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1、张量分析及其应用第一章 张量代数第二章 张量分析第三章 张量应用1.1 指标记法1.1.1 求和约定、哑指标第一章 张量代数显然，指标 i, j, k 与求和无关，可用任意字母代替。为简化表达式，引入Einstein求和约定：每逢某个指标在一项中重复一次，就表示对该指标求和，指标取遍正数1，2，n。这样重复的指标称为哑标。于是是违约的，求和时要保留求和号n 表示空间的维数，以后无特别说明，我们总取n=3。例题双重求和简写成展开式（9项）三重求和（27项）1.1.2 自由指标例如指标 i 在方程的各项中只出现一次，称之为自由指标。一个自由指标每次可取整数1, 3, , n，与哑标一样，无 特别说
2、明总取n=3。于是，上式表示3个方程的缩写：i 为自由指标，j 为哑标表示i 为自由指标，j 为哑标表示i ，j为自由指标，k 为哑标表示9个方程：例外：出现双重指标但不求和时，在指标下方加划线 以示区别，或用文字说明（如i不求和）。规定：这里 i 相当于一个自由指标，而 i 只是在数值上等于 i，并不与 i 求和。又如，方程用指标法表示，可写成i 不参与求和，只在数值上等于 i1.2 Kronecker 符号在卡氏直角坐标系下，Kronecker 符号定义为：其中 i，j 为自由指标，取遍1，2，3；因此， 可确定一单位矩阵：若是相互垂直的单位矢量，则，但而，故注意：是一个数值，即的作用：1
3、）换指标；2）选择求和。例1：思路：把要被替换的指标 i 变成哑标，哑标能用任意字母，因此可用变换后的字母 k 表示例2：例3：个数，项的和。求特别地，1.3 置换符号i, j, k, 为1，2，3的偶排列i, j, k, 为1，2，3的奇排列i, j, k, 不是1，2，3的排列例如：可见：也称为三维空间的排列符号。若是右手卡氏直角坐标系的单位基矢量则常见的恒等式( i )( ii )( iii )( iv )证明：令即得（ i ），将（ i ）作相应的指标替换，展开化简，将得其余三式。指标任意排列，经过行列调整总可用右边表示，两个置换符号分别反映行、列调换及指标重复时的正、负及零二维置换符
4、号其中从三维退化得到有下列恒等式关键公式：二维关键公式：1.4 指标记法的运算1.4.1 代入设(1)(2)把（2） 代入（1）mn or else3个方程，右边为9项之和1.4 指标记法的运算1.4.2 乘积设则不符合求和约定1.4 指标记法的运算1.4.3 因式分解考虑第一步用表示有换指标的作用所以即1.4 指标记法的运算1.4.4 缩并使两个指标相等并对它们求和的运算称为缩并。如各向同性材料应力应变关系缩并哑标与求和无关，可用任意字母代替为平均应力应变之间的关系1.4 指标记法的运算1.4.5 例题 熟悉指标记法和普通记法的转换求和约定同样适用于微分方程。不可压缩牛顿流体的连续性方程：其
5、普通记法或1.4 指标记法的运算1.4.5 例题 熟悉指标记法和普通记法的转换不可压缩牛顿流体的Navier-Stokes方程：写出其普通记法1.4 指标记法的运算1.4.5 例题 熟悉指标记法和普通记法的转换弹性力学平衡方程方程：写出其指标记法1.5 张量的定义1.5.1 坐标系的变换关系（卡氏右手直角坐标系）旧坐标系：新旧基矢量夹角的方向余弦：单位基矢量：新坐标系：单位基矢量：1.5.1 坐标系的变换关系 旧新图解（二维）：在解析式中记：1.5.1 坐标系的变换关系从坐标变换的角度研究标量、矢量和张量（对 i 求和，i为自由指标）1.5.2 标量（纯量 Scalar）在坐标变换时其值保持不
6、变，即满足如数学中的纯数，物理中的质量、密度、温度等。时间是否标量？1.5.3 矢量（Vector）设 a 为任意矢量，其在新、旧坐标系下的分量分别为即（对 i 求和）（对 i 求和）满足以下变换关系的三个量 定义一个矢量1.5.3 矢量（Vector）哑标换成 k 比较上式两边，得即该变换是正交的1.5.4 张量（Tensor）对于直角坐标系，有九个量按照关系变换成中的九个量则此九个量定义一个二阶张量。将矢量定义加以推广：（增加指标和相应的变换系数）1.6 张量的分量 设ei为卡氏直角坐标系xi轴的单位基矢量，a为任一矢量，其分量为ai，于是 对于一个二阶张量T，它可以将a变换成另一个矢量b
7、，即 称为二阶张量T的分量 令可理解为矢量Tej在ei上的分量，即 因此，有下面三种等价的表达式： 其中称为在基矢量组e1, e2, e3下二阶张量 T 的矩阵。注意：矢量 a、b 及张量T本身与坐标系无关，但其分量 ai, bi, Tij 通过基矢量组e1, e2, e3与坐标系相关。 1.7.1 张量的加法和减法 设T、S均为二阶张量，将它们的和、差用下式表示： 仍为二阶张量。若a为一矢量，则 其分量为： 其矩阵形式为： 1.7.2 张量和标量的乘积 设T为二阶张量， 为一标量，它们的乘积记为 ，则 仍为二阶张量。因为根据坐标变换，有 可见， 为二阶张量。 1.7.3 并矢积、并矢记法、基
8、张量 矢量 a 和矢量 b 的并矢积 ab 定义为按下列规则变换任意矢量的变换： 二阶张量 一阶 零阶 关于是二阶张量的证明： 即证明 满足张量的定义： 是一个线性变换。 设有任意矢量 ，及标量 ，则由并矢积定义 可见： 满足张量的定义。 关于基矢量组 的分量： 有些文献把 写成 矩阵形式： 基矢量 的并矢积： 于是，二阶张量 可以表示成 ：即这种并矢记法可以推广到任意阶张量，例如三阶张量 ： 一阶基张量 二阶基张量 n 阶基张量 可用上述并矢记法表示基张量：一阶张量 二阶张量 n 阶张量 于是，有等号右边称为广义标量记法。 到此为止，我们已有四种张量记法：不变性（符号，抽象）记法 分量（指标）记法 并矢记法 广义标量记法
