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1、等离激元等离激元 在宽能带金属中，由于在宽能带金属中，由于价电子之间库仑互作用的长程性价电子之间库仑互作用的长程性以及以及价电子易动的巡游价电子易动的巡游性性，将导致电子系统有两类激发：将导致电子系统有两类激发：（1）集体激发集体激发（等离激元）；（等离激元）； （2）个别激发个别激发（准电子）；（准电子）；在理论上，属于在理论上，属于不能严格对角化的多体系统。不能严格对角化的多体系统。* 为了将体系变为纯粹的电子为了将体系变为纯粹的电子-电子相互作用系统，电子相互作用系统，略去晶格周期场和晶格振略去晶格周期场和晶格振动（声子）对电子的影响。动（声子）对电子的影响。21 1 等离激元和准电子等
2、离激元和准电子 系统系统元激发元激发的物理图像的物理图像正电背景正电背景 -e对金属系统，价电子在离子的对金属系统，价电子在离子的正电抵消背景上正电抵消背景上运动，系统在宏观尺度上保持着运动，系统在宏观尺度上保持着电电中性。中性。电子密度的起伏电子密度的起伏由于价由于价电子易动电子易动，而且电子间有，而且电子间有相互作用相互作用，因此系统在微观尺度上必然存在着，因此系统在微观尺度上必然存在着电子密度的起伏电子密度的起伏由于电子间的库仑作用为由于电子间的库仑作用为长程作用长程作用，那么即使，那么即使局域电子密度局域电子密度的起伏也将在整个的起伏也将在整个系统中产生系统中产生电子运动的关联电子运动
3、的关联。金属系统元激发的来源金属系统元激发的来源3 人们常采用系统中电子密度的傅里叶分量人们常采用系统中电子密度的傅里叶分量 q作为作为集体坐标集体坐标来描述这种来描述这种电子运动电子运动的关联的关联。 系统中系统中电子密度起伏相对于正电背景的振荡电子密度起伏相对于正电背景的振荡，称为，称为等离子区集体振荡等离子区集体振荡。波矢。波矢为为q、频率为、频率为 q等离子区等离子区集体振荡量子集体振荡量子在固体物理中，称为在固体物理中，称为等离激元等离激元（Plasmons)。 在长波长区域（在长波长区域（q=0） 设每个电子相对于正离子背景的移动均为设每个电子相对于正离子背景的移动均为x，电子移动
4、后所产生的电场为，电子移动后所产生的电场为电子运动满足方程：电子运动满足方程：显然、每一个电子均以显然、每一个电子均以相同的频率振动：相同的频率振动：一般为一般为530eV。4金属中电子的金属中电子的个别激发个别激发 费米面的概念费米面的概念：系统的：系统的“真空真空”（基态基态）可近似描述为在）可近似描述为在费米球内费米球内的的所有状态均所有状态均被电子占据被电子占据，而球外为真空。，而球外为真空。 相对于这个相对于这个“真空真空”的的个别激发个别激发是从费米球内是从费米球内k态态上拿出一个电子放到球外上拿出一个电子放到球外k+q空态空态上去，于是在金属的上去，于是在金属的“真空真空”上产生
5、了一个上产生了一个k+q电子电子和和一个一个k空穴空穴。空穴的概念空穴的概念5电子和空穴对的个别激发能量为：电子和空穴对的个别激发能量为：对于确定的对于确定的q；存在一个受；存在一个受泡利原理泡利原理限制的许可区域：限制的许可区域：激发能的界限为：激发能的界限为：电子激发区电子激发区空穴激发区空穴激发区6空穴激发区空穴激发区电子激发区电子激发区激发能的界限为：激发能的界限为：7图解表示的电子和空穴图解表示的电子和空穴对激发区：对激发区：等离激元的色散曲线：等离激元的色散曲线：集体振动和电子空穴对激发的交叉点集体振动和电子空穴对激发的交叉点8等离激元等离激元能量能量 大于大于电子和空穴对电子和空
6、穴对激发的最大能量激发的最大能量 集体振荡既不可集体振荡既不可能被个别对所激发，也不可能衰减为个别的电子能被个别对所激发，也不可能衰减为个别的电子-空穴对。空穴对。 将出现集体振荡的衰减。将出现集体振荡的衰减。 电子间的相互作用对金属中的单个电子的性能也有影响，其中特别重要的是电子间的相互作用对金属中的单个电子的性能也有影响，其中特别重要的是屏屏蔽效应蔽效应。屏蔽效应屏蔽效应是指电子间的库仑作用使每个电子周围形成了是指电子间的库仑作用使每个电子周围形成了正电荷的屏蔽壳层正电荷的屏蔽壳层，它，它跟随激发它的电子一起运动，从而改变电子间的跟随激发它的电子一起运动，从而改变电子间的相互作用势和有效质
7、量相互作用势和有效质量。（电子电子+屏蔽电荷屏蔽电荷）的整体称为）的整体称为准电子准电子。准电子准电子9准电子准电子间的互作用势用间的互作用势用汤川型屏蔽库仑势汤川型屏蔽库仑势表示：表示：102 2 互作用电子系统的哈密顿互作用电子系统的哈密顿 当讨论金属中电子的元激发特征时，当讨论金属中电子的元激发特征时，能带效应并不重要能带效应并不重要。可以把排列晶格的。可以把排列晶格的正正离子近似当作是均匀抹平了的连续正电荷分布离子近似当作是均匀抹平了的连续正电荷分布，共有化电子共有化电子则在此正电荷背景则在此正电荷背景上运动：上运动：凝胶模型凝胶模型电子系统的哈密顿：电子系统的哈密顿：11设有设有N个
8、共有化电子，并取单位样品体积个共有化电子，并取单位样品体积V=1，有：，有：由于电子的密度：由于电子的密度：12可得由可得由电子密度的傅里叶分量表示的哈密顿：电子密度的傅里叶分量表示的哈密顿：这就是凝胶模型中电子系统的哈密顿：这就是凝胶模型中电子系统的哈密顿：在二次量子化表象中，在二次量子化表象中，13由此可求得：由此可求得：14考虑考虑自旋自旋后，由算符表示的哈密顿为：后，由算符表示的哈密顿为：153 3 电子集体振荡的经典理论电子集体振荡的经典理论 对电子密度的傅里叶分量对电子密度的傅里叶分量 求导：求导：再对时间求导：再对时间求导： 由于由于势能与力的关系势能与力的关系为：为：16由此可
9、求得由此可求得电子密度电子密度的傅里叶分量满足下列非线性的运动方程的傅里叶分量满足下列非线性的运动方程17其理由如下：其理由如下：18无规相近似无规相近似（Radom Phase Approximation,RPA)194 4 量子运动方程的无规相近似量子运动方程的无规相近似 我们将从算符的运动方程出发，求解我们将从算符的运动方程出发，求解互作用电子体系的近似本征值互作用电子体系的近似本征值定义定义电子电子-空穴对空穴对的激发算符：的激发算符：代表金属中的代表金属中的个别激发。个别激发。在互作用电子系统中这些个别激发是彼此耦合在一起的，在互作用电子系统中这些个别激发是彼此耦合在一起的，算符的算
10、符的海森伯运动方程为：海森伯运动方程为：20密度起伏算符密度起伏算符 是是总动量总动量为为 的所有的所有电子电子-空穴对空穴对运动的简单叠加。运动的简单叠加。我们只要能解出我们只要能解出电子电子-空穴对的运动方程空穴对的运动方程，则电子体系的元激发谱就求得了，则电子体系的元激发谱就求得了* 首先我们考虑首先我们考虑电子电子-空穴对之间不存在相互作用：空穴对之间不存在相互作用：代表代表独立电子系统独立电子系统。那么。那么这里这里 代表代表不计相互作用时不计相互作用时电子电子-空穴对的激发能量，空穴对的激发能量，是是电子电子-空穴的自由传播空穴的自由传播。21* 对于对于互作用电子系统互作用电子系
11、统由于由于 上式可改写为：上式可改写为：* 利用利用 算出对易式：算出对易式：代入上式，并分出代入上式，并分出 项，整理后写成项，整理后写成22第一项第一项代表自由运动的代表自由运动的电子电子-空穴对空穴对；第二项第二项是具有是具有相同相同q的所有的所有电子电子-空穴对空穴对的耦合；的耦合；第三项第三项为为不同不同q的的电子电子-空穴对空穴对之间的相互作用；之间的相互作用；非线性部分非线性部分作近似（在真空态求平均）：作近似（在真空态求平均）：由于平移对称性要求动量守恒，因此只有由于平移对称性要求动量守恒，因此只有 项有贡献：项有贡献：23那么：那么：代入到代入到密度起伏算符密度起伏算符的线性
12、本征方程的线性本征方程:可得：可得：上式对上式对k求和并消去求和并消去 得到得到频率方程：频率方程：上式可通过图解法求解上式可通过图解法求解上述上述线性化手续线性化手续使运动方程中的使运动方程中的 项自动消除，项自动消除，与经典情况下的无规相近似实质上相同，称为与经典情况下的无规相近似实质上相同，称为量子无规相近似量子无规相近似245 5 线性响应理论线性响应理论 为了知道给定物理系统的特性，必须以某种方式为了知道给定物理系统的特性，必须以某种方式扰动系统扰动系统，观察其响应。，观察其响应。 通过通过扰动与响应扰动与响应的关系，可得知系统的的关系，可得知系统的元激发的信息。元激发的信息。* 设
13、所考虑多粒子系统的哈密顿为设所考虑多粒子系统的哈密顿为H，它的，它的本证能量和本征函数本证能量和本征函数分别为分别为当外场作用于系统时的附加哈密顿设为当外场作用于系统时的附加哈密顿设为为使为使响应绝热追随扰动响应绝热追随扰动，要求，要求外场缓慢加上外场缓慢加上：加外场后系统的哈密顿为加外场后系统的哈密顿为25作变换作变换可消去可消去H得得* 先考虑先考虑纯态纯态情况：情况：若通过若通过物理量物理量A观察系统对外场的响应观察系统对外场的响应，则算符，则算符A在时刻在时刻t的的量子力学期待值量子力学期待值26代入上式得代入上式得由于由于那么，上式第一项可简化为那么，上式第一项可简化为可得可得27真
14、正观察到的响应，真正观察到的响应，自然不会是上述纯态的平均，而应当是统计平均。自然不会是上述纯态的平均，而应当是统计平均。在外场作用下在外场作用下t时刻物理量时刻物理量的统计平均值为的统计平均值为外场所导致的统计平均值的外场所导致的统计平均值的变化为变化为若外场以频率若外场以频率 振荡振荡其中其中B为算符为算符，则，则28最后得响应与外扰动的关系：最后得响应与外扰动的关系：显然响应与外扰动成线性关系，这就是线性响应理论的基本公式，也称为显然响应与外扰动成线性关系，这就是线性响应理论的基本公式，也称为久保久保(Kubo)公式。公式。广泛应用于多体系统输运系数的计算。广泛应用于多体系统输运系数的计
15、算。若定义若定义推迟格林函数，推迟格林函数，它的极点确定互作用系统的元激发它的极点确定互作用系统的元激发29作傅里叶变换引入作傅里叶变换引入可求出一个可求出一个重要结论重要结论某些物理量（如多电子系统的电流密度某些物理量（如多电子系统的电流密度j(r,t)以及数密度起伏算符以及数密度起伏算符 q（q 0）当外场为零时其统计平均值为零，当外场为零时其统计平均值为零，因此有因此有由于由于在线性响应范围内成立。在线性响应范围内成立。306 6 介电函数介电函数 当研究多电子系统对外场的响应时，可假定在系统的原点处附加一个以当研究多电子系统对外场的响应时，可假定在系统的原点处附加一个以 频率频率振荡的
16、振荡的“试探电荷试探电荷”是试探电荷对是试探电荷对j电子作用的势能电子作用的势能当考虑当考虑“试探电荷试探电荷”时，时， 的海森伯方程为的海森伯方程为31根据第四节的结果，有：根据第四节的结果，有：在在量子无规相近似下量子无规相近似下，可得：，可得：其中其中求统计平均求统计平均32再利用再利用 上式变为：上式变为：代表代表外场势能外场势能的傅里叶分量的傅里叶分量代表代表外扰动所感生外扰动所感生的电子密的电子密度起伏对度起伏对r点的点的屏蔽势能屏蔽势能代入代入33由此可引入由此可引入介电函数介电函数定义定义林哈德函数林哈德函数D =E电位移矢量电位移矢量外电场外电场作代数变换作代数变换这时：这时
17、：34综合综合林哈德函数林哈德函数的两式得到：的两式得到：由于电子由于电子-空穴对的激发能空穴对的激发能代表将一个电子从费米球内代表将一个电子从费米球内激发到费米球外激发到费米球外我们进一步将因子改写我们进一步将因子改写林哈德函数更完整的形式为林哈德函数更完整的形式为：35介电函数是复函数介电函数是复函数利用关系：利用关系：可得可得介电函数的实部介电函数的实部：由于由于因此，上式因此，上式第三项为零第三项为零36介电函数的虚部介电函数的虚部：1954年林哈德算出了介电函数的明确表达式年林哈德算出了介电函数的明确表达式 （见见P.104）若取体系中的一个电子作为若取体系中的一个电子作为“试探电荷
18、试探电荷”，则，则37代表电子间的代表电子间的有效互作用有效互作用，它通过，它通过动态介电函数动态介电函数计入了计入了多体效应多体效应对库仑对库仑势的影响。势的影响。利用有效互作用讨论利用有效互作用讨论屏蔽效应、计算相关能和准电子寿命等问题屏蔽效应、计算相关能和准电子寿命等问题将是十将是十分简便的。分简便的。387 7 电子系统的元激发谱电子系统的元激发谱 用无规相近似介电函数表示的用无规相近似介电函数表示的响应方程响应方程：可决定互作用电子系统的可决定互作用电子系统的个别激发与集体激发特征个别激发与集体激发特征。当外扰动当外扰动 时，那么，以上方程变为：时，那么，以上方程变为：其中其中非零的
19、非零的 解解才对应于系统的元激发，因此，元激发必须满足才对应于系统的元激发，因此，元激发必须满足由于由于 为复函数，为复函数，决定元激发时区分两种情形：决定元激发时区分两种情形：（1）对应的元激发是对应的元激发是无阻尼的振荡无阻尼的振荡，称为，称为本征振荡本征振荡。39（2）对于对于复介电函数系统复介电函数系统，标定元激发类别的程序为：，标定元激发类别的程序为： 由于介电函数的实部由于介电函数的实部则则 导致导致40由由作图法作图法可定出电子系统的可定出电子系统的频率本征值频率本征值41（1） 由于由于 是根据周期性边界条件所取是根据周期性边界条件所取波矢的准连续值波矢的准连续值代入决定的，代
20、入决定的，因此，在因此，在 之间图解求得的之间图解求得的电子电子-空穴对的激发频率空穴对的激发频率与与 近似认为相等近似认为相等，它代表互作用电子系统的，它代表互作用电子系统的个别激发个别激发。这时。这时（2） 对于对于 的频率区域，存在另一支解，与的频率区域，存在另一支解，与 准连续解分离开的准连续解分离开的解解，这时，这时说明振荡是说明振荡是无阻尼无阻尼的。这一支解代表电子气体的的。这一支解代表电子气体的集体振荡集体振荡42其中其中 为为零温度时费米分布零温度时费米分布（i）因此，准至）因此，准至 的展开式为的展开式为由此定出的解为由此定出的解为（ii）若计及）若计及 项，可定出准至项，可
21、定出准至q 2 的的等离子振荡频率等离子振荡频率431）在）在 集体振荡与电子空穴对集体振荡与电子空穴对彼此独立。彼此独立。2）在）在 只有只有电子电子-空穴对的激发空穴对的激发44 等离激元等离激元与与等离子体等离子体 等离激元等离激元是由库仑力导致的，由于库仑力是是由库仑力导致的，由于库仑力是纵向纵向的，因此，的，因此，等离激元等离激元是是纵振动的量子纵振动的量子。 等离子体等离子体与等离激元不同，等离子体与等离激元不同，等离子体还有横向振荡还有横向振荡，地球，地球周围电离层吸收电磁波就是由于等离子体的周围电离层吸收电磁波就是由于等离子体的横向振荡被激发横向振荡被激发。 准二维电子系统准二维电子系统 （如液氦表面上的电子层和半导体中的（如液氦表面上的电子层和半导体中的MOS反型层）反型层）等离激元的色散关系等离激元的色散关系无能隙存在无能隙存在（已被实验证实）（已被实验证实）4546
