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1、线性方程组线性方程组则称此方程组为则称此方程组为非齐次线性方程组。非齐次线性方程组。此时称方程组为此时称方程组为齐次线性方程组。齐次线性方程组。非齐次与齐次线性方程组的概念非齐次与齐次线性方程组的概念: :1.4 Cramer 法则法则引入行列式概念时，求解二、三元线性方程组，当系数引入行列式概念时，求解二、三元线性方程组，当系数行列式行列式时，方程组有唯一解，时，方程组有唯一解，含有含有n个未知数，个未知数，n个方程的线性方程组，与二、三元线性方个方程的线性方程组，与二、三元线性方程组类似，它的解也可以用程组类似，它的解也可以用n阶行列式表示。阶行列式表示。定理定理1.4 Cramer法则：
2、法则：如果线性方程组如果线性方程组的系数行列式不等于零，的系数行列式不等于零，即即其中其中 是把系数行列式是把系数行列式 中第中第 列的元素用方程列的元素用方程组右端的常数项代替后所得到的组右端的常数项代替后所得到的 阶行列式，即阶行列式，即则线性方程组则线性方程组(1)(1)有唯一解，有唯一解，证明：证明：再把再把 方程依次相加，得方程依次相加，得由代数余子式的性质可知由代数余子式的性质可知, ,于是于是当当 时时, ,方程组方程组( (1.12)1.12)有唯一的一个解有唯一的一个解上式中除了上式中除了的系数等于的系数等于D,其余其余的系数均等于的系数均等于0，而等式右端为，而等式右端为由
3、于方程组由于方程组( (1.2)1.2)与方程组与方程组(1(1.11).11)等价等价, ,所以所以也是方程组的也是方程组的(1(1.11).11)解。解。(1.12)例例1.16 用用Cramer法则解线性方程组。法则解线性方程组。解：系数行列式解：系数行列式注注:1. Cramer法则仅适用于方程个数与未知量个数法则仅适用于方程个数与未知量个数相等相等的情形。的情形。2.理论意义：给出了解与系数的明显关系。理论意义：给出了解与系数的明显关系。3. 但用此法则求解线性方程组计算量大，不可取。但用此法则求解线性方程组计算量大，不可取。3. 撇开求解公式撇开求解公式Cramer法则可叙述为下面
4、定理：法则可叙述为下面定理：定理定理1：定理定理2：如果线性方程组如果线性方程组(1)的系数行列式的系数行列式 则则(1.11)一定有解一定有解,且解是唯一的且解是唯一的 .如果线性方程组如果线性方程组(1.11)无解或有两个不同的解，无解或有两个不同的解，则它的系数行列式必为零则它的系数行列式必为零.齐次线性方程组的相关定理齐次线性方程组的相关定理推论推论1.7 如果齐次线性方程组（如果齐次线性方程组（1.13）的系数行列式）的系数行列式 则齐次线性方程组仅有零解，若则齐次线性方程组仅有零解，若D=0，则方程组有，则方程组有非零解。非零解。例例1.17： 问问 取何值时，取何值时， 齐次线性
5、方程组齐次线性方程组 有非零解？有非零解？解：解：齐次方程组有非零解，则齐次方程组有非零解，则所以所以 或或 时齐次方程组有非零解。时齐次方程组有非零解。证证例例1.18 1. 用克拉默法则解方程组的两个条件用克拉默法则解方程组的两个条件(1)(1)方程个数等于未知量个数方程个数等于未知量个数; ;(2)(2)系数行列式不等于零系数行列式不等于零. .2. 克拉默法则建立了线性方程组的解和已知的系克拉默法则建立了线性方程组的解和已知的系数与常数项之间的关系数与常数项之间的关系.它主要适用于理论推导它主要适用于理论推导.小结思考题思考题当线性方程组的系数行列式为零时当线性方程组的系数行列式为零时,能否用克拉默能否用克拉默法则解方程组法则解方程组?为什么为什么?此时方程组的解为何此时方程组的解为何?答：答：不能不能,此时方程组的解为无解或有无穷多解此时方程组的解为无解或有无穷多解.
