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1、第三一阶动态电路分析 学学 习习 目目 标标 理解动态元件L、C的特性，并能熟练应用于 电路分析。 深刻理解零输入响应、零状态响应、暂态响 应、稳态响应的含义，并掌握它们的分析计算 方法 。 弄懂动态电路方程的建立及解法。 熟练掌握输入为直流信号激励下的一阶电路的三要素分析法。3.1电容元件和电感元件3.1.1 电容元件电容元件 电容器是一种能储存电荷的器件,电容元件是电容器的理想化模型。斜率为R0qu图3-1电容的符号、线性非时变电容的特性曲线当电容上电压与电荷为关联参考方向时，电荷q与u关系为：q(t)=Cu(t)C是电容的电容量，亦即特性曲线的斜率。当u、i为关联方向时,据电流强度定义有
2、：i=C dq/dt非关联时： i= -C dq/dt +-uCi+q-q电容的伏安还可写成：式中，u(0)是在t=0时刻电容已积累的电压，称为初始电压；而后一项是在t=0以后电容上形成的电压，它体现了在0t的时间内电流对电压的贡献。由此可知：在某一时刻t，电容电压u不仅与该时刻的电流i有关，而且与t以前电流的全部历史状况有关。因此，我们说电容是一种记忆元件，有“记忆”电流的作用。当电容电压和电流为关联方向时，电容吸收的瞬时功率为：瞬时功率可正可负，当p(t)0时，说明电容是在吸收能量，处于充电状态；当p(t)0时，表示电感从电路吸收功率，储存磁场能量；当p(t)0时，表示供出能量，释放磁场能
3、量。对上式从到 t 进行积分，即得t 时刻电感上的储能为：因为所以由上式可知：电感在某一时刻t的储能仅取决于此时刻的电流值，而与电压无关，只要有电流存在，就有储能，且储能0。3.2换路定律及初始值的确定3.2.1 换路定律换路定律 通常，我们把电路中开关的接通、断开或电路参数的突然变化等统称为“换路”。我们研究的是换路后电路中电压或电流的变化规律，知道了电压、电流的初始值，就能掌握换路后电压、电流是从多大的初始值开始变化的。 该定律是指若电容电压、电感电流为有限值，则该定律是指若电容电压、电感电流为有限值，则uC 、 iL不能跃变，即换路前后一瞬间的不能跃变，即换路前后一瞬间的uC 、iL是相
4、等的，是相等的，可表达为：可表达为：uC(0+)=uC(0-)iL(0+)=iL(0-)必须注意：必须注意：只有只有uC 、 iL受换路定律的约束而保持不受换路定律的约束而保持不变，电路中其他电压、电流都可能发生跃变。变，电路中其他电压、电流都可能发生跃变。3.2.2 初初 始始 值值 的确的确 定定换路后瞬间电容电压、电感电流的初始值，用uC(0+)和iL(0+)来表示，它是利用换路前瞬间 t=0-电路确定uC(0-)和iL(0-)，再由换路定律得到uC(0+)和iL(0+)的值。电路中其他变量如iR、uR、uL、iC 的初始值不遵循换路定律的规律，它们的初始值需由t=0+电路来求得。具体求
5、法是：具体求法是：画出t=0+电路，在该电路中若uC (0+)=uC (0-)=US，电容用一个电压源US代替，若uC (0+)=0则电容用短路线代替。若iL(0+)=iL(0-)=IS，电感一个电流源IS 代替，若iL(0+)=0则电感作开路处理。下面举例说明初始值的求法。例1：在图3-3(a)电路中，开关S在t=0时闭合，开关闭合前电路已处于稳定状态。试求初始值uC(0+)、iL(0+)、i1(0+)、i2(0+)、ic(0+)和uL(0+)。图3-3例1图解(1)电路在t=0时发生换路，欲求各电压、电流的初始值，应先求uC(0+)和iL(0+)。通过换路前稳定状态下t=0-电路可求得uC
6、(0-)和iL(0-)。在直流稳态电路中，uC不再变化，duC/dt=0，故iC=0，即电容C相当于开路。同理iL也不再变化，diL/dt=0，故uL=0，即电感L相当于短路。所以t=0-时刻的等效电路如图3-3(b)）所示，由该图可知：（2）由换路定理得因此，在t=0+瞬间，电容元件相当于一个4V的电压源，电感元件相当于一个2A的电流源。据此画出t=0+时刻的等效电路，如图3-3(C)所示。（3）在t=0+电路中，应用直流电阻电路的分析方法，可求出电路中其他电流、电压的初始值，即 iC(0+)=2-2-1=-1AuL(0+)=10-32-4=0例2:电路如图3-4(a)所示，开关S闭合前电路
7、无储能，开关S在t=0时闭合，试求 i1、i2、i3、 uc、uL的初始值。图3-4例2图解（1）由题意知：（2）由换路定理得因此，在t=0+电路中，电容应该用短路线代替，电感以开路代之。得到t=0+电路，如图3-4(b)所示。（3）在t=0+电路中，应用直流电阻电路的分析方法求得通通过过以以上上例例题题，可可以以归归纳纳出出求求初初始始值值的的一一般般步步骤骤如下：如下：(1)根据t=0-时的等效电路，求出uC(0-)及iL(0-)。(2)作出t=0+时的等效电路，并在图上标出各待求量。(3)由t=0+等效电路，求出各待求量的初始值。 i3(0+)=0uL(0+)=20i2(0+)=200.
8、3=6V当外加激励为零,仅有动态元件初始储能所产生的电流和电压,称为动态电路的零输入响应.图3-5RC电路的零输入1i+-UCISR0R2C(a)uR+-+-uCCi(b)3.3 零零 输输 入入 响响 应应图3-5(a)所示的电路中，在t0后，电路中无电源作用，电路的响应均是由电容的初始储能而产生，故属于零输入响应。3.3.1RC电路的零输入响应电路的零输入响应-uR+uc=0而uR=iR,，代入上式可得上式是一阶常系数齐次微分方程，其通解形式为uc=Aeptt0式式中A为待定的积分常数，可由初始条件确定。p为式对应的特征方程的根。将式代入式可得特征方程为RCP+1=0式换路后由图（b）可知
9、，根据KVL有从而解出特征根为则通解式将初始条件uc(0+)=R0IS代入3式，求出积分常数A为将代入式，得到满足初始值的微分方程的通解为式放电电流为t0t0式令=RC，它具有时间的量纲，即故称为时间常数,这样、两式可分别写为t0t0由于为负，故uc和i均按指数规律衰减，它们的最大值分别为初始值uc(0+)=R0IS及当t时，uc和i 衰减到零。图3-6RC电路零输入响应电压电流波形图画出uc及i的波形如图3-所示。3.3.2 RL电路的零输入响应电路的零输入响应一阶RL电路如图3-7(a)所示，t=0-时开关S闭合，电路已达稳态，电感L相当于短路，流过L的电流为I0。即iL(0-)=I0，故
10、电感储存了磁能。在t=0时开关S打开，所以在t0时，电感L储存的磁能将通过电阻R放电，在电路中产生电流和电压，如图3-7(b)所示。由于t0后，放电回路中的电流及电压均是由电感L的初始储能产生的，所以为零输入响应。图3-7 RL电路的零输入响应由图(b)，根据KVL有 uL+uR=0 将代入上式得1式iL=Aeptt0上式为一阶常系数齐次微分方程，其通解形式为2式将2式代入1式，得特征方程为LP+R=0故特征根为则通解为若令，是RL电路的时间常数，仍具有时间量纲，上式可写为t0t03式将初始条件i L(0+)=iL (0-)=I0代入3式，求出积分常数A为 iL (0+)=A=I0这样得到满足
11、初始条件的微分方程的通解为t04式电阻及电感的电压分别是t0t0分别作出iL 、uR和、uL的波形如图3-8(a)、(b)所示。由图3-8可知，iL、uR及uL的初始值（亦是最大值）分别为iL(0+)=I0、uR(0+)=RI0、uL(0+)=-RI0，它们都是从各自的初始值开始，然后按同一指数规律逐渐衰减到零。衰减的快慢取决于时间常数，这与一阶RC零输入电路情况相同。图3-8RL 电路零输入响应iL、uR和uL 的波形从以上求得的RC和RL电路零输入响应进一步分析可知，对于任意时间常数为非零有限值的一阶电路，不仅电容电压、电感电流，而且所有电压、电流的零输入响应，都是从它的初始值按指数规律衰
12、减到零的。且同一电路中，所有的电压、电流的时间常数相同。若用f(t)表示零输入响应，用f(0+)表示其初始值，则零输入响应可用以下通式表示为t0应该注意的是:RC电路与RL电路的时间常数是不同的，前者=RC，后者=L/R。例3：如图3-9(a)所示电路，t=0-时电路已处于稳态，t=0时开关S打开。求t0时的电压uc、uR和电流ic。解由于在t=0-时电路已处于稳态，在直流电源作用下，电容相当于开路。图3-9例3图所以由换路定律，得作出t=0+等效电路如图(b)所示，电容用4V电压源代替，由图(b)可知换路后从电容两端看进去的等效电阻如图(C)所示，为：时间常数为AVt0t0也可以由求出i C
13、=-0.8e-tAt0Vt0计算零输入响应，得3.4零状态响应 在激励作用之前，电路的初始储能为零仅由激励引起在激励作用之前，电路的初始储能为零仅由激励引起的响应叫零状态响应。的响应叫零状态响应。3.4.1 RC电路的零状态响应电路的零状态响应 图3-10所示一阶RC电路，电容先未充电，t=0时开关闭合，电路与激励US接通，试确定k闭合后电路中的响应。图3-10(a)RC电路的零状态响应在k闭合瞬间，电容电压不会跃变，由换路定律uc(0+)= uc(0-)=0，t=0+时电容相当于短路，uR(0+)=US，故电容开始充电。随着时间的推移，uC将逐渐升高，uR则逐渐降低，iR（等于ic）逐渐减小
14、。当t时，电路达到稳态，这时电容相当于开路，充电电流ic()=0，uR()=0，uc=()=Us。由kVLuR+uc=US而uR=RiR=RiC=，代入上式可得到以uc为变量的微分方程t0初始条件为uC(0+)=01式1式为一阶常系数非齐次微分方程，其解由两部分组成：一部分是它相应的齐次微分方程的通解uCh，也称为齐次解；另一部分是该非齐次微分方程的特解uCP，即uc=uch+ucp将初始条件uc(0+)=0代入上式，得出积分常数A=-US，故由于1式相应的齐次微分方程与RC零输入响应式完全相同,因此其通解应为式中A为积分常数。特解ucp取决于激励函数，当激励为常量时特解也为一常量，可设ucp
15、=k，代入1式得1式的解（完全解）为ucp=k=US由于稳态值uc()=US，故上式可写成t02式由2式可知，当t=0时，uc(0)=0，当t=时，uc()=US（1-e1）=63.2%US，即在零状态响应中，电容电压上升到稳态值uc=()=US的63.2%所需的时间是。而当t=45时，uc上升到其稳态值US的98.17%99.3%，一般认为充电过程即告结束。电路中其他响应分别为t0t0t0根据uc、ic、iR及uR的表达式，画出它们的波形如3-10(b)、(c)所示，其变化规律与前面叙述的物理过程一致。图3-10(b)、(C)RC电路零状态响应uc、ic、iR及uR波形图3.4.2 RL电路
16、的零状态响应电路的零状态响应图3-11(a)一阶RL电路的零状态响应对于图3-11(a)所示的一阶RL电路，US为直流电压源，t0时，电感L中的电流为零。t=0时开关s闭合，电路与激励US接通，在s闭合瞬间，电感电流不会跃变，即有iL(0+)= iL(0-)=0, 选择iL为首先求解的变量，由KVL有：uL+uR=US将,uR=RiL,代入上式，可得初始条件为iL(0+)=01式1式也是一阶常系数非齐次微分方程，其解同样由齐次方程的通解iLh和非齐次方程的特解iLP两部分组成，即 iL=iLh+iLp其齐次方程的通解也应为式中时间常数=L/R，与电路激励无关。非齐次方程的特解与激励的形式有关，
17、由于激励为直流电压源，故特解iLP为常量，令iLP=K，代入1式得因此完全解为代入t=0时的初始条件iL(0+)=0得于是由于iL的稳态值，故上式可写成：t0电路中的其他响应分别为t0它们的波形如图3-11(b)、(c)所示。t0t0图3-11(b)(C)一阶RL电路的零状态响应波形图其物理过程是，S闭合后，iL(即iR)从初始值零逐渐上升，uL从初始值uL(0+)=US 逐渐下降，而uR从uR(0+)=0逐渐上升，当t=，电路达到稳态，这时L相当于短路，iL()=USR，uL()=0，uR()= US。从波形图上可以直观地看出各响应的变化规律。3.4.3 单位阶跃响应单位阶跃响应单位阶跃函数
18、用(t)表示，其定义如下：(t)=0t0-1t0+(t)的波形如图3-12(a)所示，它在（0-，0+）时域内发生了单位阶跃。图3-12单位阶跃函数单位阶跃函数可以用来描述图3-12(b)所示的开关动作，它表示在t=0时把电路接入1V直流源时 u(t)的值，即：u (t)=(t)V如果在t=t0时发生跳变，这相当于单位直流源接入电路的时间推迟到t=t0，其波形如图3-13所示，它是延迟的单位阶跃函数，可表示为(t-t0)=0tt0-1tt0+图3-13延迟的单位阶跃函数当激励为单位阶跃函数(t)时，电路的零状态响应称为单位阶跃响应，简称阶跃响应。对于图3-10所示电路的单位阶跃响应，只要令US
19、=(t)就能得到，例如电容电压为若图3-10的激励uS=K(t)（K为任意常数），则根据线性电路的性质，电路中的零状态响应均应如单位阶跃不是在t=0而是在某一时刻t0时加上的，则只要把上述表达式中的t改为t-t0，即延迟时间t0就行了。例如这种情况下的uC为扩大K倍，对于电容有例4：求图3-14(a)电路的阶跃响应uC。解先将电路ab左端的部分用戴维南定理化简，得图3-14(b)所示电路。由图(a)可得图3-14例4图3u1+u1=0u1=0则于是式中=R0C=210-6S将ab端短路，设短路电流为ISC（从a流向b）3.5全响应由电路的初始状态和外加激励共同作用而产生的响应，叫全响应。如图3
20、-15所示，设uC=uC(0-)=U0，S在t=0时闭合，显然电路中的响应属于全响应。图3-15RC电路的全响应对t0的电路，以uC为求解变量可列出描述电路的微分方程为1式与描述零状态电路的微分方程式比较，仅只有初始条件不同，因此，其解答必具有类似的形式，即代入初始条件uC(0+)=U0得K=U0-US1式从而得到通过对1式分析可知，当US=0时，即为RC零输入电路的微分方程。而当U0=0时，即为RC零状态电路的微分方程。这一结果表明，零输入响应和零状态响应都是全响应的一种特殊情况。上式的全响应公式可以有以下两种分解方式。1、全响应分解为暂态响应和稳态响应之和。如2式中第一项为齐次微分方程的通
21、解，是按指数规律衰减的，称暂态响应或称自由分量（固有分量）。2式中第二项US =uC()受输入的制约，它是非齐次方程的特解，其解的形式一般与输入信号形式相同，称稳态响应或强制分量。这样有全响应=暂态响应+稳态响应2式2、全响应分解为零输入响应和零状态响应之和。将2式改写后可得：3式等号右边第一项为零输入响应，第二项为零状态响应。因为电路的激励有两种，一是外加的输入信号，一是储能元件的初始储能，根据线性电路的叠加性，电路的响应是两种激励各自所产生响应的叠加，即全响应=零输入响应+零状态响应3式3.6 求解一阶电路三要素法求解一阶电路三要素法如用f (t)表示电路的响应，f (0+)表示该电压或电
22、流的初始值，f ()表示响应的稳定值，表示电路的时间常数，则电路的响应可表示为：上式称为一阶电路在直流电源作用下求解电压、电流响应的三要素公式。式中f (0+)、f ()和称为三要素，把按三要素公式求解响应的方法称为三要素法。由于零输入响应和零状态响应是全响应的特殊情况，因此，三要素公式适用于求一阶电路的任一种响应，具有普遍适用性。用三要素法求解直流电源作用下一阶电路的响应，其求解步骤如下：一、确定初始值f (0+)初始值f(0+)是指任一响应在换路后瞬间t=0+时的数值，与本章前面所讲的初始值的确定方法是一样的。(1)先作t=0-电路。确定换路前电路的状态uC(0-)或iL(0-),这个状态
23、即为t0阶段的稳定状态，因此，此时电路中电容C视为开路，电感L用短路线代替。(2)作t=0+电路。这是利用刚换路后一瞬间的电路确定各变量的初始值。若uC(0+)=uC(0-)=U0，iL(0+)=iL(0-)=I0，在此电路中C用电压源U0代替，图3-16电容、电感元件在t=0时的电路模型L用电流源I0代替。若uC(0+)=uC(0-)=0或iL(0+)=iL(0-)=0，则C用短路线代替，L视为开路。可用图3-16说明。作t=0+电路后，即可按一般电阻性电路来求解各变量的u (0+)、i (0+)。二、确定稳态值f()作t=电路。瞬态过程结束后，电路进入了新的稳态，用此时的电路确定各变量稳态
24、值u()、i()。在此电路中，电容C视为开路，电感L用短路线代替，可按一般电阻性电路来求各变量的稳态值。三、求时间常数RC电路中，=RC；RL电路中，=L/R；其中，R是将电路中所有独立源置零后，从C或L两端看进去的等效电阻，(即戴维南等效源中的R0)。例5图3-17(a)所示电路中，t=0时将S合上，求t0时的i1、iL、uL。图3-17例5图解(1)先求iL(0-)。作t=0-电路，见图(b)，电感用短路线代替，则(2)求f(0+)。作t=0+电路，见图(C),图中电感用4/3A的电流源代替，流向与图(b)中iL(0-)一致。因为题意要求i1、iL、uL，所以相应地需先求i1(0+)和uL
25、(0+)。椐KVL，图(C)左边回路中有3i1(0+)+6i1(0+)-iL(0+)=12得图(C)右边回路中有(3)求f()。作t=电路如图(d)，电感用短路线代替，则 uL()=0(4)求。从动态元件L两端看进去的戴维南等效电阻为（5）代入三要素公式t0t0t0i1(t)、iL(t)及uL(t)的波形图如3-18所示。图3-18例5图小小 结结(1)含有动态元件L、C的电路是动态电路，其伏安关系是微分或积分关系。电容C:电容L:(2)换路定律是指：电容电流和电感电压不能跃变：(3)即uC(0+)=uC(0-)iL(0+)=iL(0-)（3）零输入响应：当外加激励为零，仅有动态元件初始储能所产生所激发的响应。零输入响应：电路的初始储能为零仅由输入产生的响应。全响应：由电路的初始状态和外加激励共同作用而产生的响应，叫全响应。（4）求解一阶电路三要素公式为：
