《韩伯棠管理运筹学第三版第四章线性规划在工商管理中的应用》由会员分享，可在线阅读，更多相关《韩伯棠管理运筹学第三版第四章线性规划在工商管理中的应用（81页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、第四章、线性规划在工商第四章、线性规划在工商管理中的应用管理中的应用 通过线性规划的图解法，我们对线性规划通过线性规划的图解法，我们对线性规划通过线性规划的图解法，我们对线性规划通过线性规划的图解法，我们对线性规划的求解及灵敏度分析的基本概念、基本原理已的求解及灵敏度分析的基本概念、基本原理已的求解及灵敏度分析的基本概念、基本原理已的求解及灵敏度分析的基本概念、基本原理已有所了解，又通过线性规划问题的计算机求解有所了解，又通过线性规划问题的计算机求解有所了解，又通过线性规划问题的计算机求解有所了解，又通过线性规划问题的计算机求解的学习，我们掌握了用计算机软件这一有用工的学习，我们掌握了用计算机
2、软件这一有用工的学习，我们掌握了用计算机软件这一有用工的学习，我们掌握了用计算机软件这一有用工具去求解线性规划问题及其灵敏度分析。在这具去求解线性规划问题及其灵敏度分析。在这具去求解线性规划问题及其灵敏度分析。在这具去求解线性规划问题及其灵敏度分析。在这一章我们来研究线性规划在工商管理中的应用，一章我们来研究线性规划在工商管理中的应用，一章我们来研究线性规划在工商管理中的应用，一章我们来研究线性规划在工商管理中的应用，解决工商管理中的实际问题。解决工商管理中的实际问题。解决工商管理中的实际问题。解决工商管理中的实际问题。14.1、人力资源分配的问题、人力资源分配的问题4.2、生产计划的问题、生
3、产计划的问题4.3、套裁下料问题、套裁下料问题4.4、配料问题、配料问题4.5、投资问题、投资问题主要内容2 2 某昼夜服务的公交线路每天各时间段内所某昼夜服务的公交线路每天各时间段内所某昼夜服务的公交线路每天各时间段内所某昼夜服务的公交线路每天各时间段内所 需司机和乘务人员数如下：需司机和乘务人员数如下：需司机和乘务人员数如下：需司机和乘务人员数如下： 设司机和乘务人员分别在各时间段一开始时上班，设司机和乘务人员分别在各时间段一开始时上班，设司机和乘务人员分别在各时间段一开始时上班，设司机和乘务人员分别在各时间段一开始时上班，并连续工作八小时，问该公交线路怎样安排司机和乘务并连续工作八小时，
4、问该公交线路怎样安排司机和乘务并连续工作八小时，问该公交线路怎样安排司机和乘务并连续工作八小时，问该公交线路怎样安排司机和乘务人员，既能满足工作需要，又配备最少司机和乘务人员人员，既能满足工作需要，又配备最少司机和乘务人员人员，既能满足工作需要，又配备最少司机和乘务人员人员，既能满足工作需要，又配备最少司机和乘务人员? ?班次班次班次班次时间时间时间时间所需所需所需所需人数人数人数人数1 16:00-10:006:00-10:0060602 210:00-14:0010:00-14:0070703 314:00-18:0014:00-18:0060604 418:00-22:0018:00-2
5、2:0050505 522:00-2:0022:00-2:0020206 62:00-6:002:00-6:003030例例例例1 14.1、人力资源分配的问题、人力资源分配的问题3 3解：解：设设xi表示第表示第i班次时开始上班的司机和乘务人班次时开始上班的司机和乘务人员数，可以知道在第员数，可以知道在第i班工作的人数应包括班工作的人数应包括第第i-1班次时开始上班的人员数和第班次时开始上班的人员数和第i班次时班次时开始上班的人员数，例如有开始上班的人员数，例如有x1+x270。又要又要求这六个班次时开始上班的所有人员最少，求这六个班次时开始上班的所有人员最少，即要求即要求x1+x2+x3+
6、x4+x5+x6最小，这样我们建最小，这样我们建立如下的数学模型。立如下的数学模型。目标函数：目标函数：minx1+x2+x3+x4+x5+x6约束条件：约束条件：x1+x660，x1+x270，x2+x360，x3+x450，x4+x520，x5+x630，x1,x2,x3,x4,x5,x604 4用用“管理运筹学管理运筹学”软件可以求得此问题的解：软件可以求得此问题的解：x1=50，x2=20，x3=50，x4=0，x5=20，x6=10，24小时内一共需要司机和乘务人员小时内一共需要司机和乘务人员150人。人。此此问题的解不唯一，用问题的解不唯一，用LINDO软件计算软件计算得到：得到：
7、X1=60,X2=10,X3=50,X4=0,X5=30,X6=0目标函数值目标函数值=1505 5 福安商场是个中型的百货商场，它对售货福安商场是个中型的百货商场，它对售货福安商场是个中型的百货商场，它对售货福安商场是个中型的百货商场，它对售货 人员的需求经过统计分析如下所示：人员的需求经过统计分析如下所示：人员的需求经过统计分析如下所示：人员的需求经过统计分析如下所示：星期一：星期一：星期一：星期一：1515人；星期二：人；星期二：人；星期二：人；星期二：2424人；星期三：人；星期三：人；星期三：人；星期三：2525人；星期人；星期人；星期人；星期四：四：四：四：1919人；星期五：人；
8、星期五：人；星期五：人；星期五：3131人；星期六：人；星期六：人；星期六：人；星期六：2828人；星期日：人；星期日：人；星期日：人；星期日：2828人。人。人。人。为了保证售货人员充分休息，售货人员每周工作五为了保证售货人员充分休息，售货人员每周工作五为了保证售货人员充分休息，售货人员每周工作五为了保证售货人员充分休息，售货人员每周工作五天，休息两天，并要求休息的两天是连续的，问应该天，休息两天，并要求休息的两天是连续的，问应该天，休息两天，并要求休息的两天是连续的，问应该天，休息两天，并要求休息的两天是连续的，问应该如何安排售货人员的作息，既满足了工作需要，又使如何安排售货人员的作息，既
9、满足了工作需要，又使如何安排售货人员的作息，既满足了工作需要，又使如何安排售货人员的作息，既满足了工作需要，又使配备的售货人员的人数最少配备的售货人员的人数最少配备的售货人员的人数最少配备的售货人员的人数最少? ? 解：设解：设解：设解：设x x1 1为星期一开始休息的人数，为星期一开始休息的人数，为星期一开始休息的人数，为星期一开始休息的人数，x x2 2为星期二开始休为星期二开始休为星期二开始休为星期二开始休息的人数，息的人数，息的人数，息的人数，x x7 7为星期日开始休息的人数。目标是要求为星期日开始休息的人数。目标是要求为星期日开始休息的人数。目标是要求为星期日开始休息的人数。目标是
10、要求售货人员的总数最少。因为每个售货员都工作五天，休息售货人员的总数最少。因为每个售货员都工作五天，休息售货人员的总数最少。因为每个售货员都工作五天，休息售货人员的总数最少。因为每个售货员都工作五天，休息两天，所以只要计算出连续休息两天的售货员人数，也就两天，所以只要计算出连续休息两天的售货员人数，也就两天，所以只要计算出连续休息两天的售货员人数，也就两天，所以只要计算出连续休息两天的售货员人数，也就计算出了售货员的总数。把连续休息两天的售货员按照开计算出了售货员的总数。把连续休息两天的售货员按照开计算出了售货员的总数。把连续休息两天的售货员按照开计算出了售货员的总数。把连续休息两天的售货员按
11、照开始休息的时间分成始休息的时间分成始休息的时间分成始休息的时间分成7 7类，各类的人数分别为类，各类的人数分别为类，各类的人数分别为类，各类的人数分别为X X1 1，X X2 2，XX7 7，即有目标函数即有目标函数即有目标函数即有目标函数:minXminX1 1+X+X2 2+X+X3 3+X+X4 4+X+X5 5+X+X6 6+X+X7 7例例例例2 26 6模型：模型： 再按照每天所需售货员的人数写出约束条件，例如再按照每天所需售货员的人数写出约束条件，例如再按照每天所需售货员的人数写出约束条件，例如再按照每天所需售货员的人数写出约束条件，例如星期日需要星期日需要星期日需要星期日需要
12、2828人，我们知道商场中的全体售货员中除人，我们知道商场中的全体售货员中除人，我们知道商场中的全体售货员中除人，我们知道商场中的全体售货员中除了星期六开始休息和星期日开始休息的人外都应该上了星期六开始休息和星期日开始休息的人外都应该上了星期六开始休息和星期日开始休息的人外都应该上了星期六开始休息和星期日开始休息的人外都应该上班，即有班，即有班，即有班，即有x x1 1+x+x2 2+x+x3 3+x+x4 4+x+x5 52828，喂！请问数学模型喂！请问数学模型喂！请问数学模型喂！请问数学模型？7 7上机求解上机求解上机求解上机求解得：得：得：得：x x1 1=12,x=12,x2 2=0
13、,x=0,x3 3=11,x=11,x4 4=5,x=5,x5 5=0,x=0,x6 6=8,x=8,x7 7=0,=0,目标函数最小值目标函数最小值目标函数最小值目标函数最小值=36.=36. 也就是说配备也就是说配备也就是说配备也就是说配备3636个售货员，并安排个售货员，并安排个售货员，并安排个售货员，并安排1212人休息星期一、人休息星期一、人休息星期一、人休息星期一、二；安排二；安排二；安排二；安排1111人休息星期三、四；安排人休息星期三、四；安排人休息星期三、四；安排人休息星期三、四；安排5 5人休息星期四、人休息星期四、人休息星期四、人休息星期四、五；安排五；安排五；安排五；安
14、排8 8人休息星期六、日。这人休息星期六、日。这人休息星期六、日。这人休息星期六、日。这 样的安排既满足了工样的安排既满足了工样的安排既满足了工样的安排既满足了工作需要，又使配备的售货员最少。软件对此问题的解如作需要，又使配备的售货员最少。软件对此问题的解如作需要，又使配备的售货员最少。软件对此问题的解如作需要，又使配备的售货员最少。软件对此问题的解如下：下：下：下：目标函数最优值为：目标函数最优值为：目标函数最优值为：目标函数最优值为：3636变量变量变量变量最优解最优解最优解最优解相差值相差值相差值相差值x1120x1120x200.333x200.333x3110x3110x450x45
15、0x500x500x680x680x700x7008 8约束约束约束约束 松驰松驰松驰松驰/ /剩余变量剩余变量剩余变量剩余变量对偶价格对偶价格对偶价格对偶价格10-0.33310-0.33329029030-0.33330-0.33340-0.33340-0.33351051060-0.33360-0.333700700由于所有约束条件的对偶价格都小于或等到由于所有约束条件的对偶价格都小于或等到由于所有约束条件的对偶价格都小于或等到由于所有约束条件的对偶价格都小于或等到0 0，故增加约束条件的常数项都不会使目标值变，故增加约束条件的常数项都不会使目标值变，故增加约束条件的常数项都不会使目标值
16、变，故增加约束条件的常数项都不会使目标值变小。小。小。小。即增加售货员是不利的。但对于约束即增加售货员是不利的。但对于约束即增加售货员是不利的。但对于约束即增加售货员是不利的。但对于约束1 1、3 3、4 4、6 6来讲，减少一售货员会使目标函数值变小，来讲，减少一售货员会使目标函数值变小，来讲，减少一售货员会使目标函数值变小，来讲，减少一售货员会使目标函数值变小，是有利的。是有利的。是有利的。是有利的。9 9目标函数系数范围：目标函数系数范围：目标函数系数范围：目标函数系数范围：变量变量变量变量 下限下限下限下限 当前值当前值当前值当前值 上限上限上限上限X1 0 1 1.5X1 0 1 1
17、.5X2 0.667 1 X2 0.667 1 无上限无上限无上限无上限X3 0 1 1.5X3 0 1 1.5X4 1 1 1X4 1 1 1X5 1 1 X5 1 1 无上限无上限无上限无上限X6 0 1 1X6 0 1 1X7 1 1 1.333X7 1 1 1.333安排星期二开始休息和星期安排星期二开始休息和星期安排星期二开始休息和星期安排星期二开始休息和星期五开始五开始五开始五开始休息的人员可休息的人员可休息的人员可休息的人员可以无限制，此时最优解仍然不变。以无限制，此时最优解仍然不变。以无限制，此时最优解仍然不变。以无限制，此时最优解仍然不变。1010常数项范围：常数项范围：约束
18、约束下限下限当前值当前值上限上限11928282无下限无下限152431524424102541.55无下限无下限19206163138.572828361111法二：设法二：设法二：设法二：设x x1 1为星期一开始上班的人数，为星期一开始上班的人数，为星期一开始上班的人数，为星期一开始上班的人数，x x2 2为星期二开始上为星期二开始上为星期二开始上为星期二开始上班的人数，班的人数，班的人数，班的人数，x x7 7为星期日开始上班的人数。目标是要为星期日开始上班的人数。目标是要为星期日开始上班的人数。目标是要为星期日开始上班的人数。目标是要求售货人员的总数最少。求售货人员的总数最少。求售货
19、人员的总数最少。求售货人员的总数最少。(P40-2a.ltx)(P40-2a.ltx)目标函数目标函数目标函数目标函数:minX:minX1 1+X+X2 2+X+X3 3+X+X4 4+X+X5 5+X+X6 6+X+X7 7约束条件：约束条件：约束条件：约束条件：星期日星期日星期日星期日X X3 3+X+X4 4+X+X5 5+X+X6 6+X+X7 72828星期一星期一星期一星期一X X1 1+X+X4 4+X+X5 5+X+X6 6+X+X7 71515星期二星期二星期二星期二X X1 1+X+X2 2+X+X5 5+X+X6 6+X+X7 72424星期三星期三星期三星期三X X1
20、 1+X+X2 2+X+X3 3+X+X6 6+X+X7 72525星期四星期四星期四星期四X X1 1+X+X2 2+X+X3 3+X+X4 4+X+X7 71919星期五星期五星期五星期五X X1 1+X+X2 2+X+X3 3+X+X4 4+X+X5 53131星期六星期六星期六星期六X X2 2+X+X3 3+X+X4 4+X+X5 5+X+X6 62828解解解解:函数值函数值函数值函数值=36,=36,X1=3,x2=5,X1=3,x2=5,x3=12,X4=0,x3=12,X4=0,x5=11,x6=0x5=11,x6=0X7=5,X7=5,则周则周则周则周1 1休息人数为休息人
21、数为休息人数为休息人数为周周周周3 3上班的上班的上班的上班的+ +周周周周2 2上上上上班的班的班的班的=12+5=17,=12+5=17,与与与与法一是一样的周法一是一样的周法一是一样的周法一是一样的周1 1开始休息仍为开始休息仍为开始休息仍为开始休息仍为17-17-5=125=12人人人人1212明兴公司面临一个是外包协作还明兴公司面临一个是外包协作还明兴公司面临一个是外包协作还明兴公司面临一个是外包协作还是自行生产的问题。该公司生产甲、乙、是自行生产的问题。该公司生产甲、乙、是自行生产的问题。该公司生产甲、乙、是自行生产的问题。该公司生产甲、乙、丙三种产品，这三种产品都要经过铸造、丙三
22、种产品，这三种产品都要经过铸造、丙三种产品，这三种产品都要经过铸造、丙三种产品，这三种产品都要经过铸造、机加工和装配三个车间。甲、乙两种产品机加工和装配三个车间。甲、乙两种产品机加工和装配三个车间。甲、乙两种产品机加工和装配三个车间。甲、乙两种产品的铸件可以外包协作，亦可以自行生产，的铸件可以外包协作，亦可以自行生产，的铸件可以外包协作，亦可以自行生产，的铸件可以外包协作，亦可以自行生产，但产品丙必须本厂铸造才能保证质量。有但产品丙必须本厂铸造才能保证质量。有但产品丙必须本厂铸造才能保证质量。有但产品丙必须本厂铸造才能保证质量。有关情况见表关情况见表关情况见表关情况见表4343；公司中可利用的
23、总工时；公司中可利用的总工时；公司中可利用的总工时；公司中可利用的总工时为：铸造为：铸造为：铸造为：铸造80008000小时，机加工小时，机加工小时，机加工小时，机加工1200012000小时和装小时和装小时和装小时和装配配配配1000010000小时。公司为了获得最大利润，甲、小时。公司为了获得最大利润，甲、小时。公司为了获得最大利润，甲、小时。公司为了获得最大利润，甲、乙、丙三种产品各生产多少件乙、丙三种产品各生产多少件乙、丙三种产品各生产多少件乙、丙三种产品各生产多少件? ?甲、乙两种甲、乙两种甲、乙两种甲、乙两种产品的铸造应多少由本公司铸造产品的铸造应多少由本公司铸造产品的铸造应多少由
24、本公司铸造产品的铸造应多少由本公司铸造? ?应多少由应多少由应多少由应多少由外包协作？外包协作？外包协作？外包协作？例例例例3 34.2、生产计划的问题、生产计划的问题1313表表4-3解：设解：设解：设解：设x1x1、x2x2、x3x3分别为三道工序都由本公司加工分别为三道工序都由本公司加工分别为三道工序都由本公司加工分别为三道工序都由本公司加工的甲、乙、丙三种产品的件数，设的甲、乙、丙三种产品的件数，设的甲、乙、丙三种产品的件数，设的甲、乙、丙三种产品的件数，设x4x4、x5x5分别为由分别为由分别为由分别为由外协铸造再由本公司机加工和装配的甲、乙两种产外协铸造再由本公司机加工和装配的甲、
25、乙两种产外协铸造再由本公司机加工和装配的甲、乙两种产外协铸造再由本公司机加工和装配的甲、乙两种产品的件数。品的件数。品的件数。品的件数。 计算每件产品的利润分别如下：计算每件产品的利润分别如下：计算每件产品的利润分别如下：计算每件产品的利润分别如下： 工时与成本工时与成本工时与成本工时与成本甲甲甲甲乙乙乙乙丙丙丙丙每件铸造工时每件铸造工时每件铸造工时每件铸造工时( (小时小时小时小时) )5 510107 7每件机加工工时每件机加工工时每件机加工工时每件机加工工时( (小时小时小时小时) )6 64 48 8 每件装配工时（小时每件装配工时（小时每件装配工时（小时每件装配工时（小时) )3 3
26、2 22 2 自产铸件每件成本自产铸件每件成本自产铸件每件成本自产铸件每件成本( (元元元元) )3 35 54 4外协铸件每件成本外协铸件每件成本外协铸件每件成本外协铸件每件成本( (元元元元) )5 56 6 机加工每件成本机加工每件成本机加工每件成本机加工每件成本( (元元元元) )2 21 13 3 装配每件成本装配每件成本装配每件成本装配每件成本( (元元元元) )3 32 22 2每件产品售价每件产品售价每件产品售价每件产品售价( (元元元元) )2323181816161414产品甲全部自制的利润产品甲全部自制的利润产品甲全部自制的利润产品甲全部自制的利润=23-(3+2+3)=
27、15(=23-(3+2+3)=15(元元元元) )产品甲铸造外协，其余自制的利润产品甲铸造外协，其余自制的利润产品甲铸造外协，其余自制的利润产品甲铸造外协，其余自制的利润=23-(5+2+3)=13(=23-(5+2+3)=13(元元元元) )产品乙全部自制的利润产品乙全部自制的利润产品乙全部自制的利润产品乙全部自制的利润=18-(5+1+2)=10(=18-(5+1+2)=10(元元元元) )产品乙铸造外协，其余自制的利润产品乙铸造外协，其余自制的利润产品乙铸造外协，其余自制的利润产品乙铸造外协，其余自制的利润=18-(6+1+2)=9(=18-(6+1+2)=9(元元元元) )产品丙的利润
28、产品丙的利润产品丙的利润产品丙的利润 =16-(4+3+2)=7(=16-(4+3+2)=7(元元元元) ) 工时与成本工时与成本工时与成本工时与成本甲甲甲甲乙乙乙乙丙丙丙丙每件铸造工时每件铸造工时每件铸造工时每件铸造工时( (小时小时小时小时) )5 510107 7每件机加工工时每件机加工工时每件机加工工时每件机加工工时( (小时小时小时小时) )6 64 48 8 每件装配工时（小时每件装配工时（小时每件装配工时（小时每件装配工时（小时) )3 32 22 2 自产铸件每件成本自产铸件每件成本自产铸件每件成本自产铸件每件成本( (元元元元) )3 35 54 4外协铸件每件成本外协铸件每
29、件成本外协铸件每件成本外协铸件每件成本( (元元元元) )5 56 6 机加工每件成本机加工每件成本机加工每件成本机加工每件成本( (元元元元) )2 21 13 3 装配每件成本装配每件成本装配每件成本装配每件成本( (元元元元) )3 32 22 2每件产品售价每件产品售价每件产品售价每件产品售价( (元元元元) )2323181816161515建立数学模型如下：建立数学模型如下：建立数学模型如下：建立数学模型如下： 目标函数：目标函数：目标函数：目标函数： max15Xmax15X1 1+10X+10X2 2+7X+7X3 3+13X+13X4 4+9X+9X5 5约束条件：约束条件：
30、约束条件：约束条件：5X5X1 1+10X+10X2 2+7X+7X3 38000(8000(这里没包括外协铸造时间这里没包括外协铸造时间这里没包括外协铸造时间这里没包括外协铸造时间) )，6X6X1 1+4X+4X2 2+8X+8X3 3+6X+6X4 4+4X+4X5 512000(12000(机加工机加工机加工机加工) )，3X3X1 1+2X+2X2 2+2X+2X3 3+3X+3X4 4+2X+2X5 510000(10000(装配装配装配装配) )，X X1 1，X X2 2，X X3 3，X X4 4，X X5 500用用用用“ “管理运筹学管理运筹学管理运筹学管理运筹学” ”软
31、件进行计算，计算机计算结果显示软件进行计算，计算机计算结果显示软件进行计算，计算机计算结果显示软件进行计算，计算机计算结果显示在图在图在图在图4-14-1中。详见上机计算中。详见上机计算中。详见上机计算中。详见上机计算。 工时与成本工时与成本工时与成本工时与成本甲甲甲甲乙乙乙乙丙丙丙丙每件铸造工时每件铸造工时每件铸造工时每件铸造工时( (小时小时小时小时) )5 510107 7每件机加工工时每件机加工工时每件机加工工时每件机加工工时( (小时小时小时小时) )6 64 48 8 每件装配工时（小时每件装配工时（小时每件装配工时（小时每件装配工时（小时) )3 32 22 21616目标函数最
32、优值为：目标函数最优值为：29400变量变量变量变量最优解最优解最优解最优解相差值相差值相差值相差值x116000x116000x202x202x3013.1x3013.1x400.5x400.5x56000x56000结果分析：最大的利润为结果分析：最大的利润为结果分析：最大的利润为结果分析：最大的利润为2940029400元，其最优的生产计划为全部由元，其最优的生产计划为全部由元，其最优的生产计划为全部由元，其最优的生产计划为全部由自己生产的甲产品自己生产的甲产品自己生产的甲产品自己生产的甲产品16001600件，铸造外协、其余自制生产乙产品件，铸造外协、其余自制生产乙产品件，铸造外协、其
33、余自制生产乙产品件，铸造外协、其余自制生产乙产品600600件，件，件，件，而丙产品不生产。从相差值一栏中可知，如果全部由自己生产的乙而丙产品不生产。从相差值一栏中可知，如果全部由自己生产的乙而丙产品不生产。从相差值一栏中可知，如果全部由自己生产的乙而丙产品不生产。从相差值一栏中可知，如果全部由自己生产的乙产品的利润再增加产品的利润再增加产品的利润再增加产品的利润再增加2 2元达到每件元达到每件元达到每件元达到每件1212元利润，那么全部自制的乙产品元利润，那么全部自制的乙产品元利润，那么全部自制的乙产品元利润，那么全部自制的乙产品才有可能上马生产，否则乙产品还是铸造外协、其余才有可能上马生产
34、，否则乙产品还是铸造外协、其余才有可能上马生产，否则乙产品还是铸造外协、其余才有可能上马生产，否则乙产品还是铸造外协、其余自制自制自制自制的利润更的利润更的利润更的利润更大。同样丙产品的利润要再增加大。同样丙产品的利润要再增加大。同样丙产品的利润要再增加大。同样丙产品的利润要再增加13.113.1元达到每件利润元达到每件利润元达到每件利润元达到每件利润20.120.1元，丙产元，丙产元，丙产元，丙产品才有可能上马生产；铸造外协、其余自制的甲产品利润再增加品才有可能上马生产；铸造外协、其余自制的甲产品利润再增加品才有可能上马生产；铸造外协、其余自制的甲产品利润再增加品才有可能上马生产；铸造外协、
35、其余自制的甲产品利润再增加0.50.5元达到元达到元达到元达到13.513.5元，才有可能上马生产。元，才有可能上马生产。元，才有可能上马生产。元，才有可能上马生产。1717约束约束约束约束 松驰松驰松驰松驰/ /剩余变量剩余变量剩余变量剩余变量对偶价格对偶价格对偶价格对偶价格100.3100.3202.25202.25340000340000从对偶价格栏可知铸造每工时的对偶价格为从对偶价格栏可知铸造每工时的对偶价格为从对偶价格栏可知铸造每工时的对偶价格为从对偶价格栏可知铸造每工时的对偶价格为0.30.3元，元，元，元，机加工每工时的对偶价格为机加工每工时的对偶价格为机加工每工时的对偶价格为机
36、加工每工时的对偶价格为2.252.25元，装配每工时的对偶元，装配每工时的对偶元，装配每工时的对偶元，装配每工时的对偶价格为零元。这样如果有人以低于铸造和机加工的对偶价格为零元。这样如果有人以低于铸造和机加工的对偶价格为零元。这样如果有人以低于铸造和机加工的对偶价格为零元。这样如果有人以低于铸造和机加工的对偶价格来提供铸造及机加工的工时则可以购入来获取差价价格来提供铸造及机加工的工时则可以购入来获取差价价格来提供铸造及机加工的工时则可以购入来获取差价价格来提供铸造及机加工的工时则可以购入来获取差价（例如外协铸造工时价格低于（例如外协铸造工时价格低于（例如外协铸造工时价格低于（例如外协铸造工时价
37、格低于0.30.3元，则外协铸造合算元，则外协铸造合算元，则外协铸造合算元，则外协铸造合算) )。同样如果有人要购买该公司的铸造与机加工的工时，则同样如果有人要购买该公司的铸造与机加工的工时，则同样如果有人要购买该公司的铸造与机加工的工时，则同样如果有人要购买该公司的铸造与机加工的工时，则出价必须扣除成本外，还必须高于其对偶价格，否则就出价必须扣除成本外，还必须高于其对偶价格，否则就出价必须扣除成本外，还必须高于其对偶价格，否则就出价必须扣除成本外，还必须高于其对偶价格，否则就不宜出售。至于装配每工时的对偶价格为零，这是由于不宜出售。至于装配每工时的对偶价格为零，这是由于不宜出售。至于装配每工
38、时的对偶价格为零，这是由于不宜出售。至于装配每工时的对偶价格为零，这是由于在此生产计划下还有在此生产计划下还有在此生产计划下还有在此生产计划下还有40004000个装配工时没有完。个装配工时没有完。个装配工时没有完。个装配工时没有完。1818对偶价格不是市对偶价格不是市对偶价格不是市对偶价格不是市场价格，在作市场决场价格，在作市场决场价格，在作市场决场价格，在作市场决策时，某种资源市场策时，某种资源市场策时，某种资源市场策时，某种资源市场价格低于对偶价格时，价格低于对偶价格时，价格低于对偶价格时，价格低于对偶价格时，可适量买进这种资源，可适量买进这种资源，可适量买进这种资源，可适量买进这种资源
39、，组织和增加生产。相组织和增加生产。相组织和增加生产。相组织和增加生产。相反当市场价格高于对反当市场价格高于对反当市场价格高于对反当市场价格高于对偶价格时，可以卖出偶价格时，可以卖出偶价格时，可以卖出偶价格时，可以卖出资源而不安排生产或资源而不安排生产或资源而不安排生产或资源而不安排生产或提高产品的价格。提高产品的价格。提高产品的价格。提高产品的价格。注意啊！注意啊！1919目标函数系数范围：目标函数系数范围：目标函数系数范围：目标函数系数范围：变量变量变量变量下限下限下限下限当前值当前值当前值当前值上限上限上限上限X11415X11415无上限无上限无上限无上限X2X2无下限无下限无下限无下
40、限10121012X3X3无下限无下限无下限无下限720.1720.1X4X4无下限无下限无下限无下限1313.51313.5X58.667910X58.667910从目标函数决策变量系数一栏中知道，当全部从目标函数决策变量系数一栏中知道，当全部从目标函数决策变量系数一栏中知道，当全部从目标函数决策变量系数一栏中知道，当全部自己生产的每件甲产品的利润在自己生产的每件甲产品的利润在自己生产的每件甲产品的利润在自己生产的每件甲产品的利润在1414到到到到+内变化时，内变化时，内变化时，内变化时，其最优解不变；全部自己生产的每件乙产品的利润其最优解不变；全部自己生产的每件乙产品的利润其最优解不变；全
41、部自己生产的每件乙产品的利润其最优解不变；全部自己生产的每件乙产品的利润只要不超过只要不超过只要不超过只要不超过1212元，则其最优解不变；当每件丙产品元，则其最优解不变；当每件丙产品元，则其最优解不变；当每件丙产品元，则其最优解不变；当每件丙产品的利润不超过的利润不超过的利润不超过的利润不超过20.120.1元时，则其最优解不变；当铸造元时，则其最优解不变；当铸造元时，则其最优解不变；当铸造元时，则其最优解不变；当铸造外协其余自制的每件甲产品的利润不超过外协其余自制的每件甲产品的利润不超过外协其余自制的每件甲产品的利润不超过外协其余自制的每件甲产品的利润不超过13.513.5元时，元时，元时
42、，元时，其最优解不变；当铸造外协，其余自制的每件乙产其最优解不变；当铸造外协，其余自制的每件乙产其最优解不变；当铸造外协，其余自制的每件乙产其最优解不变；当铸造外协，其余自制的每件乙产品的利润在品的利润在品的利润在品的利润在8.6678.667到到到到1010元内变化时，则其最优解不变。元内变化时，则其最优解不变。元内变化时，则其最优解不变。元内变化时，则其最优解不变。在这里当某产品利润变化时都假设其余产品的利润在这里当某产品利润变化时都假设其余产品的利润在这里当某产品利润变化时都假设其余产品的利润在这里当某产品利润变化时都假设其余产品的利润是不变的。是不变的。是不变的。是不变的。2020常数
43、项范围常数项范围约束约束下限下限当前值当前值上限上限108000100002960012000200003600010000无上限无上限从约束条件右边常数变化范围栏可知，当从约束条件右边常数变化范围栏可知，当铸造工时在铸造工时在0到到10000小时间变化时其对偶小时间变化时其对偶价格都为价格都为0.3元；当机加工工时在元；当机加工工时在9600到到20000小时内变化时，其对偶价格都为小时内变化时，其对偶价格都为2.25元；当装配工时在元；当装配工时在6000到到+内变化内变化时，其对偶价格都为零。时，其对偶价格都为零。也就是说当常数项超出上面的范围时其对也就是说当常数项超出上面的范围时其对偶
44、价格可能已变，这时某种资源的市场价偶价格可能已变，这时某种资源的市场价格与对偶价格的关系随之发生变化。格与对偶价格的关系随之发生变化。2121永久机械厂生产永久机械厂生产永久机械厂生产永久机械厂生产 、三种产品。每种产三种产品。每种产三种产品。每种产三种产品。每种产品均要经过品均要经过品均要经过品均要经过A A、B B两道工序加工。设该厂有两种规两道工序加工。设该厂有两种规两道工序加工。设该厂有两种规两道工序加工。设该厂有两种规格的设备能完成格的设备能完成格的设备能完成格的设备能完成A A工序，它们以工序，它们以工序，它们以工序，它们以A A1 1、A A2 2表示；有三表示；有三表示；有三表
45、示；有三种规格的设备能完成种规格的设备能完成种规格的设备能完成种规格的设备能完成B B工序，它们以工序，它们以工序，它们以工序，它们以B B1 1，B B2 2，B B3 3表表表表示。产品示。产品示。产品示。产品 可在可在可在可在A A、B B的任何规格的设备上加工。产的任何规格的设备上加工。产的任何规格的设备上加工。产的任何规格的设备上加工。产品品品品可在任何一种规格的可在任何一种规格的可在任何一种规格的可在任何一种规格的A A设备上加工，但完成设备上加工，但完成设备上加工，但完成设备上加工，但完成B B工序时，只能在工序时，只能在工序时，只能在工序时，只能在B B1 1设备上加工。产品设
46、备上加工。产品设备上加工。产品设备上加工。产品只能在只能在只能在只能在A A2 2与与与与B B2 2设备上加工。已知在各种设备上加工的单件工设备上加工。已知在各种设备上加工的单件工设备上加工。已知在各种设备上加工的单件工设备上加工。已知在各种设备上加工的单件工时、原料单价、产品销售单价、各种设备的有效时、原料单价、产品销售单价、各种设备的有效时、原料单价、产品销售单价、各种设备的有效时、原料单价、产品销售单价、各种设备的有效台时以及满负荷操作时的设备费用如表台时以及满负荷操作时的设备费用如表台时以及满负荷操作时的设备费用如表台时以及满负荷操作时的设备费用如表4444示，示，示，示，要求制定最
47、优的产品加工方案，使该厂利润最大。要求制定最优的产品加工方案，使该厂利润最大。要求制定最优的产品加工方案，使该厂利润最大。要求制定最优的产品加工方案，使该厂利润最大。例例42222表表4-4设设设设备备备备 产品单件工时产品单件工时产品单件工时产品单件工时设备的设备的设备的设备的有效台有效台有效台有效台时时时时满负荷时满负荷时满负荷时满负荷时的设备费的设备费的设备费的设备费用用用用 A A1 15 5101060006000300300A A2 27 79 912121000010000321321B B1 16 68 840004000250250B B2 24 41111700070007
48、83783B B3 37 740004000200200原料单价原料单价原料单价原料单价( (元件元件元件元件) )0.250.250.350.350.50.5销售单价销售单价销售单价销售单价( (元件元件元件元件) )1.251.252 22.82.82323解：设解：设解：设解：设X Xijkijk表示第表示第表示第表示第i i种产品在第种产品在第种产品在第种产品在第j j种工序上种工序上种工序上种工序上(A(A工序用工序用工序用工序用1 1表示，表示，表示，表示，B B工序用工序用工序用工序用2 2表示表示表示表示) )的第的第的第的第k k种设备上加工的数量。如种设备上加工的数量。如种
49、设备上加工的数量。如种设备上加工的数量。如x x123123表示第表示第表示第表示第 种产品在种产品在种产品在种产品在B B道工道工道工道工序上用序上用序上用序上用B B3 3设备加工的数量。则约束设备加工的数量。则约束设备加工的数量。则约束设备加工的数量。则约束5x5x111111+10x+10x21121160006000， ( (设备设备设备设备A A1 1) )7x7x112112+9x+9x212212+12x+12x3123121000010000，( (设备设备设备设备A A2 2) )6x6x121121+8x+8x22122140004000， ( (设备设备设备设备B B1
50、 1) )， 4x4x122122+11x+11x3223227000(7000(设备设备设备设备B B2 2),),7x7x1231234000(4000(设备设备设备设备B B3 3) )设设备备产品单件工时产品单件工时产品单件工时产品单件工时设备的设备的设备的设备的有效台有效台有效台有效台时时时时满负荷时满负荷时满负荷时满负荷时的设备费的设备费的设备费的设备费用用用用 A A1 15,X5,X11111110,10,X X21121160006000300300A A2 27,X7,X1121129, 9,X X21221212,12,X X3123121000010000321321B
51、 B1 16, 6,X X1211218, 8,X X22122140004000250250B B2 24, 4,X X12212211,11,X X32232270007000783783B B3 37, 7,X X123123400040002002002424设设设设X Xijkijk表示第表示第表示第表示第i i种产品在第种产品在第种产品在第种产品在第j j种工序上种工序上种工序上种工序上(A(A工序用工序用工序用工序用1 1表示，表示，表示，表示，B B工序用工序用工序用工序用2 2表表表表示示示示) )的第的第的第的第k k种设备上加工的数量。恒等约束：种设备上加工的数量。恒等约
52、束：种设备上加工的数量。恒等约束：种设备上加工的数量。恒等约束：X X111111+X+X112112-X-X121121-X-X122122XX123123=0=0，( (产品在产品在产品在产品在A A、B B工序上加工的数工序上加工的数工序上加工的数工序上加工的数量相等量相等量相等量相等) )XX211211+X+X212212-X-X221221=0,(=0,(产品在产品在产品在产品在A A、B B工序上加工的数量相等工序上加工的数量相等工序上加工的数量相等工序上加工的数量相等) )XX312312-X-X322322=0,(=0,(产品在产品在产品在产品在A A、B B工序上加工的数量
53、相等工序上加工的数量相等工序上加工的数量相等工序上加工的数量相等)设设备备产品单件工时产品单件工时产品单件工时产品单件工时设备的设备的设备的设备的有效台有效台有效台有效台时时时时满负荷时满负荷时满负荷时满负荷时的设备费的设备费的设备费的设备费用用用用 A A1 15,X5,X11111110,10,X X21121160006000300300A A2 27,X7,X1121129, 9,X X21221212,12,X X3123121000010000321321B B1 16, 6,X X1211218, 8,X X22122140004000250250B B2 24, 4,X X12
54、212211,11,X X32232270007000783783B B3 37, 7,X X12312340004000200200应该是应该是0才合理才合理2525设设设设备备备备 产品单件工时产品单件工时产品单件工时产品单件工时设备的有设备的有设备的有设备的有效台时效台时效台时效台时满负荷时的满负荷时的满负荷时的满负荷时的设备费用设备费用设备费用设备费用 A A1 15,X5,X11111110,10,X X21121160006000300300A A2 27,X7,X1121129, 9,X X21221212,12,X X3123121000010000321321B B1 16,
55、 6,X X1211218, 8,X X22122140004000250250B B2 24, 4,X X12212211,11,X X32232270007000783783B B3 37, 7,X X12312340004000200200原料单价原料单价原料单价原料单价( (元件元件元件元件) )0.250.250.350.350.50.5销售单价销售单价销售单价销售单价( (元件元件元件元件) )1.251.252 22.82.8应该是应该是1.25(X121+X122+X123)-0.25(X111+X112)才合才合理。理。2626设设设设备备备备 产品单件工时产品单件工时产品单
56、件工时产品单件工时设备的有设备的有设备的有设备的有效台时效台时效台时效台时满负荷时的满负荷时的满负荷时的满负荷时的设备费用设备费用设备费用设备费用 A A1 15,X5,X11111110,10,X X21121160006000300300A A2 27,X7,X1121129, 9,X X21221212,12,X X3123121000010000321321B B1 16, 6,X X1211218, 8,X X22122140004000250250B B2 24, 4,X X12212211,11,X X32232270007000783783B B3 37, 7,X X12312
57、34000400020020027275x5x111111+10x+10x21121160006000， ( (设备设备设备设备A A1 1) )7x7x112112+9x+9x212212+12x+12x3123121000010000，( (设备设备设备设备A A2 2) )6x6x121121+8x+8x22122140004000， ( (设备设备设备设备B B1 1) )，4x4x122122+11x+11x3223227000(7000(设备设备设备设备B B2 2),),7x7x1231234000(4000(设备设备设备设备B B3 3) )X X111111+X+X11211
58、2-X-X121121-X-X122122XX123123=0=0，( (产品在产品在产品在产品在A A、B B工序上加工序上加工序上加工序上加工的数量相等工的数量相等工的数量相等工的数量相等) )XX211211+X+X212212-X-X221221=0,(=0,(产品在产品在产品在产品在A A、B B工序上加工的数量工序上加工的数量工序上加工的数量工序上加工的数量相等相等相等相等) )XX312312-X-X322322=0,(=0,(产品在产品在产品在产品在A A、B B工序上加工的数量相等工序上加工的数量相等工序上加工的数量相等工序上加工的数量相等)2828模型模型 将模型输入计算机
59、x111=1200，x112=230.0492，X211=0，X212=500，X312=324.138，X121=0，X221=500，X122=858.6206，X322=324.138，X123=571.4286,最优值为最优值为1146.6。2929由于本题要求的决策变量的单位是件，所以答由于本题要求的决策变量的单位是件，所以答案应该是整数。本题与例案应该是整数。本题与例1、例、例2、例、例3实质上都实质上都是整数规划的问题，但是这类问题可以作为线性是整数规划的问题，但是这类问题可以作为线性规划的问题来解，有些如例规划的问题来解，有些如例1，例，例2，例，例3的答案的答案都是整数，而有
60、些如本题答案是非整数，可以将都是整数，而有些如本题答案是非整数，可以将答案舍入成整数也可能得到满意的结果。如本题答案舍入成整数也可能得到满意的结果。如本题如果用软件的整数规划的来解，得到的答案为如果用软件的整数规划的来解，得到的答案为x111=1200，x112=230，X211=0，X212=500，X312=324，X121=0，X221=500，X122=859，X322=324，X123=571.最优值为最优值为1146.3622。其最优解。其最优解正好与四舍五入线性规划结果一样的。两种方法正好与四舍五入线性规划结果一样的。两种方法的最优值也相差无几，只差的最优值也相差无几，只差0.3
61、元。元。3030 本问题最优的方案为生产本问题最优的方案为生产本问题最优的方案为生产本问题最优的方案为生产 产品产品产品产品14301430件件件件（X X111111+X+X112112=1200+230=X=1200+230=X121121+X+X122122+X+X123123=0+859+571=1430)=0+859+571=1430)， 产品第产品第产品第产品第A A道工序由道工序由道工序由道工序由A A1 1设备加工设备加工设备加工设备加工12001200件，由件，由件，由件，由A A2 2设备加工设备加工设备加工设备加工230230件。件。件。件。 产品的第产品的第产品的第产品
62、的第B B道工序由道工序由道工序由道工序由B B2 2设备加工设备加工设备加工设备加工859859件，由件，由件，由件，由B B3 3设备加工设备加工设备加工设备加工571571件。件。件。件。生产生产生产生产产品产品产品产品500500件，它的第件，它的第件，它的第件，它的第A A道工序全部由道工序全部由道工序全部由道工序全部由A A2 2设备加工，它的设备加工，它的设备加工，它的设备加工，它的第第第第B B道工序全部由道工序全部由道工序全部由道工序全部由B B1 1设备加工。设备加工。设备加工。设备加工。X X212212=X=X221221=500=500。生产生产生产生产产品产品产品产
63、品324324件，其第件，其第件，其第件，其第A A道工序全部由道工序全部由道工序全部由道工序全部由A A2 2加工，其第加工，其第加工，其第加工，其第B B道工道工道工道工序全部由序全部由序全部由序全部由B B2 2设备加工，设备加工，设备加工，设备加工，X X312312=X=X322322=324=324，这样能使工厂获得最大利这样能使工厂获得最大利这样能使工厂获得最大利这样能使工厂获得最大利润润润润1146.31146.3元。元。元。元。生产数量生产数量生产数量生产数量 A A1 1X X111111=1200=1200X X211211=0=0A A2 2X X112112=230=
64、230X X212212=500=500X X312312=324=324B B1 1X X121121=0=0X X221221=500=500B B2 2X X122122=859=859X X322322=324=324B B3 3X X123123= = 5715713131如果分别按实际产品和原材料来计算则有：如果分别按实际产品和原材料来计算则有：Maxz=-0.5x111-0.6352x112-0.85x211-0.6389x212-Maxz=-0.5x111-0.6352x112-0.85x211-0.6389x212-0.8852x312+0.875x121+0.8024x12
65、2+0.9x123+1.5x221+1.0.8852x312+0.875x121+0.8024x122+0.9x123+1.5x221+1.5691x3225691x3225x5x111111+10x+10x21121160006000， ( (设备设备设备设备A A1 1) )7x7x112112+9x+9x212212+12x+12x3123121000010000，( (设备设备设备设备A A2 2) )6x6x121121+8x+8x22122140004000， ( (设备设备设备设备B B1 1) )，4x4x122122+11x+11x3223227000(7000(设备设备设备
66、设备B B2 2),),7x7x1231234000(4000(设备设备设备设备B B3 3) )X X111111+X+X112112-X-X121121-X-X122122XX12312300，( (产品在产品在产品在产品在A A工序加工的工序加工的工序加工的工序加工的数量大于数量大于数量大于数量大于B B加工的数量加工的数量加工的数量加工的数量) )XX211211+X+X212212-X-X2212210,(0,(产品在产品在产品在产品在A A工序上加工数量天于工序上加工数量天于工序上加工数量天于工序上加工数量天于B B的数量的数量的数量的数量) )XX312312-X-X322322
67、0,(0,(产品在产品在产品在产品在A A工序上加工的数量大于工序上加工的数量大于工序上加工的数量大于工序上加工的数量大于B)B)3232结果如下：结果如下：本问题最优的方案为生产本问题最优的方案为生产本问题最优的方案为生产本问题最优的方案为生产 产品产品产品产品12001200件件件件（X X111111+X+X112112=1200+0=X=1200+0=X121121+X+X122122+X+X123123=0+628.572+571.428=1200)=0+628.572+571.428=1200)， 产品第产品第产品第产品第A A道工序由道工序由道工序由道工序由A A1 1设备加工设
68、备加工设备加工设备加工12001200件，由件，由件，由件，由A A2 2设备加工设备加工设备加工设备加工0 0件。件。件。件。 产品的第产品的第产品的第产品的第B B道工序由道工序由道工序由道工序由B B2 2设备加工设备加工设备加工设备加工628.572628.572件，由件，由件，由件，由B B3 3设备加工设备加工设备加工设备加工571.428571.428件。件。件。件。生产生产生产生产产品产品产品产品500500件，它的第件，它的第件，它的第件，它的第A A道工序全部由道工序全部由道工序全部由道工序全部由A A2 2设备加设备加设备加设备加工，它的第工，它的第工，它的第工，它的第B
69、 B道工序全部由道工序全部由道工序全部由道工序全部由B B1 1设备加工。设备加工。设备加工。设备加工。X X212212=X=X221221=500=500。生产生产生产生产产品产品产品产品324324件，其第件，其第件，其第件，其第A A道工序全部由道工序全部由道工序全部由道工序全部由A A2 2加工，其加工，其加工，其加工，其第第第第B B道工序全部由道工序全部由道工序全部由道工序全部由B B2 2设备加工，设备加工，设备加工，设备加工，X X312312=X=X322322=407.79=407.79，这样这样这样这样能使工厂获得最大利润能使工厂获得最大利润能使工厂获得最大利润能使工厂
70、获得最大利润1128.0911128.091元。比上方法要少。此元。比上方法要少。此元。比上方法要少。此元。比上方法要少。此法合理。法合理。法合理。法合理。3333补充例题、红红星星塑塑料料厂厂生生产产6种种规规格格的的塑塑料料容容器器，每每种种容容器器的的容容量量（cm3）,需需求求量量及及可可变变费费用用（元元/件件）如如下下表表所所示示。每每种种容容器器分分别别用用不不同同专专用用设设备备生生产产，其其固固定定费费用用均均为为1200元元。当当某某种种容容器器数数量量上上不不能能满满足足需需要要时时，可可用用容容量量大大的的代代替替(不不能能用用容容量量小小代代替替)。问问在在满满足足需
71、需求求情情况况下下，该该生生产哪些容器，才能使总费用为最小。产哪些容器，才能使总费用为最小。容器代号容器代号容器代号容器代号1 12 23 34 45 56 6容容容容量量量量/ /cmcm3 31500150025002500400040006000600090009000120012000 0需求量需求量需求量需求量500500550550700700900900400400300300可可可可变变变变费费费费用用用用（元（元（元（元/ /件）件）件）件）5 58 810101212161618183434 现现现现在在在在根根根根据据据据题题题题目目目目要要要要求求求求列列列列出出出出模
72、模模模型型型型二二二二个个个个，其其其其中中中中有有有有一一一一个个个个模模模模型型型型是是是是正确的，请指出对的模型，并指出另一个模型错误之处。正确的，请指出对的模型，并指出另一个模型错误之处。正确的，请指出对的模型，并指出另一个模型错误之处。正确的，请指出对的模型，并指出另一个模型错误之处。模模模模型型型型一一一一：设设设设X Xi i为为为为第第第第i i种种种种容容容容器器器器生生生生产产产产的的的的数数数数量量量量，Y Yi i取取取取值值值值为为为为当当当当生生生生产产产产第第第第i i种容器时取种容器时取种容器时取种容器时取1 1，否则取，否则取，否则取，否则取0. 0. 则则则
73、则minZ=1200YminZ=1200Y1 1+1200Y+1200Y2 2+1200Y+1200Y3 3+1200Y+1200Y4 4+1200Y+1200Y5 5+1200Y+1200Y6 6+5X+5X1 1+8X+8X2 2+10X+10X3 3+12X+12X4 4+16X+16X5 5+18X+18X6 6st stXX1 1500500XX1 1+X+X2 210501050XX1 1+X+X2 2+X+X3 317501750XX1 1+X+X2 2+X+X3 3+X+X4 426502650XX1 1+X+X2 2+X+X3 3+X+X4 4+X+X5 530503050X
74、X1 1+X+X2 2+X+X3 3+X+X4 4+X+X5 5+X+X6 6=3350=3350 X Xi iMYMYi i, , X Xi i0,0,（i=1,2,6i=1,2,6）, ,MM为为为为一一一一个个个个适适适适当当当当大大大大的的的的数。数。数。数。 Y Yi i为为为为0-10-1变量变量变量变量,(i=1,2,3),(i=1,2,3)3535模型二：模型二：模型二：模型二：设设设设X Xi i为第为第为第为第i i种容器生产的数量，种容器生产的数量，种容器生产的数量，种容器生产的数量， 则则则则minZ=1200YminZ=1200Y1 1+1200Y+1200Y2 2+
75、1200Y+1200Y3 3+1200Y+1200Y4 4+1200Y+1200Y5 5+1200Y+1200Y6 6+5X+5X1 1+8X+8X2 2+10X+10X3 3+12X+12X4 4+16X+16X5 5+18X+18X6 6st stXX6 6300300XX5 5+X+X6 6700700XX4 4+X+X5 5+X+X6 616001600XX3 3+X+X4 4+X+X5 5+X+X6 623002300XX2 2+X+X3 3+X+X4 4+X+X5 5+X+X6 628502850XX1 1+X+X2 2+X+X3 3+X+X4 4+X+X5 5+X+X6 6=33
76、50=3350 X Xi iMYMYi i, , Xi0,Xi0,（i=1,2,6i=1,2,6）, ,MM为为为为一一一一个个个个适适适适当当当当大大大大的的的的数。数。数。数。 Y Yi i为为为为0-10-1变量变量变量变量,(I=1,2,3),(I=1,2,3) 模型二对。模型二对。模型二对。模型二对。3636 某工厂要做某工厂要做某工厂要做某工厂要做100100套钢架，每套用长为套钢架，每套用长为套钢架，每套用长为套钢架，每套用长为2.9m2.9m，2.1m2.1m和和和和1.5m1.5m的圆钢各一根。已知原料每根长的圆钢各一根。已知原料每根长的圆钢各一根。已知原料每根长的圆钢各一根
77、。已知原料每根长7.4m7.4m，问问问问应如何下料，可使所用原料最省。应如何下料，可使所用原料最省。应如何下料，可使所用原料最省。应如何下料，可使所用原料最省。F解：最简单的做法是，在每根原材料上截取解：最简单的做法是，在每根原材料上截取解：最简单的做法是，在每根原材料上截取解：最简单的做法是，在每根原材料上截取2.9m2.9m、2.1m2.1m和和和和1.5m1.5m的圆钢各一根组成一套，每根原材料省下料的圆钢各一根组成一套，每根原材料省下料的圆钢各一根组成一套，每根原材料省下料的圆钢各一根组成一套，每根原材料省下料头头头头0.9m0.9m。为了做为了做为了做为了做100100套钢架，需要
78、原材料套钢架，需要原材料套钢架，需要原材料套钢架，需要原材料100100根，共有根，共有根，共有根，共有90m90m的料头。若改用套裁可以节约不少原材料，为了找的料头。若改用套裁可以节约不少原材料，为了找的料头。若改用套裁可以节约不少原材料，为了找的料头。若改用套裁可以节约不少原材料，为了找到一个省料的套裁方案，先设计出较好的几个下料方案，到一个省料的套裁方案，先设计出较好的几个下料方案，到一个省料的套裁方案，先设计出较好的几个下料方案，到一个省料的套裁方案，先设计出较好的几个下料方案，所谓较好，第一要求每个方案下料后的料头较短，第二所谓较好，第一要求每个方案下料后的料头较短，第二所谓较好，第
79、一要求每个方案下料后的料头较短，第二所谓较好，第一要求每个方案下料后的料头较短，第二要求这些方案的总体能裁下所有各种规格的圆钢，并且要求这些方案的总体能裁下所有各种规格的圆钢，并且要求这些方案的总体能裁下所有各种规格的圆钢，并且要求这些方案的总体能裁下所有各种规格的圆钢，并且不同方案有着不同的各种所需圆钢的比。不同方案有着不同的各种所需圆钢的比。不同方案有着不同的各种所需圆钢的比。不同方案有着不同的各种所需圆钢的比。这样套裁才能这样套裁才能这样套裁才能这样套裁才能满足对各种不同规格圆钢的需要并达到省料的目的。为满足对各种不同规格圆钢的需要并达到省料的目的。为满足对各种不同规格圆钢的需要并达到省
80、料的目的。为满足对各种不同规格圆钢的需要并达到省料的目的。为此设计出以下此设计出以下此设计出以下此设计出以下5 5种下料方案以供套裁用。见表种下料方案以供套裁用。见表种下料方案以供套裁用。见表种下料方案以供套裁用。见表4545。例例例例5 54.3、套裁下料问题、套裁下料问题3737表表45。下料数下料数方案方案（根）（根）长度长度2.9120102.1002211.531203合计合计7.47.37.27.16.6料头料头00.10.20.30.8其它方案的料头较多，不考虑，如其它方案的料头较多，不考虑，如其它方案的料头较多，不考虑，如其它方案的料头较多，不考虑，如1 1根根根根2.9,12
81、.9,1根根根根2.1,12.1,1根根根根1.5,1.5,料头为料头为料头为料头为0.90.9mm3838 解：解：为了用最少的原材料得到为了用最少的原材料得到100套钢架，需要套钢架，需要混合使用上述五种下料方案，设按混合使用上述五种下料方案，设按I，V方案下料的原材料根数分别为方案下料的原材料根数分别为x1，x2，x3，x4，x5，可列出下面的数学模型。可列出下面的数学模型。目标函数：目标函数：minX1+X2+X3+X4+X5约束条件：约束条件：X1+2X2+X4100，2X3+2X4+X5100，3X1+X2+2X3+3X5100，X1，X2，X3，X4，X50上机计算得到如下最优下
82、料方案：按上机计算得到如下最优下料方案：按方案下方案下料料30根；按根；按方案下料方案下料10根，按根，按方案下料方案下料50根根(即即x1=30，x2=10，x3=0，x4=50，x5=0)，只需只需90根原材料根原材料(即目标函数最小值为即目标函数最小值为90)即可制造即可制造100套钢架。套钢架。3939思考如果只取方思考如果只取方思考如果只取方思考如果只取方案前四个或前三案前四个或前三案前四个或前三案前四个或前三个或再增加其它个或再增加其它个或再增加其它个或再增加其它方案，结果如何方案，结果如何方案，结果如何方案，结果如何？4040其它方案列表（不是所有）其它方案列表（不是所有）(P4
83、6-5b)12345678910111213142.9120101100000002.1002211032100001.531203120124321合计合计7.47.37.27.16.66.55.96.35.75.164.531.5料头料头00.10.20.30.80.91.51.11.72.31.44.44.45.9minXminX1 1+X+X2 2+X+X3 3+X+X4 4+ + X X5 5+X+X6 6+X+X7 7+X+X8 8+X+X9 9+X+X1010+X+X1111+X+X1212+X+X1313+X+X1414约束条件：约束条件：约束条件：约束条件：X X1 1+2X
84、+2X2 2+X+X4 4 +X+X6 6+X+X7 7100100，2X2X3 3+ + 2X2X4 4+X+X5 5+X+X6 6+3X+3X8 8+2X+2X9 9+X+X1010100100， 3X3X1 1+X+X2 2+2X+2X3 3+3X+3X5 5+X+X6 6+2X+2X7 7+X+X9 9+2X+2X1010+4X+4X1111+3X+3X1212+2X+2X1313+X+X14141001004141模型模型 将模型输入计算机解为：目标函数值解为：目标函数值=90,x1=0,x2=40,x3=30,x4=20,其其它它x为为0。从这里看出模型有。从这里看出模型有多个解。
85、料头多的方案一般多个解。料头多的方案一般为为0。4242M 注意！注意！ 在建立此数学模型时，在建立此数学模型时，在建立此数学模型时，在建立此数学模型时，约束条件用大于等于约束条件用大于等于约束条件用大于等于约束条件用大于等于号比用等于号要好号比用等于号要好号比用等于号要好号比用等于号要好。因为有时在套用一些下料方。因为有时在套用一些下料方。因为有时在套用一些下料方。因为有时在套用一些下料方案时可能会多出一根某种规格的圆钢，但它可能案时可能会多出一根某种规格的圆钢，但它可能案时可能会多出一根某种规格的圆钢，但它可能案时可能会多出一根某种规格的圆钢，但它可能是最优方案。如果用等于号，这个套用方案
86、就不是最优方案。如果用等于号，这个套用方案就不是最优方案。如果用等于号，这个套用方案就不是最优方案。如果用等于号，这个套用方案就不是可行解了。是可行解了。是可行解了。是可行解了。约束条件用大于等于号时，目标函数本来求约束条件用大于等于号时，目标函数本来求约束条件用大于等于号时，目标函数本来求约束条件用大于等于号时，目标函数本来求所用原材料最少和求料头最少是一样的，但由于所用原材料最少和求料头最少是一样的，但由于所用原材料最少和求料头最少是一样的，但由于所用原材料最少和求料头最少是一样的，但由于在第一个下料方案中料头为零，无论按第一下料在第一个下料方案中料头为零，无论按第一下料在第一个下料方案中
87、料头为零，无论按第一下料在第一个下料方案中料头为零，无论按第一下料方案下多少根料，料头都为零，也就是说不管第方案下多少根料，料头都为零，也就是说不管第方案下多少根料，料头都为零，也就是说不管第方案下多少根料，料头都为零，也就是说不管第一下料方案下料是一下料方案下料是一下料方案下料是一下料方案下料是200200根还是根还是根还是根还是150150都可使目标函数都可使目标函数都可使目标函数都可使目标函数值达到最小，这显然不合理。所以目标函数就一值达到最小，这显然不合理。所以目标函数就一值达到最小，这显然不合理。所以目标函数就一值达到最小，这显然不合理。所以目标函数就一定要求原材料最少。如果所有方案
88、料头都不为零，定要求原材料最少。如果所有方案料头都不为零，定要求原材料最少。如果所有方案料头都不为零，定要求原材料最少。如果所有方案料头都不为零，则可用料头作为最小值函数变量。则可用料头作为最小值函数变量。则可用料头作为最小值函数变量。则可用料头作为最小值函数变量。4343 某某某某工工工工厂厂厂厂要要要要用用用用三三三三种种种种原原原原料料料料1 1，2 2，3 3混混混混合合合合调调调调配配配配出出出出三三三三种种种种不不不不同同同同规规规规格格格格的的的的产产产产品品品品甲甲甲甲、乙乙乙乙、丙丙丙丙，已已已已知知知知产产产产品品品品的的的的规规规规格格格格要要要要求求求求、产产产产品品品
89、品的的的的单单单单价价价价、每每每每天天天天能能能能供供供供应应应应的的的的原原原原材材材材料料料料数数数数量量量量及及及及原原原原材材材材料料料料单单单单价价价价，分分分分别别别别见见见见表表表表4-64-6和和和和表表表表4747。该该该该厂厂厂厂应应应应如如如如何何何何安安安安排排排排生生生生产产产产，使利润收入为最大使利润收入为最大使利润收入为最大使利润收入为最大? ? 产品名称产品名称产品名称产品名称 规格要求规格要求规格要求规格要求 单价单价单价单价( (元千克元千克元千克元千克) ) 甲甲甲甲原材料原材料原材料原材料1 1不少于不少于不少于不少于5050，原材料原材料原材料原材料
90、2 2不超过不超过不超过不超过25255050 乙乙乙乙原材料原材料原材料原材料1 1不少于不少于不少于不少于2525， 原材料原材料原材料原材料2 2不超过不超过不超过不超过5050 3535丙丙丙丙 不限不限不限不限2525表表表表4-64-6 现在讲第四个问题 ：4.4配料问题例例例例6 64444解：设解：设解：设解：设x xij ij表示表示表示表示第第第第i i种产品中原材料种产品中原材料种产品中原材料种产品中原材料j j的含量的含量的含量的含量( (分别用分别用分别用分别用 产品产品产品产品1 1，2 2，3 3表示产品甲、乙、丙表示产品甲、乙、丙表示产品甲、乙、丙表示产品甲、乙
91、、丙) )。例如。例如。例如。例如x x2323就表就表就表就表示乙产品中第示乙产品中第示乙产品中第示乙产品中第3 3种原材料的含量，目标是使利润种原材料的含量，目标是使利润种原材料的含量，目标是使利润种原材料的含量，目标是使利润 最大，利润的计算公式如下：最大，利润的计算公式如下：最大，利润的计算公式如下：最大，利润的计算公式如下： 原材料名称原材料名称原材料名称原材料名称 每天最多供应量每天最多供应量每天最多供应量每天最多供应量 单价（元单价（元单价（元单价（元/ /千千千千克）克）克）克）1 110010065652 210010025253 3606035354545由表由表4-6得到
92、：得到： X110.5(X11+X12+X13)，(甲中原料甲中原料1占甲占甲产品数量不少于产品数量不少于50%.)X120.25(X11+X12+X13)X210.25(X21+X22+X23)X220.5(X21+X22+X23)由表由表4-5得到：得到：X11+X21+X31100X12+X22+X32100X13+X23+X33604646得问题模型如下得问题模型如下(必须整理后上机求解）：必须整理后上机求解）：4747模型模型 将模型输入计算机解为：解为：解为：解为：x x1111=100=100，x x1212=50,x=50,x1313=50=50，其余的其余的其余的其余的x x
93、ij ij=0=0，也就是说每天也就是说每天也就是说每天也就是说每天只生产甲产品只生产甲产品只生产甲产品只生产甲产品200200千克，分别需千克，分别需千克，分别需千克，分别需要用要用要用要用1 1原料原料原料原料100100千克，千克，千克，千克，2 2原料原料原料原料5050千千千千克，克，克，克，3 3原料原料原料原料5050千克。其它乙、丙千克。其它乙、丙千克。其它乙、丙千克。其它乙、丙产品不生产。目标函数值产品不生产。目标函数值产品不生产。目标函数值产品不生产。目标函数值=500=500元元元元4848 VARIABLEVALUEREDUCEDVARIABLEVALUEREDUCED
94、COSTCOSTX11100.0000000.000000X11100.0000000.000000X1250.0000000.000000X1250.0000000.000000X1350.0000000.000000X1350.0000000.000000X210.00000015.000000X210.00000015.000000X220.0000000.000000X220.0000000.000000X310.00000045.000000X310.00000045.000000X330.00000010.000000X330.00000010.000000X230.0000000
95、.000000X230.0000000.000000X320.0000000.000000X320.0000000.000000从相差值中可看出：只有当从相差值中可看出：只有当从相差值中可看出：只有当从相差值中可看出：只有当X X2121的系数从的系数从的系数从的系数从-30-30增加增加增加增加1515元则元则元则元则乙产品才生产，只有当乙产品才生产，只有当乙产品才生产，只有当乙产品才生产，只有当X X3131和和和和X X3333的系数分别从的系数分别从的系数分别从的系数分别从-40-40增加增加增加增加4545元和从元和从元和从元和从-10-10增加增加增加增加1010元则丙产品才生产，
96、元则丙产品才生产，元则丙产品才生产，元则丙产品才生产，4949 汽油混合问题。汽油混合问题。一种汽油的特性可用两种指标描述，用一种汽油的特性可用两种指标描述，用“辛烷数辛烷数”来定量描述其点火性，用来定量描述其点火性，用“蒸汽蒸汽压力压力”来定量描述其挥发性。某炼油厂有来定量描述其挥发性。某炼油厂有1，2，3，4种标准汽油，其特性和库存量列种标准汽油，其特性和库存量列于表于表48中，将这四种标准汽油混合，可得中，将这四种标准汽油混合，可得到标号为到标号为1，2的两种飞机汽油，这两种飞机的两种飞机汽油，这两种飞机汽油的性能指标及产量需求列于表汽油的性能指标及产量需求列于表49中。中。问应如何根据
97、库存情况适量混合各种标准汽问应如何根据库存情况适量混合各种标准汽油，既满足飞机汽油的性能指标，又使油，既满足飞机汽油的性能指标，又使2号号飞机汽油满足需求，并使得飞机汽油满足需求，并使得1号飞机汽油产号飞机汽油产量最高。量最高。例例75050设设Xij为为飞机汽油飞机汽油i中所用标准汽油中所用标准汽油j的数量，这的数量，这样可知样可知X11+X12+X13+X14为飞机汽油为飞机汽油1总产量，总产量，总产量越多越好，所以有目标函数为总产量越多越好，所以有目标函数为maxX11+X12+X13+X14约束条件之一：约束条件之一：X21+X22+X23+X24250000飞机汽油飞机汽油飞机汽油飞
98、机汽油 辛烷数辛烷数辛烷数辛烷数 蒸汽压力蒸汽压力蒸汽压力蒸汽压力( (g gcmcm2 2) )产量需求产量需求产量需求产量需求( (L)L)1 1不不不不小于小于小于小于9191不大于不大于不大于不大于9.96109.9610-2-2越多越好越多越好越多越好越多越好2 2不小于不小于不小于不小于100100不大于不大于不大于不大于9.96109.9610-2-2不少于不少于不少于不少于250000250000表表4-95151表表4-8:得到有关库存量和产量指标的约束条件：得到有关库存量和产量指标的约束条件：X11+X21380000,X12+X22265200,X13+X23408100
99、,X14+X24130100,Xij0. 标准汽油标准汽油标准汽油标准汽油 辛烷数辛烷数辛烷数辛烷数 蒸汽压力蒸汽压力蒸汽压力蒸汽压力( (s scm2)cm2) 库存量库存量库存量库存量( (L)L)1 1107.5107.57.11107.1110-2-23800003800002 2939311.381011.3810-2-22652002652003 387875.69105.6910-2-24081004081004 410810828.451028.4510-2-21301001301005252下面再列出有关辛烷数和蒸汽压力的约束条件下面再列出有关辛烷数和蒸汽压力的约束条件下面再
100、列出有关辛烷数和蒸汽压力的约束条件下面再列出有关辛烷数和蒸汽压力的约束条件: : 物物物物理理理理中中中中的的的的“ “分分分分压压压压定定定定律律律律” ”可可可可叙叙叙叙述述述述如如如如下下下下：“ “设设设设有有有有一一一一种种种种混混混混合合合合气气气气体体体体，由由由由n n种种种种气气气气体体体体组组组组成成成成。设设设设混混混混合合合合气气气气体体体体的的的的压压压压力力力力为为为为P P，所所所所占占占占总总总总容容容容积积积积为为为为V V，各各各各组组组组成成成成成成成成分分分分的的的的压压压压力力力力及及及及其其其其所所所所占占占占容容容容积积积积分分分分别别别别为为为为
101、p p1 1,p pn n，及及及及v v1 1,v vn n, ,，则则则则PV=PV=p pj j v vj j” ”。用用用用此此此此分分分分压压压压定定定定律律律律可写出有关蒸汽压力的约束条件。可写出有关蒸汽压力的约束条件。可写出有关蒸汽压力的约束条件。可写出有关蒸汽压力的约束条件。飞飞飞飞 机机机机 汽汽汽汽 油油油油 1 1的的的的 蒸蒸蒸蒸 汽汽汽汽 压压压压 力力力力 不不不不 能能能能 大大大大 于于于于 9.96109.9610-2,-2,， 即即即即 有有有有 : :5353同样，可以得到有关飞机汽油同样，可以得到有关飞机汽油2的蒸汽的蒸汽压力的约束条件为：压力的约束条件
102、为：2.85x21-1.42x22+4.27x23-18.40x240.5454同样可以写有关辛烷数的约束条件，对于飞机汽油同样可以写有关辛烷数的约束条件，对于飞机汽油同样可以写有关辛烷数的约束条件，对于飞机汽油同样可以写有关辛烷数的约束条件，对于飞机汽油1 1有：有：有：有：(107.5x(107.5x1111+93x+93x1212+87x+87x1313+108x+108x1414)/(x)/(x1111+x+x1212+x+x1313+x+x1414)91.)91. 经整理得：经整理得：经整理得：经整理得： 16.5x16.5x1111+2x+2x1212-4x-4x1313+17x+
103、17x14140.0. 对于飞机汽油对于飞机汽油对于飞机汽油对于飞机汽油2 2有：有：有：有： 7.5x7.5x2121-7x-7x2222-13x-13x2323+8x+8x24240.0.综上所述得到此问题的数学模型综上所述得到此问题的数学模型综上所述得到此问题的数学模型综上所述得到此问题的数学模型 : : 标准汽油标准汽油标准汽油标准汽油 辛烷数辛烷数辛烷数辛烷数 蒸汽压力蒸汽压力蒸汽压力蒸汽压力( (s scm2)cm2)1 1107.5107.57.11107.1110-2-22 2939311.381011.3810-2-23 387875.69105.6910-2-24 4108
104、10828.451028.4510-2-25555目标函数：目标函数：目标函数：目标函数：maxXmaxX1111+X+X1212+X+X1313+X+X1414 约束条件：约束条件：约束条件：约束条件：X X2121+X+X2222+X+X2323+X+X2424250000,250000,XX1111+X+X2121380000,380000,XX1212+X+X2222265200,265200,XX1313+X+X2323408100,408100,XX1414+X+X2424130100,130100,2.85X2.85X1111-1.42X-1.42X1212+4.27X+4.27
105、X1313-18.49X-18.49X14140.0.2.85X2.85X2121-1.42X-1.42X2222+4.27X+4.27X2323-18.40X-18.40X24240.0.16.5X16.5X1111+2X+2X1212-4X-4X1313+17X+17X14140.0.7.5X7.5X2121-7X-7X2222-13X-13X2323+8X+8X24240.0.X Xij ij00。数学模型：数学模型：5656模型模型 将模型输入计算机X X1111=261966.078=261966.078， X X1212=265200=265200，x x1313=315672.2
106、19=315672.219，XX1414=90561.688=90561.688，XX2121=118033.906=118033.906，XX2222=0=0，XX2323=92427.758=92427.758，XX2424=39538.309=39538.309，最优值最优值最优值最优值=933399.938=933399.938。5757结论：结论：表表明明用用1号号标标准准汽汽油油261966.078升升，2号号标标准准汽汽油油265200升升，3号号标标准准汽汽油油315672.219升升，4号号标标准准汽汽油油90561.688升升，混混合合成成933399.938升升1号号飞飞
107、机机汽汽油油；用用1号号标标准准汽汽油油118033.906升升，2号号标标准准汽汽油油零零升升，3号号标标准准汽汽油油92427.758升升，4号号标标准准汽汽油油39538.309升升混混合合成成250000升升2号号飞飞机机汽汽油油，这这是是既既满满足足需需求求，又又使使1号号汽汽油油的的产产量量为为最最高高的的最优方案。最优方案。58581、此模型有多组解，如用、此模型有多组解，如用lindo软件算得：软件算得：目标值目标值=933400.0X11=163529.40625,X12=265200,X13=408100,X14=96570.585938,X21=216470.59375,
108、X22=0,X23=0,X24=33529.410156.2、目标函数也可设为：（加上飞机汽油目标函数也可设为：（加上飞机汽油2的的产量）产量）maxX11+X12+X13+X14+X21+X22+X23+X24约束条件不变。最优值是一样，目标值约束条件不变。最优值是一样，目标值=118340,减去飞机汽油减去飞机汽油2的产量的产量250000升，结果是一样的升，结果是一样的。注解注解5959 某某某某部部部部门门门门现现现现有有有有资资资资金金金金200200万万万万元元元元，今今今今后后后后五五五五年年年年内内内内考考考考虑虑虑虑给给给给以以以以下下下下的的的的项项项项目目目目投投投投资资
109、资资，已已已已知知知知项项项项目目目目A A：从从从从第第第第一一一一年年年年到到到到第第第第五五五五年年年年每每每每年年年年年年年年初初初初都都都都可可可可投投投投资资资资，当当当当年年年年末末末末能能能能收收收收回回回回本本本本利利利利110110。项项项项目目目目B B：从从从从第第第第一一一一年年年年到到到到第第第第三三三三年年年年每每每每年年年年年年年年初初初初都都都都可可可可以以以以投投投投资资资资，次次次次年年年年末末末末回回回回收收收收本本本本利利利利125125，但但但但规规规规定定定定每每每每年年年年最最最最大大大大投投投投资资资资额额额额不不不不能能能能超超超超过过过过3
110、030万万万万元元元元。项项项项目目目目C C：第第第第三三三三年年年年初初初初需需需需要要要要投投投投资资资资，到到到到第第第第五五五五年年年年末末末末能能能能回回回回收收收收本本本本利利利利140140，但但但但规规规规定定定定最最最最大大大大投投投投资资资资额额额额不不不不能能能能超超超超过过过过8080万万万万元元元元。项项项项目目目目D D：第第第第二二二二年年年年初初初初需需需需要要要要投投投投资资资资，到到到到第第第第五五五五年年年年未未未未能能能能回回回回收收收收本本本本利利利利155155，但但但但规规规规定定定定最大投资额不能超过最大投资额不能超过最大投资额不能超过最大投资
111、额不能超过100100万元。万元。万元。万元。例例84.5投资问题6060据据据据测定每万元每次投资的风险指数如下所示：测定每万元每次投资的风险指数如下所示：测定每万元每次投资的风险指数如下所示：测定每万元每次投资的风险指数如下所示：问：问：（1）应应如如何何确确定定这这些些项项目目的的每每年年投投资资额额，使得第五年末拥有资金的本利金额为最大使得第五年末拥有资金的本利金额为最大?（2）应应如如何何确确定定这这些些项项目目的的每每年年投投资资额额，使使得得第第五五年年末末拥拥有有资资金金的的本本利利在在330万万的的基基础上使得其投资总的风险系数为最小础上使得其投资总的风险系数为最小?项目项目
112、项目项目风险指数（每万元每次）风险指数（每万元每次）风险指数（每万元每次）风险指数（每万元每次）A A1 1B B3 3C C4 4D D5.55.56161解：解： 第一第一确定变量：确定变量：（1 1）这这这这是是是是一一一一个个个个连连连连续续续续投投投投资资资资的的的的问问问问题题题题，设设设设x xij ij为为为为第第第第i i年年年年初初初初投投投投资资资资于于于于j j项项项项目的金额目的金额目的金额目的金额( (单位万元单位万元单位万元单位万元) )，根据给定条件，将变量列于下表：，根据给定条件，将变量列于下表：，根据给定条件，将变量列于下表：，根据给定条件，将变量列于下表：
113、年份年份年份年份项目项目项目项目1 12 23 34 45 5A Ax x1A1Ax x2A2Ax x3A3Ax x4A4Ax x5A5AB Bx x1B1Bx x2B2Bx x3B3Bx x4B4BC Cx x3C3CD Dx x2D2D 第二第二第二第二 确定约束条件确定约束条件确定约束条件确定约束条件 因因因因为为为为项项项项目目目目A A每每每每年年年年都都都都可可可可以以以以投投投投资资资资，并并并并且且且且当当当当年年年年末末末末都都都都能能能能收收收收回回回回本本本本息息息息，所所所所以以以以该该该该部部部部门门门门每每每每年年年年都都都都应应应应把把把把资资资资金金金金都都都都
114、投投投投出出出出去去去去，手手手手中中中中不不不不应应应应当当当当有有有有剩剩剩剩余余余余的的的的呆呆呆呆滞滞滞滞资资资资金金金金，因因因因此此此此第第第第一一一一年年年年：该该该该部部部部门门门门年年年年初初初初有有有有资资资资金金金金200200万万万万元元元元，故有故有故有故有X X1A1A+X+X1B1B=200=2006262第第第第二二二二年年年年：因因因因第第第第一一一一年年年年给给给给项项项项目目目目B B的的的的投投投投资资资资要要要要到到到到第第第第二二二二年年年年末末末末才才才才能能能能回回回回收收收收，所所所所以以以以该该该该部部部部门门门门在在在在第第第第二二二二年年
115、年年初初初初拥拥拥拥有有有有资资资资金金金金仅仅仅仅为为为为项项项项目目目目A A在在在在第第第第一一一一年投资额所回收的本息年投资额所回收的本息年投资额所回收的本息年投资额所回收的本息110110X X1A1A，故有故有故有故有X X2A2A+X+X2B2B+X+X2D2D=1.1x=1.1x1A1A. . 第第第第三三三三年年年年：第第第第三三三三年年年年初初初初的的的的资资资资金金金金额额额额是是是是从从从从项项项项目目目目A A第第第第二二二二年年年年投投投投资资资资和和和和项目项目项目项目B B第一年投资所回收的本息总和第一年投资所回收的本息总和第一年投资所回收的本息总和第一年投资所
116、回收的本息总和 1.11.1X X2A2A+1.25x+1.25x1B1B 故有故有故有故有 X X3A3A+X+X3B3B+X+X3C3C=1.1X=1.1X2A2A+1.25X+1.25X1B1B年份年份年份年份项目项目项目项目1 12 23 34 45 5A Ax x1A1Ax x2A2Ax x3A3Ax x4A4Ax x5A5AB Bx x1B1Bx x2B2Bx x3B3Bx x4B4BC Cx x3C3CD Dx x2D2D6363第四年：同以上分析，可得第四年：同以上分析，可得第四年：同以上分析，可得第四年：同以上分析，可得 X X4A4A+X+X4B4B=1.1X=1.1X3A
117、3A+1.25X+1.25X2B2B 第五年：第五年：第五年：第五年： X X5A5A=1.1X=1.1X4A4A+1.25X+1.25X3B3B 另外，由于对项目另外，由于对项目另外，由于对项目另外，由于对项目B B，C C，D D的投资额的限制有的投资额的限制有的投资额的限制有的投资额的限制有x xiBiB30,30,(i=1,2,3,4)(i=1,2,3,4)x x3c3c80,x80,x2D2D100.100.年份年份年份年份项目项目项目项目1 12 23 34 45 5A Ax x1A1Ax x2A2Ax x3A3Ax x4A4Ax x5A5AB Bx x1B1Bx x2B2Bx x
118、3B3Bx x4B4BC Cx x3C3CD Dx x2D2D6464第三、目标函数和模型第三、目标函数和模型该该该该问问问问题题题题要要要要求求求求在在在在第第第第五五五五年年年年末末末末该该该该部部部部门门门门手手手手拥拥拥拥有有有有的的的的资资资资金金金金额额额额达达达达到到到到最最最最大，这个目标函数可以表示为大，这个目标函数可以表示为大，这个目标函数可以表示为大，这个目标函数可以表示为: :max(1.1Xmax(1.1X5A5A+1.25X+1.25X4B4B+1.4X+1.4X3C3C+1.55X+1.55X2D2D) )模型为：模型为：模型为：模型为：目标函数：目标函数：目标函
119、数：目标函数：maxz=1.1Xmaxz=1.1X5A5A+1.25X+1.25X4B4B+1.4X+1.4X3C3C+1.55X+1.55X2D2DS.t.XS.t.X1A1A+X+X1B1B=200=200XX2A2A+X+X2B2B+X+X2D2D=1.1X=1.1X1A1A. .X X3A3A+X+X3B3B+X+X3C3C=1.1X=1.1X2A2A+1.25X+1.25X1B1B XX4A4A+X+X4B4B=1.1X=1.1X3A3A+1.25X+1.25X2B2B X X5A5A=1.1X=1.1X4A4A+1.25X+1.25X3B3BX XiBiB30,30, (i=1,2
120、,3,4)(i=1,2,3,4)XX3c3c80,X80,X2D2D100.100. X Xij ij0.0.6565max1.1x5a+1.25x4b+1.4x3c+1.55x2dmax1.1x5a+1.25x4b+1.4x3c+1.55x2dStx1a+x1b=200Stx1a+x1b=200x2a+x2b+x2d-1.1x1a=0x2a+x2b+x2d-1.1x1a=0x3a+x3b+x3c-1.1x2a-1.25x1b=0x3a+x3b+x3c-1.1x2a-1.25x1b=0x4a+x4b-1.1x3a-1.25x2b=0x4a+x4b-1.1x3a-1.25x2b=0x5a-1.1
121、x4a-1.25x3b=0x5a-1.1x4a-1.25x3b=0X1b30X1b30x2b30x2b30x3b30x3b30x4b30x4b30x3c80x3c80x2d100x2d100化简化简才能上机才能上机 化简后化简后得到：得到：6666模型模型 将模型输入计算机x x1A1A=170,x=170,x2A2A=57,x=57,x3A3A=0,x=0,x4A4A=7.5,=7.5,x x5A5A=33.5=33.5，x x1B1B=30,x=30,x2B2B=30,=30,x x3B3B=20.2,x=20.2,x4B4B=30=30x x3C3C=80=80，x x2D2D=100=
122、100第五年末拥有的资金的本利第五年末拥有的资金的本利第五年末拥有的资金的本利第五年末拥有的资金的本利（即目标函数最大值）（即目标函数最大值）（即目标函数最大值）（即目标函数最大值）为为为为341.35341.35万元万元万元万元6767从从从从对对对对偶偶偶偶价价价价格格格格栏栏栏栏可可可可知知知知第第第第一一一一年年年年初初初初增增增增加加加加投投投投资资资资1 1万万万万元元元元，将将将将导导导导致致致致第第第第五五五五年年年年末末末末拥拥拥拥有有有有资资资资金金金金的的的的本本本本利利利利增增增增加加加加1.6641.664万万万万元元元元；目目目目前前前前第第第第一一一一年年年年投投
123、投投资资资资额额额额为为为为200200万万万万； 第第第第二二二二年年年年初初初初增增增增加加加加投投投投资资资资1 1万万万万元元元元（比比比比回回回回收收收收, ,因因因因为为为为x2a+x2b+x2d-1.1x1a=0x2a+x2b+x2d-1.1x1a=0） ，将将将将导导导导致致致致第第第第五五五五年年年年末末末末拥拥拥拥有有有有资资资资金金金金的的的的本本本本利利利利增增增增加加加加1.5131.513万万万万元元元元，目目目目前前前前第第第第二二二二年年年年的的的的投投投投资资资资金金金金额额额额来来来来自自自自第第第第一一一一年年年年投投投投资资资资于于于于项项项项目目目目A
124、 A而而而而回回回回收收收收的的的的110110的的的的本本本本利利利利；同同同同样样样样可可可可知知知知第第第第三三三三年年年年初初初初、第第第第四四四四年年年年初初初初、第第第第五五五五年年年年初初初初增增增增加加加加或或或或减减减减少少少少投投投投资资资资1 1万万万万元元元元，将将将将导导导导致致致致第第第第五五五五年年年年末末末末拥拥拥拥有有有有资资资资金金金金的的的的本本本本利利利利分分分分别别别别增增增增加加加加或或或或减减减减少少少少1.3751.375万万万万元、元、元、元、1.2101.210万元、万元、万元、万元、1.11.1万万万万元；元；元；元；约束约束约束约束松驰松
125、驰松驰松驰/ /剩余变量剩余变量剩余变量剩余变量对偶价格对偶价格对偶价格对偶价格101.66401.664201.51301.513301.37501.375401.2101.21501.101.16868从从第第6个个至至第第9个个约约束束方方程程对对偶偶价价格格栏栏中中可可知知：如如果果第第一一年年、第第二二年年、第第三三年年、第第四四年年B项项目目的的投投资资额额的的限限制制放放松松或或收收缩缩1万万元元指指标标(对对应应于于XiB30，I=1,2,3,4），将将导导致致第第五五年年末末拥拥有有的的资资金金的的本本利利分分别别增增加加或或减减少少0.055万万元元、0万万元、元、0万元、
126、万元、0.040万元；万元；约束约束约束约束松驰松驰松驰松驰/ /剩余变量剩余变量剩余变量剩余变量对偶价格对偶价格对偶价格对偶价格600.055600.05570070089.809.80900.0400.046969约束约束松驰松驰/剩余变量剩余变量对偶价格对偶价格1000.0251100.037 从从第第10个个和和第第11个个约约束束方方程程对对偶偶价价格格栏可知：栏可知：项项目目C（对对应应于于X3C80)、项项目目D（对对应应于于X2D100)的的投投资资额额的的限限制制放放松松或或收收缩缩1万万元元的的指指标标，将将导导致致第第五五年年末末拥拥有有的的资资金金的的本本利利分分别别增
127、增加加或或减减少少0.025万万元、元、0.037万元万元7070 第第第第四四四四个个个个表表表表格格格格是是是是关关关关于于于于保保保保持持持持对对对对偶偶偶偶价价价价格格格格不不不不变变变变的的的的右右右右边边边边值值值值的的的的变变变变化化化化范范范范围围围围的的的的，当当当当某某某某一一一一个个个个的的的的右右右右边边边边值值值值在在在在此此此此范范范范围围围围内内内内变变变变化化化化而而而而其其其其他他他他右右右右边边边边值值值值不不不不变变变变时时时时，对对对对偶偶偶偶价价价价格格格格不不不不变变变变，例例例例如如如如如如如如果果果果第第第第一一一一年年年年初初初初现现现现有有有
128、有资资资资金金金金为为为为190190万万万万元元元元，从从从从表表表表上上上上可可可可知知知知，190190万万万万元元元元属属属属于于于于保保保保持持持持对对对对偶偶偶偶价价价价格格格格不不不不变变变变的的的的右右右右边边边边值值值值的的的的变变变变化化化化范范范范围围围围内内内内，故故故故可可可可以以以以从从从从其其其其对对对对偶偶偶偶价价价价格格格格计计计计算算算算出出出出第第第第五五五五年年年年末所拥有的资金的本利总数为：末所拥有的资金的本利总数为：末所拥有的资金的本利总数为：末所拥有的资金的本利总数为： 341.35-(200-190)341.35-(200-190)1.6641.
129、664=324.71(=324.71(万元万元万元万元) )但但但但如如如如第第第第一一一一年年年年初初初初现现现现有有有有资资资资金金金金低低低低于于于于变变变变化化化化下下下下限限限限177.8177.8万万万万元元元元时时时时，则则则则需需需需要要要要重重重重新新新新建建建建模模模模求求求求解解解解。当当当当几几几几个个个个右右右右边边边边值值值值同同同同时时时时变变变变化化化化时时时时则则则则可可可可用用用用百百百百分分分分之之之之一一一一百百百百法法法法则则则则判判判判断断断断原原原原来来来来的的的的对对对对偶偶偶偶价价价价格格格格是否保持不变。是否保持不变。是否保持不变。是否保持不
130、变。常数项范围：常数项范围：常数项范围：常数项范围：约束约束约束约束下限下限下限下限当前值当前值当前值当前值上限上限上限上限1177.8200202.61177.8200202.67171 在在在在第第第第三三三三个个个个表表表表格格格格中中中中列列列列出出出出了了了了目目目目标标标标函函函函数数数数中中中中变变变变量量量量系系系系数数数数的的的的变变变变化化化化范范范范围围围围，当当当当X X5A5A、X X4B4B、X X3C3C和和和和X X2D2D中中中中的的的的一一一一个个个个变变变变量量量量在在在在此此此此范范范范围围围围内内内内变变变变化化化化时时时时，即即即即项项项项目目目目A
131、 A的的的的第第第第五五五五年年年年、项项项项目目目目B B的的的的第第第第四四四四年年年年、项项项项目目目目C C的的的的第第第第三三三三年年年年、项项项项目目目目D D的的的的第第第第二二二二年年年年投投投投资资资资在在在在第第第第五五五五年年年年末末末末的的的的回回回回收收收收本本本本利利利利的的的的百百百百分分分分比比比比中中中中的的的的一一一一个个个个在在在在此此此此范范范范围围围围变变变变化化化化时时时时，最最最最优优优优解解解解保保保保持持持持不不不不变变变变。超超超超出出出出这这这这个个个个范范范范围围围围，要要要要重重重重新新新新建建建建模模模模求求求求解解解解，当当当当几几
132、几几个个个个系系系系数数数数同同同同时时时时变变变变化化化化时时时时要要要要用用用用百百百百分之百法则判断，分之百法则判断，分之百法则判断，分之百法则判断，部分目标系数变动范围：部分目标系数变动范围：部分目标系数变动范围：部分目标系数变动范围：变量变量变量变量下限下限下限下限当前值当前值当前值当前值上限上限上限上限X X5A5A001.11.121.11.12X X4B4B1.211.21 1.251.25无上限无上限无上限无上限X X3C3C1.3751.41.3751.4无上限无上限无上限无上限X X2D2D1.5131.551.5131.55无上限无上限无上限无上限7272部分目标系数变
133、动范围改为（书上部分目标系数变动范围改为（书上部分目标系数变动范围改为（书上部分目标系数变动范围改为（书上P53P53有错）：有错）：有错）：有错）：变量变量变量变量下限下限下限下限当前值当前值当前值当前值上限上限上限上限X X1A1A无下限无下限无下限无下限 00.05500.055X X1B1B-0.0550-0.0550无上限无上限无上限无上限X X4A4A无下限无下限无下限无下限0000X X3B3B00 00.02500.025X X3A3A 无下限无下限无下限无下限00.04400.044X X2B2B-0.04400-0.04400X X2A2A000.04000.04同时常数项
134、范围也有错按如下为准：同时常数项范围也有错按如下为准：同时常数项范围也有错按如下为准：同时常数项范围也有错按如下为准：7373常数项范围：常数项范围：常数项范围：常数项范围：约束约束约束约束下限下限下限下限当前值当前值当前值当前值上限上限上限上限1177.85200202.61177.85200202.62-24.3602.912-24.3602.913-26.803.23-26.803.24-7.503.644-7.503.645-33.505-33.50无上限无上限无上限无上限603087.3603087.37243072430无上限无上限无上限无上限826.830826.830无上限无上
135、限无上限无上限9926.43026.43037.537.5101076.88076.880106.8106.8111197.1100124.497.1100124.47474注意注意在在这这里里要要说说明明的的是是在在目目标标函函数数中中变变量量X1A、X1B、X2A、X2B、X3A、X3B、X4A的的系系数数都都为为零零，这这主主要要是是我我们们把把这这些些变变量量的的投投资资回回收收本本利利的的百百分分比比对对第第五五年年的的贡贡献献都都体体现现在在约约束束条条件件里里，而而没没体体现现在在目目标标函函数数中中，所所以以没没法法用用其其目目标标函函数数的的系系数数对对其其进行回收本利百分比
136、的灵敏度分析。进行回收本利百分比的灵敏度分析。7575（2）所设变量与所设变量与a相同，可知其目标函相同，可知其目标函数为最小风险，有数为最小风险，有: Minf=XMinf=X1A1A+X+X2A2A+X+X3A3A+X+X4A4A+X+X5A5A+3(X+3(X1B1B+X+X2B2B+X+X3B3B+X+X4B4B)+4X)+4X3C3C+5.5X+5.5X2D2D 在在在在问问问问题题题题a a的的的的约约约约束束束束条条条条件件件件中中中中加加加加上上上上要要要要求求求求第第第第五五五五年年年年末末末末拥拥拥拥有有有有资资资资金金金金本利在本利在本利在本利在330330万元的条件就得
137、到问题万元的条件就得到问题万元的条件就得到问题万元的条件就得到问题b b的约束条件：的约束条件：的约束条件：的约束条件： S.t.XS.t.X1A1A+X+X1B1B=200,=200,XX2A2A+X+X2B2B+X+X2D2D-1.1X-1.1X1A1A=0,=0,XX3A3A+X+X3B3B+X+X3C3C-1.1X-1.1X2A2A-1.25X-1.25X1B1B=0,=0,XX4A4A+X+X4B4B+X+X3A3A-1.25X-1.25X2B2B=0,=0,XX5A5A-1.1X-1.1X4A4A-1.21X-1.21X3B3B=0,=0,X XiBiB3030，（，（，（，（i=
138、1,2,3,4)Xi=1,2,3,4)X3C3C8080，X X2D2D100100，1.1X1.1X5A5A+1.25X+1.25X4B4B+1.4X+1.4X3C3C+1.55X+1.55X2D2D330,330,X Xij ij00，7676X1A=200,X2A=192.317,X3A=131.549,X4A=144.704,X5A=159.174,X3C=80,X2D=27.683,X1B=X2B=X3B=X4B=0,此时其投资的风险系数最小为此时其投资的风险系数最小为1300。此问题的最优解为此问题的最优解为:7777在在上上图图相相差差值值中中可可知知如如果果XiB(i=1,2,
139、3,4)的的风风险险系系数数至至少少减减少少0.5即即降降为为2.5或或2.5以以下下，则则可可以以考考虑虑对对项项目目B的的第第i年年的的投投资资，否否则则就就不不对对其其投投资，资，变量变量变量变量最优解最优解最优解最优解相差值相差值相差值相差值 X X1A1A20002000X X2A2A192.3170192.3170X X3A3A131.5490131.5490X X4A4A144.7040144.7040X X5A5A159.1740159.1740X X1B1B00.500.5X X2B2B00.500.5X X3B3B00.500.5X X4B4B00.500.57878在在在
140、在第第第第二二二二栏栏栏栏的的的的第第第第1212个个个个约约约约束束束束方方方方程程程程的的的的剩剩剩剩余余余余变变变变量量量量栏栏栏栏中中中中的的的的数数数数值值值值为为为为零零零零，而而而而其其其其对对对对偶偶偶偶价价价价格格格格为为为为-10-10，表表表表明明明明用用用用此此此此方方方方案案案案第第第第五五五五年年年年末末末末的的的的本本本本利利利利的的的的回回回回收收收收正正正正好好好好为为为为330330万万万万，如如如如果果果果要要要要提提提提高高高高( (或或或或减减减减少少少少) )一一一一万万万万元元元元回回回回收收收收，则则则则要要要要增增增增加加加加( (或或或或减减
141、减减少少少少)10)10个个个个风风风风险险险险系系系系数数数数值值值值。而而而而1 1，2 2，3 3，4 4，5 5的的的的约约约约束束束束方方方方程程程程中中中中的的的的对对对对偶偶偶偶价价价价格格格格都都都都为为为为1010，表表表表明明明明在在在在第第第第一一一一，二二二二，三三三三，四四四四，五五五五年年年年都都都都增增增增加加加加( (或或或或减减减减少少少少) )投投投投资资资资1 1万万万万元元元元，就就就就会会会会减减减减少少少少( (或或或或增增增增加加加加) )投资投资投资投资1010个风险系数值。个风险系数值。个风险系数值。个风险系数值。约束约束约束约束松驰松驰松驰松
142、驰/ /剩余变量剩余变量剩余变量剩余变量对偶价格对偶价格对偶价格对偶价格101010102010201030103010401040105010501063006300120-10120-107979在在第第三三栏栏的的目目标标函函数数系系数数变变化化范范围围栏栏中中表表明明了了当当某某个个项项目目的的风风险险系系数数在在此此范范围围内内变变化化,而而其其它它风风险险系系数数不不变变时时,最最优优解解不不变。变。在在第第四四栏栏中中指指出出了了当当某某个个右右边边值值在在此此范范围围内内变变化化,而而其其它它右右边边值值不不变变时时,所所有有对对偶价格值都不变偶价格值都不变.8080本章本章结束，作业：结束，作业：P56，1，5，9不要偷懒啊！不要偷懒啊！8181
