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1、 第八章第八章 拉普拉斯变换拉普拉斯变换1 拉普拉斯拉普拉斯(Pierre-Simon (Pierre-Simon Laplace,1749Laplace,17491827)1827)是是法国法国分析学家、分析学家、概率论概率论学家和学家和物理学家物理学家，法国科学院法国科学院院院士。士。17491749年年3 3月月2323日生于法国西北部日生于法国西北部卡尔卡尔瓦多斯瓦多斯的博蒙昂诺日，的博蒙昂诺日，18271827年年3 3月月5 5日卒日卒于于巴黎巴黎。18161816年被选为年被选为法兰西学院法兰西学院院士院士。拉普拉斯在拉普拉斯在研究天体问题研究天体问题的过程中，创造和发展了许多数
2、学的方法，的过程中，创造和发展了许多数学的方法，以他的名字命名的以他的名字命名的拉普拉斯变换拉普拉斯变换、拉普拉斯定理拉普拉斯定理和和拉普拉普拉斯方程拉斯方程，在科学技术的各个领域有着广泛的应用，在科学技术的各个领域有着广泛的应用2 拉普拉斯变换法是一种拉普拉斯变换法是一种数学积分变换数学积分变换，其，其核心核心是是把把时间函数时间函数 f(t) f(t) 与复变函数与复变函数 F(s) F(s) 联系起来联系起来，把时域把时域问题通过数学变换为复频域问题问题通过数学变换为复频域问题，把时间域的高阶微分，把时间域的高阶微分方程变换为复频域的代数方程，在求出待求的复变函数方程变换为复频域的代数方
3、程，在求出待求的复变函数后，再作相反的变换得到待求的时间函数。由于解复变后，再作相反的变换得到待求的时间函数。由于解复变函数的代数方程比解时域微分方程较有规律且有效，所函数的代数方程比解时域微分方程较有规律且有效，所以拉普拉斯变换在线性电路分析中得到广泛应用。以拉普拉斯变换在线性电路分析中得到广泛应用。 第八章第八章 拉普拉斯变换拉普拉斯变换3 主要内容：主要内容：一、拉氏变换的概念一、拉氏变换的概念二、拉氏变换的性质二、拉氏变换的性质三、拉氏逆变换三、拉氏逆变换四、拉氏变换的应用四、拉氏变换的应用4 傅氏变换虽然有许多很好的性质，并且应用的范围也很广傅氏变换虽然有许多很好的性质，并且应用的范
4、围也很广. . 但但是，由于它有是，由于它有如下两大缺点如下两大缺点，使其在应用的范围上还是受到相当大，使其在应用的范围上还是受到相当大的限制的限制. . 1 1）傅氏变换要求像原函数于）傅氏变换要求像原函数于 上绝对可积的条件是比上绝对可积的条件是比较强的较强的. . 许多函数，即使是很简单的函数，如单位函数、正弦函数、许多函数，即使是很简单的函数，如单位函数、正弦函数、余弦函数以及线性函数等都不满足这个条件；余弦函数以及线性函数等都不满足这个条件；2 2）要求像原函数在整个数轴上有定义）要求像原函数在整个数轴上有定义. . 但是，在许多实际应用中，但是，在许多实际应用中，如物理、信息理论以
5、及无线电技术等问题多是出现以时间如物理、信息理论以及无线电技术等问题多是出现以时间 为自变为自变量的函数，又于量的函数，又于 时是无意义的，或者根本就不需要考虑的，时是无意义的，或者根本就不需要考虑的，像这样的函数都不能取傅氏变换像这样的函数都不能取傅氏变换. . 第八章第八章 拉普拉斯变换拉普拉斯变换一、拉普拉斯变换的概念一、拉普拉斯变换的概念5 为了克服上述缺点，人们自然想到了对于已知函数为了克服上述缺点，人们自然想到了对于已知函数 加加以改造，即乘以因子以改造，即乘以因子 . .因为因为 是单是单位阶跃函数，就有可能使像原函数位阶跃函数，就有可能使像原函数 的定义域由的定义域由 转化为转
6、化为 . . 第八章第八章 拉普拉斯变换拉普拉斯变换 但是，由于像原函数的改变，引起了但是，由于像原函数的改变，引起了核函数和积分区域的改变核函数和积分区域的改变，因，因而也就产生了一种新的积分变换，人们称之为而也就产生了一种新的积分变换，人们称之为拉氏变换拉氏变换. .6 第八章第八章 拉普拉斯变换拉普拉斯变换 1 1、拉氏变换和拉氏逆变换的定义、拉氏变换和拉氏逆变换的定义 设函数设函数 ，当当 0 0时有定义，而且积分时有定义，而且积分 （s s是一个是一个复参量），在复参量），在s s的某一域内收敛，则由此积分决定的函数可的某一域内收敛，则由此积分决定的函数可写为写为 称称 为为 的拉普
7、拉斯变换（简称拉氏变换）的拉普拉斯变换（简称拉氏变换）或象函数，记为或象函数，记为 ，即，即又称又称 为为 的拉普拉斯逆变换（简称为拉氏逆变的拉普拉斯逆变换（简称为拉氏逆变换）或象原函数，记换）或象原函数，记 即即7 例题例题1 1 典型函数的拉氏变换典型函数的拉氏变换1) 1) 单位阶跃函数的象函单位阶跃函数的象函数数 2) 2) 单位脉冲函数的象函数单位脉冲函数的象函数 3) 3) 指数函数的象函数指数函数的象函数 8 2 2、拉氏变换的存在定理、拉氏变换的存在定理 拉氏变换存在定理拉氏变换存在定理 设函数设函数f (t)满足下列条满足下列条件：件： 11当当t0时，时，f (t)=0；
8、22f (t)在在t00的任一有限区间上分段连续，间断点的个的任一有限区间上分段连续，间断点的个数是有限个，且都是第一类间断点；数是有限个，且都是第一类间断点； 3 3 f (t)是指数级函数。是指数级函数。 则则f (t)的拉氏变换的拉氏变换在半平面在半平面Re(s)= =c c上一定存在，此时上式右端的积分绝上一定存在，此时上式右端的积分绝对收敛而且一致收敛，同时在此半平面内，对收敛而且一致收敛，同时在此半平面内，F(s)F(s)是解析函是解析函数数。 第八章第八章 拉普拉斯变换拉普拉斯变换9 关于拉氏变换存在定理，做如下的几点说明关于拉氏变换存在定理，做如下的几点说明： (1) (1)从
9、从物理应用观点物理应用观点来看，条件来看，条件22、33都是容易满都是容易满足的。实用上所考察的物理过程，往往是用时间函数来描足的。实用上所考察的物理过程，往往是用时间函数来描述的，并且是从某一时刻开始，因此可以选这时刻为述的，并且是从某一时刻开始，因此可以选这时刻为t=0t=0，在此以前情况则不加考虑。例如在此以前情况则不加考虑。例如sintsint，若要对它进行拉若要对它进行拉氏变换则应把它理解为氏变换则应把它理解为sintu(t)sintu(t)。 (2)(2)工程技术中所遇到的函数大部分是存在拉氏变换的。工程技术中所遇到的函数大部分是存在拉氏变换的。 (3)(3)如果如果f (t)f
10、(t)为指数级函数，则其增长指数不唯一。为指数级函数，则其增长指数不唯一。 第八章第八章 拉普拉斯变换拉普拉斯变换10 3 3、关于拉氏变换的积分下限问题、关于拉氏变换的积分下限问题 f (t)在在t=0=0包含了脉冲函数，我们就必须区分这个积分包含了脉冲函数，我们就必须区分这个积分区间包括区间包括t=0=0这一点，还是不包括这一点，还是不包括t=0=0这一点。这一点。 假如包括，我们把积分下限记为假如包括，我们把积分下限记为0 0- -； 假如不包括，我们把积分下限记为假如不包括，我们把积分下限记为0 0+ +，于是得出了不，于是得出了不同的拉氏变换。记同的拉氏变换。记 第八章第八章 拉普拉
11、斯变换拉普拉斯变换11 二、拉氏变换的基本公式和性质二、拉氏变换的基本公式和性质1 1、常用函数的拉氏变换公式、常用函数的拉氏变换公式 当当m为正整数时，有为正整数时，有 注注函数具有如下的递推公式函数具有如下的递推公式 第八章第八章 拉普拉斯变换拉普拉斯变换12 第八章第八章 拉普拉斯变换拉普拉斯变换(9)设 是0，+)上的周期为T的函数，即 则 的拉氏变换为 13 二、拉氏变换的性质二、拉氏变换的性质 第八章第八章 拉普拉斯变换拉普拉斯变换设设 则有则有 (1) (1) 线性性质（设线性性质（设、为常数）为常数） （2 2）位移性质（设）位移性质（设a a为常数）为常数） （3 3）延迟性
12、质）延迟性质 若若t0t0时时 ，则对任一非负，则对任一非负实数实数 有有 亦可写为亦可写为 14 注注 中的中的 意味着意味着 （当（当 时）时） (4) (4) 微分性微分性质质 推论推论 特别地，当初值特别地，当初值 时，有时，有 第八章第八章 拉普拉斯变换拉普拉斯变换=(5)(5)积分性质积分性质 推论推论 15 第八章第八章 拉普拉斯变换拉普拉斯变换(6)(6)象函数微分性质象函数微分性质 一般地，有一般地，有 (7)(7)象函数积分性质象函数积分性质 若积分若积分 收敛，收敛，则则 一般地，有一般地，有 （拉氏变换的应用）（拉氏变换的应用）16 第八章第八章 拉普拉斯变换拉普拉斯变
13、换拉氏变换的若干性质和定理拉氏变换的若干性质和定理 17 第八章第八章 拉普拉斯变换拉普拉斯变换一些常用函数的拉普拉斯变式一些常用函数的拉普拉斯变式 18 第八章第八章 拉普拉斯变换拉普拉斯变换例题例题2求函数求函数 的像函数。的像函数。解解： 解解：例题例题4求函数求函数 的像函数。的像函数。例题例题5 已知已知 ，求函数求函数 的像函数。的像函数。 解解： 例题例题3求函数求函数 的像函数。的像函数。解解： 19 第八章第八章 拉普拉斯变换拉普拉斯变换例题例题7求函数求函数 的像函数。的像函数。解解： 解解：根据微分性质，由于：根据微分性质，由于 ，所以，所以 例题例题8求函数求函数 的像
14、函数。的像函数。f(t)= 例题例题6 已知已知 ，求函数求函数 的像函数。的像函数。解解：根据象函数的微分、积分性质和时域延迟性质：根据象函数的微分、积分性质和时域延迟性质 20 三、拉氏逆变换三、拉氏逆变换 第八章第八章 拉普拉斯变换拉普拉斯变换 用拉氏用拉氏变换求解求解线性性电路的路的时域响域响应时，需要把求得的响，需要把求得的响应的拉氏的拉氏变换式式反反变换为时间函数。由象函数求原函数的方法有：函数。由象函数求原函数的方法有：1） 利用公式利用公式 2) 对简单形式的形式的 F(S) 可以可以查拉氏拉氏变换表得原函数；表得原函数； 3) 把把 F(S) 分解分解为简单项的的组合，也称部
15、分分式展开法。合，也称部分分式展开法。 则 即将即将F(S)展开成部分分式，展开成部分分式，成成为可在拉氏可在拉氏变换表中表中查到的到的 的简单函数，的简单函数，然后通过反查拉氏变换表求取原函数然后通过反查拉氏变换表求取原函数21 第八章第八章 拉普拉斯变换拉普拉斯变换例例题9 已知已知 ，求原函数，求原函数 。 解：解： 设设 ，其中所以所以例例题10 已知已知 ，求原函数，求原函数 。 解解: 原式原式 所以所以22 四、拉氏变换的应用四、拉氏变换的应用 第八章第八章 拉普拉斯变换拉普拉斯变换 对一个物理系统进行分析的研究，首先建立该系统特性的数学模型对一个物理系统进行分析的研究，首先建立
16、该系统特性的数学模型-线性线性微分方程，这类系统无论是在电路理论还是在自动控制理论的研究中，都占有微分方程，这类系统无论是在电路理论还是在自动控制理论的研究中，都占有很重要的地位很重要的地位. 特别是分析和解决这类问题，拉氏变换法是不可缺少的特别是分析和解决这类问题，拉氏变换法是不可缺少的. 1微分方程的拉氏变换解法微分方程的拉氏变换解法种解法的示意图如下：种解法的示意图如下：取微分方程的拉氏变换较困难解关于像函数的代数方程取像函数的逆变换像函数像函数微分方程微分方程微分方程的解微分方程的解（像原函数）（像原函数）像原函数的像原函数的代数方程代数方程23 第八章第八章 拉普拉斯变换拉普拉斯变换例例题11 求求 满足条件足条件 的解的解 。 24 第八章第八章 拉普拉斯变换拉普拉斯变换例例题11 求求 满足条件足条件 的解的解 。 解：解： 利用拉氏变换的微分性质利用拉氏变换的微分性质 设设 ，方程两端取拉氏变换，并由初始条件得，方程两端取拉氏变换，并由初始条件得 于是得到关于象函数于是得到关于象函数Y(s)的代数方程的代数方程即即再取拉氏逆变换得微分方程的解为再取拉氏逆变换得微分方程的解为25 祝各位好运，祝各位好运， 假期愉快假期愉快WISH YOU HAVE WISH YOU HAVE A GOOD LUCKA GOOD LUCK26
