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1、G.F.B.Riemann(1826-1866)只有在微积分发明只有在微积分发明之后，物理学才之后，物理学才成为一门科学成为一门科学. .只只有在认识到自然有在认识到自然现象是连续的之现象是连续的之后，构造抽象模后，构造抽象模型的努力型的努力 才取才取得了成功。得了成功。 - -黎曼黎曼多元积分学(北航数学竞赛多元函数积分学多元函数积分学多元积分学(北航数学竞赛定积分定积分(Definite Integral)Integral)二重积分二重积分(Double Integral)Integral)三重积分三重积分(Triple Integral)Integral)性质性质直角坐标直角坐标极坐标极
2、坐标曲线坐标曲线坐标直角坐标直角坐标柱面坐标柱面坐标球面坐标球面坐标曲面坐标曲面坐标应应用用多元积分学(北航数学竞赛二重积分的换元法二重积分的换元法(Change of Variable in Double Integral)(Change of Variable in Double Integral)多元积分学(北航数学竞赛多元积分学(北航数学竞赛三重积分的换元法三重积分的换元法(Change of Variable in Triple Integral)(Change of Variable in Triple Integral)多元积分学(北航数学竞赛多元积分学(北航数学竞赛容易验证，容
3、易验证， 柱坐标柱坐标(Cylindrical Coordinate)变换的变换的Jacobi行列式为行列式为球坐标球坐标(Spherical Coordinate)变换的变换的Jacobi行列式为行列式为多元积分学(北航数学竞赛 广义球坐标变换的广义球坐标变换的Jacobi行列式为行列式为其中其中多元积分学(北航数学竞赛二重积分的对称性二重积分的对称性多元积分学(北航数学竞赛使用对称性时应注意：使用对称性时应注意：、积分区域关于坐标轴的对称性；、积分区域关于坐标轴的对称性；、被积函数在积分区域上的关于二个、被积函数在积分区域上的关于二个 积分变量的奇偶性积分变量的奇偶性. .多元积分学(北航
4、数学竞赛三重积分的对称性三重积分的对称性多元积分学(北航数学竞赛使用对称性时应注意：使用对称性时应注意：、积分区域关于坐标面的对称性；、积分区域关于坐标面的对称性；、被积函数在积分区域上的关于三个、被积函数在积分区域上的关于三个 坐标轴坐标轴( (三个变量三个变量) )的奇偶性的奇偶性. .多元积分学(北航数学竞赛二重积分与曲线积分的联系二重积分与曲线积分的联系（Green公式）公式）三重积分与曲面积分的联系三重积分与曲面积分的联系(Gauss公式公式)多元积分学(北航数学竞赛曲面积分与曲线积分的联系曲面积分与曲线积分的联系(Stokes(Stokes公式）公式） 多元积分学(北航数学竞赛与路
5、径无关的四个等价命题与路径无关的四个等价命题条条件件等等价价命命题题多元积分学(北航数学竞赛空间曲线积分与路径无关的四个等价命题空间曲线积分与路径无关的四个等价命题条条件件等等价价命命题题多元积分学(北航数学竞赛一一. 计算题计算题多元积分学(北航数学竞赛重积分计算的关键重积分计算的关键: :1. 1. 选择合适的坐标系选择合适的坐标系2.2.确定合适的积分次序以及积分限确定合适的积分次序以及积分限（综合考虑积分区域和被积函数）（综合考虑积分区域和被积函数）多元积分学(北航数学竞赛例例 1 计算计算:解解考虑用极坐标变换考虑用极坐标变换先弄清直角坐标系下的积分区域先弄清直角坐标系下的积分区域
6、D D，多元积分学(北航数学竞赛 由此由此, ,可以可以画出直角系画出直角系下的积分区下的积分区域的图形，域的图形，多元积分学(北航数学竞赛多元积分学(北航数学竞赛例例2 2多元积分学(北航数学竞赛多元积分学(北航数学竞赛例例3 3解解多元积分学(北航数学竞赛p p多元积分学(北航数学竞赛由对称性由对称性多元积分学(北航数学竞赛例例4 计算计算多元积分学(北航数学竞赛解解 曲面坐标变换的目的曲面坐标变换的目的, (1), (1)使积分区域变使积分区域变 得尽量简单得尽量简单, (2), (2)简化被积函数及计算。简化被积函数及计算。引入坐标变换：引入坐标变换：多元积分学(北航数学竞赛多元积分学
7、(北航数学竞赛例例5 5 设心脏线的方程为设心脏线的方程为求它与极轴围成的平面求它与极轴围成的平面图形绕极轴所得旋转体的体积图形绕极轴所得旋转体的体积。解解若视极轴为若视极轴为 z z 轴，则轴，则极坐标极坐标 恰好是球坐标恰好是球坐标的的于是体积于是体积多元积分学(北航数学竞赛多元积分学(北航数学竞赛例例6 6解解由对称性由对称性多元积分学(北航数学竞赛例例7多元积分学(北航数学竞赛解解多元积分学(北航数学竞赛于是于是多元积分学(北航数学竞赛解解多元积分学(北航数学竞赛多元积分学(北航数学竞赛例例9解解多元积分学(北航数学竞赛多元积分学(北航数学竞赛二二. 证明题证明题多元积分学(北航数学竞
8、赛例例1多元积分学(北航数学竞赛证明证明: : 采用极坐标采用极坐标将式中将式中r r的换成的换成x,x,即得证即得证. .由对称性知由对称性知多元积分学(北航数学竞赛例例2 2证证多元积分学(北航数学竞赛证明：证明：由积分区域由积分区域D关于关于y=x对称，所以对称，所以从而从而例例3 3多元积分学(北航数学竞赛例例4 4解解：多元积分学(北航数学竞赛多元积分学(北航数学竞赛例例4 4 多元积分学(北航数学竞赛例例 5分析：分析：多元积分学(北航数学竞赛则本题得证则本题得证.多元积分学(北航数学竞赛例例6证明证明多元积分学(北航数学竞赛例例 7证证由积分中值定理有由积分中值定理有多元积分学(北航数学竞赛例例8 8证证多元积分学(北航数学竞赛多元积分学(北航数学竞赛例例9 9多元积分学(北航数学竞赛多元积分学(北航数学竞赛多元积分学(北航数学竞赛多元积分学(北航数学竞赛证证由题设条件可得由题设条件可得故有故有多元积分学(北航数学竞赛（分部积分）（分部积分）（分部积分）（分部积分）多元积分学(北航数学竞赛由分部积分法得由分部积分法得多元积分学(北航数学竞赛故故多元积分学(北航数学竞赛证证多元积分学(北航数学竞赛多元积分学(北航数学竞赛证证多元积分学(北航数学竞赛多元积分学(北航数学竞赛解解多元积分学(北航数学竞赛（2） 由（由（1）知）知多元积分学(北航数学竞赛
