用球坐标利用球坐标, 任一固定时刻监视的地球表面积任一固定时刻监视的地球表面积为为(2) 在在其中盲区面积其中盲区面积时间内监视的地球表面积为时间内监视的地球表面积为31
