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1、几个初等函数的麦克劳林公式几个初等函数的麦克劳林公式小结小结 思考题思考题 作业作业 泰勒泰勒(Taylor)（英）英）1685-1731近似计算与误差估计近似计算与误差估计其它应用其它应用第三节第三节 泰勒泰勒( (Taylor) )公式公式第三章第三章 微分中值定理与导数的应用微分中值定理与导数的应用泰勒公式的建立泰勒公式的建立1简单简单的的,多项式函数多项式函数特点特点(1)易计算易计算函数值函数值;(2)导数与积分仍为导数与积分仍为多项式多项式;(3)多项式由它的系数完全确定多项式由它的系数完全确定,又由它在一点的函数值及又由它在一点的函数值及导数值导数值确定确定.而其系数而其系数用怎
2、样的多项式去逼近给定的函数用怎样的多项式去逼近给定的函数误差又如何呢误差又如何呢一、一、泰勒公式的建立泰勒公式的建立泰勒公式泰勒公式泰勒公式泰勒公式熟悉熟悉的函数来近似代替复杂函数的函数来近似代替复杂函数. 应用应用用多项式近似表示函数用多项式近似表示函数理论分析理论分析近似计算近似计算2回想微分回想微分一次多项式一次多项式泰勒公式泰勒公式泰勒公式泰勒公式3（如下图）（如下图）如如泰勒公式泰勒公式泰勒公式泰勒公式 以直代曲以直代曲4需要解决的问题需要解决的问题如何提高精度如何提高精度 ? ?如何估计误差如何估计误差 ? ?问题问题(1) 系数怎么定系数怎么定?(2) 误差误差(如何估计如何估计
3、)表达式是什么表达式是什么?不足不足1. 精确度不高；精确度不高；2. 误差不能定量的估计误差不能定量的估计.希望希望一次多项式一次多项式泰勒公式泰勒公式泰勒公式泰勒公式用适当的用适当的高次多项式高次多项式5猜想猜想2.若有相同的切线若有相同的切线3.若弯曲方向相同若弯曲方向相同近近似似程程度度越越来来越越好好1.若在若在 点相交点相交1.1.n次多项式系数的确定次多项式系数的确定泰勒公式泰勒公式泰勒公式泰勒公式6得得假设假设同理同理泰勒公式泰勒公式泰勒公式泰勒公式代入代入中得中得7称为称为f(x)的的泰勒多项式来逼近泰勒多项式来逼近并估计它的误差并估计它的误差.下面将证明确实可以用下面将证明
4、确实可以用函数函数泰勒多项式泰勒多项式.泰勒公式泰勒公式泰勒公式泰勒公式8泰勒泰勒( (Taylor) )中值定理中值定理其中其中余项余项泰勒公式泰勒公式泰勒公式泰勒公式2. .泰勒泰勒(Taylor)中值定理中值定理多项式多项式 (residual)9分析分析即证即证泰勒公式泰勒公式泰勒公式泰勒公式也即证也即证其中其中10证证令令由要求由要求泰勒公式泰勒公式泰勒公式泰勒公式11 柯西定理柯西定理 柯西定理柯西定理用用1次次用用2次次泰勒公式泰勒公式泰勒公式泰勒公式12如此下去如此下去,得得可得可得即即泰勒公式泰勒公式泰勒公式泰勒公式用用n+1次柯西定理次柯西定理,13拉格朗日型余项拉格朗日型
5、余项带有拉格朗日型余项带有拉格朗日型余项泰勒公式泰勒公式泰勒公式泰勒公式14皮亚诺皮亚诺型型余项余项当对余项要求不高时当对余项要求不高时,带有皮亚诺带有皮亚诺型型余项余项可用可用皮亚诺皮亚诺型型余项余项1858-1932) )皮亚诺皮亚诺( (Peano,G.( (意意) )泰勒公式泰勒公式泰勒公式泰勒公式15注注1.泰勒公式就是拉格朗日中值公式泰勒公式就是拉格朗日中值公式.2. 在泰勒公式中在泰勒公式中,这时的泰勒公式这时的泰勒公式,即即按按x的幂的幂(在零点在零点)展开的泰勒公式称为展开的泰勒公式称为:n阶泰勒公式阶泰勒公式麦克劳林麦克劳林( (Maclaurin,C.(英英)1698-1
6、746)公式公式泰勒公式泰勒公式泰勒公式泰勒公式16麦克劳林麦克劳林( (Maclaurin) )公式公式近似公式近似公式误差估计式为误差估计式为带有拉格朗日型余项带有拉格朗日型余项带有带有皮亚诺皮亚诺型型余项余项泰勒公式泰勒公式泰勒公式泰勒公式17解解代入上公式代入上公式,得得于是有于是有的近似表达公式的近似表达公式泰勒公式泰勒公式泰勒公式泰勒公式二、几个初等函数的麦克劳林公式二、几个初等函数的麦克劳林公式例例麦克劳林公式麦克劳林公式. .麦克劳林麦克劳林( (Maclaurin) )公式公式18有误差估计式有误差估计式得到得到其误差其误差其误差其误差泰勒公式泰勒公式泰勒公式泰勒公式19解解
7、例例因为因为所以所以泰勒公式泰勒公式泰勒公式泰勒公式20误差为误差为泰勒公式泰勒公式泰勒公式泰勒公式21泰勒公式泰勒公式泰勒公式泰勒公式泰勒多项式逼近泰勒多项式逼近22类似地类似地,有有泰勒公式泰勒公式泰勒公式泰勒公式23解解泰勒公式泰勒公式泰勒公式泰勒公式一阶和三阶一阶和三阶泰勒公式及相应的拉格朗日型余项泰勒公式及相应的拉格朗日型余项.的一的一阶阶泰勒公式是泰勒公式是其中其中三三阶泰勒公式是阶泰勒公式是24 常用函数的麦克劳林公式常用函数的麦克劳林公式要熟记要熟记!泰勒公式泰勒公式泰勒公式泰勒公式25泰勒公式泰勒公式泰勒公式泰勒公式26例例 解解用间接展开的方法较简便用间接展开的方法较简便.
8、两端同乘两端同乘x,得得 带拉格朗日型余项的公式展开问题带拉格朗日型余项的公式展开问题注注一般不能用这种方法一般不能用这种方法.泰勒公式泰勒公式泰勒公式泰勒公式27泰勒公式泰勒公式泰勒公式泰勒公式须解决问题的类型须解决问题的类型: :(1) 已知已知x 和误差界和误差界, ,要求确定项数要求确定项数n;(2) 已知项数已知项数n和和x, ,计算近似值并估计误差计算近似值并估计误差;(3) 已知项数已知项数 n 和误差界和误差界, ,确定公式中确定公式中 x 的的三、近似计算与误差估计三、近似计算与误差估计适用范围适用范围. .28例例 解解 泰勒公式泰勒公式泰勒公式泰勒公式已知已知x 和误差界
9、和误差界, ,要求确定项数要求确定项数n29满足要求满足要求.泰勒公式泰勒公式泰勒公式泰勒公式30泰勒公式泰勒公式泰勒公式泰勒公式计算计算 的近似值的近似值,使其精确到使其精确到0.005 ,试确定试确定 的适用范围的适用范围. .近似公式的误差近似公式的误差例例 用近似公式用近似公式解解 已知项数已知项数 n 和误差界和误差界, ,确定公式中确定公式中 x 的的适用范围适用范围. .令令解得解得即即由给定的近似公式计算的结果能准确到由给定的近似公式计算的结果能准确到0.005.31 解解四、其它应用四、其它应用 因为分母是因为分母是4阶无穷小阶无穷小,所以所以只要将函数展开到只要将函数展开到
10、4阶无穷小的阶无穷小的项就足以定出所给的极限了项就足以定出所给的极限了.常用函数的泰勒展开求常用函数的泰勒展开求例例 型未定式型未定式泰勒公式泰勒公式泰勒公式泰勒公式32泰勒公式泰勒公式泰勒公式泰勒公式例例 是是x的几阶无穷小的几阶无穷小? ? 解解 因因故由于故由于有有显然显然, ,它是它是x的的4阶无穷小阶无穷小. . 33泰勒公式泰勒公式泰勒公式泰勒公式像这类像这类估值问题估值问题常用泰勒公式常用泰勒公式.证证例例 分析分析 利用泰勒公式可以证明某些命题及不等式利用泰勒公式可以证明某些命题及不等式.带拉格朗日型余项的一阶泰勒公式带拉格朗日型余项的一阶泰勒公式, 得得(1)(2)34即即故
11、故泰勒公式泰勒公式泰勒公式泰勒公式也可以的。也可以的。35泰勒公式泰勒公式泰勒公式泰勒公式证明证明证证例例 公式见课本公式见课本142页页36五、小结五、小结 多项式局部逼近多项式局部逼近. .泰勒公式泰勒公式泰勒公式泰勒公式 泰勒泰勒( (Taylor) )公式在近似计算中的应用公式在近似计算中的应用. . 泰勒泰勒( (Taylor) )公式的数学思想公式的数学思想熟记常用函数的麦克劳林公式熟记常用函数的麦克劳林公式;37解解故故由于由于有有因因显然显然,泰勒公式泰勒公式泰勒公式泰勒公式思考题思考题138思考题思考题22002年考研数学一年考研数学一, 6分分设函数设函数的某邻域内具有一阶连续的某邻域内具有一阶连续导数导数, ,是比是比h高阶的无穷小高阶的无穷小, ,试确定试确定a, b的值的值. .解解所以所以因此当因此当有有泰勒公式泰勒公式泰勒公式泰勒公式39作业作业习题习题3-3(1433-3(143页页) )1. 3. 5. 6. 7. 8. 9.(1) 2.10.(1) (3)泰勒公式泰勒公式泰勒公式泰勒公式40
