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1、第第1章章 实验数据及模型参数实验数据及模型参数拟合方法拟合方法n1.1 问题的提出 n1.2拟合的规范 n1.3单变量拟合和多变量拟合 n1.4解矛盾方程组 n1.5梯度法拟合参数 n1.6吸附等温曲线回归 总目录总目录1.1 问题的提出问题的提出n化工设计及化工模拟计算中，有大量的物性参数及各种设备参数。实验丈量得到的经常是一组离散数据序列xi ,yin图1-1所示为“噪声n图1-2所示为无法同时满足某特定的函数图1-1 含有噪声的数据图1-2 无法同时满足某特定函数的数据序列总目录总目录本章目录本章目录1.11.21.31.41.51.61.1 问题的提出问题的提出n在化学化工中，许多模
2、型也要利用数据拟合技术，求出最正确的模型和模型参数。n如在某一反响工程实验中，我们测得了如表1-1所示的实验数据：表1-1总目录总目录本章目录本章目录1.11.21.31.41.51.61.1 问题的提出问题的提出确定在其他条件不变的情况下，转化率y和温度T的详细关系，现拟用两种模型去拟合实验数据，两种模型分别是： (1-2) (1-3) 总目录总目录本章目录本章目录1.11.21.31.41.51.61.2 拟合的规范拟合的规范 向量Q与Y之间的误差或间隔有以下几种定义方法：1用各点误差绝对值的和表示2用各点误差按绝对值的最大值表示3用各点误差的平方和表示(1-4) (1-5) (1-6)
3、R称为均方误差总目录总目录本章目录本章目录1.11.21.31.41.51.61.2 拟合的规范拟合的规范n由于计算均方误差的最小值的原那么容易实现而被广泛采用。按均方误差到达极小构造拟合曲线的方法称为最小二乘法。同时还有许多种其他的方法构造拟合曲线，感兴趣的读者可参阅有关教材。本章主要讲述用最小二乘法构造拟合曲线。总目录总目录本章目录本章目录1.11.21.31.41.51.61.2 拟合的规范拟合的规范 实例实例n实验测得二甲醇DME的饱和蒸汽压和温度的关系如下表 ：序号温度 蒸气压 MPa1-23.70.1012-100.174300.2544100.3595200.4956300.66
4、27400.880表1-2 DME饱和蒸气压和温度的关系由表1-2的数据观测可得，DME的饱和蒸汽压和温度有正相关关系。总目录总目录本章目录本章目录1.11.21.31.41.51.61.2 拟合的规范拟合的规范 实例实例n假设以直线拟合p=a+bt,即拟合函数是一条直线。经过计算均方误差Q ( a , b )最小值而确定直线方程见图1-3 图1-3 DME饱和蒸汽压和温度之间的线性拟合拟合得到得直线方程为：相关系数R为0.97296，平均绝对偏向SD为0.05065。 (1-8) (1-7) 总目录总目录本章目录本章目录1.11.21.31.41.51.61.2 拟合的规范拟合的规范 实例实
5、例假设采用二次拟合，经过计算下述均方误差：拟合得二次方程为：1-91-10相关系数为R为0.99972，平均绝对偏向SD为0.0056。详细拟合曲线见图1-4 图1-4 DME饱和蒸汽压和温度之间的二次拟合总目录总目录本章目录本章目录1.11.21.31.41.51.61.2 拟合的规范拟合的规范 实例实例 比较图1-3和图1-4以及各自的相关系数和平均绝对偏向可知：对于DME饱和蒸汽压和温度之间的关系，在实验温度范围内用二次拟合曲线优于线性拟合。二次拟合曲线具有局限性，由图1-4察看可知，当温度低于-30时，饱和压力有升高的趋势，但在拟合的温度范围内，二次拟合的平均绝对偏向又小于一次拟合，故
6、对物性数据进展拟合时，不仅要看在拟合条件下的拟合效果，还必需根据物性的详细性质，判别在拟合条件之外的物性变化趋势，以便使拟合公式在已做实验点数据之外运用。 总目录总目录本章目录本章目录1.11.21.31.41.51.6总目录总目录本章目录本章目录1.11.21.31.41.51.61.3 单变量拟合和多变量拟合单变量拟合和多变量拟合n1.3.1单变量拟合n1.3.2 多变量的曲线拟合1.3.1 单变量拟合单变量拟合 线性拟线性拟合合 n给定一组数据xi,yi,i=1, 2 , , m ，做拟合直线p (x)=a + bx , 均方误差为 ：1-11 Q (a , b)的极小值需满足： 总目录
7、总目录本章目录本章目录1.11.21.31.41.51.61.3.1 单变量拟合单变量拟合 线性拟线性拟合合n整理得到拟合曲线满足的方程：或 (1-12) 称式(1-12)为拟合曲线的法方程。总目录总目录本章目录本章目录1.11.21.31.41.51.61.3.1 单变量拟合单变量拟合 线性拟线性拟合合可用消元法或克莱姆方法解出方程：总目录总目录本章目录本章目录1.11.21.31.41.51.61.3.1 单变量拟合单变量拟合 线性拟合线性拟合实例实例例1.1：下表为实验测得的某一物性和温度之间的关系数据，表中x为温度数据，y为物性数据。请用线性函数拟合温度和物性之间的关系。x131516
8、212223252930313640y111011121213131214161713x42556062647072100130y142214212124172334总目录总目录本章目录本章目录1.11.21.31.41.51.61.3.1 单变量拟合单变量拟合 线性拟合线性拟合实例实例n解：设拟合直线 ，并计算得下表： 编号xyxyx212345211315162122130956111011121234344143150176252264442018913121100121144144115661640将数据代入法方程组1-12中，得到： 解方程得：a = 8.2084 , b = 0.1
9、795 。拟合直线为： 总目录总目录本章目录本章目录1.11.21.31.41.51.61.3.1 单变量拟合单变量拟合 二次拟合二次拟合函数函数n给定数据序列xi,yi,i=1, 2 , , m ,用二次多项式函数拟合这组数据。 (1-13) 由数学知识可知，Q( a0 ,a1 ,a2 )的极小值满足：总目录总目录本章目录本章目录1.11.21.31.41.51.61.3.1 单变量拟合单变量拟合 二次拟合二次拟合函数函数n整理上式得二次多项式函数拟合的满足条件方程：(1-14) 解此方程得到在均方误差最小意义下的拟合函数p ( x )。方程组1-14称为多项式拟合的法方程，法方程的系数矩阵
10、是对称的。总目录总目录本章目录本章目录1.11.21.31.41.51.61.3.1 单变量拟合单变量拟合 二次拟合二次拟合函数函数n上面是二次拟合根本类型的求解方法，和一次拟合一样，二次拟合也可以有多种变型： 例如套用上面的公式，我们可以得到关于求解此拟合函数的法方程 ：(1-15) 总目录总目录本章目录本章目录1.11.21.31.41.51.61.3.1 单变量拟合单变量拟合 二次拟合二次拟合函数函数n假设我们需求求解是下面的拟合函数：n参照上面的方法，我们很容易得到求解该拟合函数的法方程： 总目录总目录本章目录本章目录1.11.21.31.41.51.61.3.1 单变量拟合单变量拟合
11、 二次拟合二次拟合实例实例n例1.2：请用二次多项式函数拟合下面这组数据。序号1234567x-3-2-10123y4230-1-2-5总目录总目录本章目录本章目录1.11.21.31.41.51.61.3.1 单变量拟合单变量拟合 二次拟合二次拟合实例实例n解：设 ，由计算得下表：序号xyxyx2x2yx3x41234567-3-2-1012304230-1-251-12-4-30-1-4-15-39941014928368-30-1-8-45-7-27-8-101827081161011681196总目录总目录本章目录本章目录1.11.21.31.41.51.61.3.1 单变量拟合单变量
12、拟合 二次拟合二次拟合实例实例n将上面数据代入式 (1-14) ，相应的法方程为：解方程得：a0 =0.66667 , a1 = -1.39286 , a2 = -0.13095 总目录总目录本章目录本章目录1.11.21.31.41.51.61.3.1 单变量拟合单变量拟合 二次拟合二次拟合实例实例n拟合曲线的均方误差：n结果见图 1-6。二次曲线的拟合程序可利用后面引见的单变量n次拟合程序。 图 1-6 拟合曲线与数据序列总目录总目录本章目录本章目录1.11.21.31.41.51.61.3.2 多变量的曲线拟合多变量的曲线拟合n实践在化工实验数据处置及模型参数拟合时，通常会碰到多变量的参
13、数拟合问题。一个典型的例子是传热实验中努塞尔准数和雷诺及普兰德准数之间的拟合问题： 1-16 求出方程1-16中参数c1、c2、c3 这是一个有两个变量的参数拟合问题 总目录总目录本章目录本章目录1.11.21.31.41.51.61.3.2 多变量的曲线拟合多变量的曲线拟合为不失普通性，我们把它表达成以下方式：给定数据序列 用一次多项式函数拟合这组数据。设 ，作出拟合函数与数据序列的均方误差： (1-17) 总目录总目录本章目录本章目录1.11.21.31.41.51.61.3.2 多变量的曲线拟合多变量的曲线拟合n由多元函数的极值原理，Q( a0 ,a1 ,a2 )的极小值满足：整理得多变
14、量一次多项式函数拟合的法方程：1-18 总目录总目录本章目录本章目录1.11.21.31.41.51.61.3.2 多变量的曲线拟合多变量的曲线拟合n经过求解方程1-18就可以得到多变量函数线性拟合时的参数。n我们可以经过对方程1-16两边同取对数，就可以得到以下线性方程： 1-19 只需作如下变量代换：并将实验数据代入法方程1-18就可以求出方程1-16中的系数。 总目录总目录本章目录本章目录1.11.21.31.41.51.61.3.2 多变量的曲线拟合多变量的曲线拟合 实实例例n例1.3： 根据某传热实验测得如下数据，请用方程1-16的方式拟合实验曲线。Nu1.1272.4162.205
15、2.3121,4846.0387.325Re100 200 300 500 100 700 800Pr2410.3534总目录总目录本章目录本章目录1.11.21.31.41.51.6n解：利用已给的VB程序，将数据依次输入，就可以得到方程1-16中的三个参数：1.3.2 多变量的曲线拟合多变量的曲线拟合 实例实例那么1-16式就变成了常见的光滑管传热方程：总目录总目录本章目录本章目录1.11.21.31.41.51.6n假设拟合方程的方式和方程1-16不同，那么需对上面提供的程序作适当修正。如对以下两个自变量的拟合函数： n其中n1和n2是知系数，我们可以将看作，看作，得到上面拟合函数的法方
16、程： 1.3.2 多变量的曲线拟合多变量的曲线拟合 实例实例1-20 总目录总目录本章目录本章目录1.11.21.31.41.51.61.4 解矛盾方程组解矛盾方程组 n用最小二乘法求解线性矛盾方程的方法来构造拟合函数，并将其推行至恣意次和恣意多个变量的拟合函数。n给定数据序列xi,yi,i=1, 2 , , m ，做拟合直线p (x) = a0 + a1x ，假设要直线 p (x)过这些点，那么就有 p (xi ) = a0 + a1xi =yi, i=1, 2 , , m , 即 ：矩阵方式： 总目录总目录本章目录本章目录1.11.21.31.41.51.61.4 解矛盾方程组解矛盾方程组
17、n普通地，将含有n个未知量m个方程的线性方程组： 矩阵方式 普通情况下，当方程数n多于变量数m，且m个方程之间线性不相关, 那么方程组无解，这时方程组称为矛盾方程组。 总目录总目录本章目录本章目录1.11.21.31.41.51.61.4 解矛盾方程组解矛盾方程组n方程组在普通意义下无解，也即无法找到n个变量同时满足m个方程。这种情况和拟合曲线无法同时满足一切的实验数据点相仿，故可以经过求解均方误差 极小意义下矛盾方程的解来获取拟合曲线。 n由数学的知识还将证明：方程组ATAX = AT b的解就是矛盾方程组AX = b 在最小二乘法意义下的解，这样我们只需经过求解ATAX = AT b就可以
18、得到矛盾方程的解，进而得到各种拟合曲线，为拟合曲线的求解提高了另一种方法。 总目录总目录本章目录本章目录1.11.21.31.41.51.61.4 解矛盾方程组解矛盾方程组n例如，拟合直线p (x ) = a0 +a1x的矛盾方程组ATAX = AT b的方式如下：化简得到与式(1-12)一样的法方程：总目录总目录本章目录本章目录1.11.21.31.41.51.61.4 解矛盾方程组解矛盾方程组n对于n次多项式曲线拟合，要计算n Q ( a0 ,a1 , , an )n的极小问题。这与解矛盾方程组 ：或 与求 的极小问题是一回事。 总目录总目录本章目录本章目录1.11.21.31.41.51
19、.61.4 解矛盾方程组解矛盾方程组在这里 故对离散数据xi,yi,i=1, 2 , , m ；所作的n次拟合曲线y=，可经过解以下方程组求得： 1-21 总目录总目录本章目录本章目录1.11.21.31.41.51.61.4 解矛盾方程组解矛盾方程组n假设拟合函数有n个自变量并进展一次拟合，那么其拟合函数为：n 1-22 经过mmn次实验，丈量得到了m组 的实数据，那么可得到上面n个自变量拟合函数的法方程总目录总目录本章目录本章目录1.11.21.31.41.51.61.4 解矛盾方程组解矛盾方程组n只需对法方程1-22稍加修正，就可以得到有n个自变量的恣意次方的拟合函数的法方程，经过法方程
20、的求，就可以得到拟合函数中的各项系数。 1-23 总目录总目录本章目录本章目录1.11.21.31.41.51.61.4 解矛盾方程组解矛盾方程组 实例实例n例 1.4：利用解矛盾方程的方法，用二次多项式函数拟合下面数据。 x -3 -2 -1 0 1 2 3 y 4 2 3 0 -1 -2 -5总目录总目录本章目录本章目录1.11.21.31.41.51.61.4 解矛盾方程组解矛盾方程组 实例实例n解：记二次拟合曲线为 ，构成法方程 总目录总目录本章目录本章目录1.11.21.31.41.51.61.4 解矛盾方程组解矛盾方程组 实例实例得到：解方程得到：a0 = 0.66667 , a1
21、 = -1.39286 , a2 = -0.13095 总目录总目录本章目录本章目录1.11.21.31.41.51.61.4 解矛盾方程组解矛盾方程组 实例实例n例 1.5：给出一组数据，见下表。用解矛盾方程的思绪将下面数据拟合成 的阅历公式。x-3 -2 -1 2 4y14.3 8.3 4.7 8.3 22.7总目录总目录本章目录本章目录1.11.21.31.41.51.61.4 解矛盾方程组解矛盾方程组 实例实例n解：列出法方程： 而：总目录总目录本章目录本章目录1.11.21.31.41.51.61.4 解矛盾方程组解矛盾方程组 实例实例n故法方程为：n解方程得：na = 10.675
22、 , b = 0. n拟合曲线为：总目录总目录本章目录本章目录1.11.21.31.41.51.61.5 梯度法拟合参数梯度法拟合参数n前面曾经提到函数拟合的目的是使拟合函数和实践丈量值之间的差的平方和为最小，也就求下面函数的最小值：min Q ( a0 ,a1 , , an ) 1-24 对于最小值问题,梯度法是用负梯度方向作为优化搜索方向。 总目录总目录本章目录本章目录1.11.21.31.41.51.61.5 梯度法拟合参数梯度法拟合参数n梯度是一个向量,假设们用向量变量U来表示一切的拟合系数a0 ,a1 , , an，用函数f(U)来替代Q ( a0 ,a1 , , an )，那么函数
23、下降最快的方向为：nSk=- f(U) (1-25)n在梯度法中,新点由下式得到nUk+1=UK- k f(UK) (1-26) n 总目录总目录本章目录本章目录1.11.21.31.41.51.61.5 梯度法拟合参数梯度法拟合参数梯度法的计算步骤为：(1)选择初始点U0；(2)用数值法(或解析法)计算偏导数 ；(3)计算搜索方向向量： Sk= - ；(4)在Sk方向上作一维搜索，即求解单变量()优化问题 f(Uk+ Sk) 由一维搜索的解k ，求出新点 Uk+1= Uk+kSk 总目录总目录本章目录本章目录1.11.21.31.41.51.61.5 梯度法拟合参数梯度法拟合参数n(5)作停
24、顿搜索判别。假设不满足精度要求，前往步骤(2)，反复进展计算。梯度法停顿搜索的判据为：n这个算法的优点是迭代过程简单，要求的存贮也少，而且在远离极小点时，函数的下降还是比较快的。因此，常和其它方法结合，在计算的前期运用此法，当接近极小点时，再改用其它的算法，如共轭梯度法。 总目录总目录本章目录本章目录1.11.21.31.41.51.61.5 梯度法拟合参数梯度法拟合参数n共轭梯度法的计算步骤为：n(1)选择初始点U0或其它方法计算得到的最后点；n(2)计算梯度g0= f(U0) ,以负梯度方向作为初始搜索方向 S0=- g0n (3)在S0 方向上作一维搜索,得到新点U1；nU1= U0+
25、S0n (4)计算U1点的梯度g1=f(U1)。新的搜索方向S1 ,即共轭方向,为S0与g1的线性组合；nS1=- g1+ S0 总目录总目录本章目录本章目录1.11.21.31.41.51.61.5 梯度法拟合参数梯度法拟合参数 对于k1，上式为 Sk+1=-gk+1+Sk 可以证明,由上式得到的方向Sk+1与Sk共轭。 对于多元函数,在n次搜索后(n为变量数)，令U0=Uk+1,然后回到第1步,重新计算共轭方向。 (5)作停顿搜索判据，假设满足，那么停顿搜索。否那么回到第2步，进展反复计算。总目录总目录本章目录本章目录1.11.21.31.41.51.61.5 梯度法拟合参数梯度法拟合参数
26、 实例实例n例1-8 利用梯度法，用Antoine公式n拟合DEM饱和蒸气压和温度之间的关系。 n解：分析Antoine公式的方式，假设采用解矛盾方程法求解，在进展函数和变量变换后，仍需求进展对C的优化求解，而采用梯法，可直接优化求解，其优化函数为：总目录总目录本章目录本章目录1.11.21.31.41.51.61.6 吸附等温曲线回归吸附等温曲线回归总目录总目录本章目录本章目录1.11.21.31.41.51.6n1.6.1 吸附等温曲线的常见类型吸附等温曲线的常见类型 n1.6.2 几种常用的吸附等温曲线回归方法几种常用的吸附等温曲线回归方法n1.6.3 回归方法的比较回归方法的比较1.6
27、.1 吸附等温曲线的常见类型吸附等温曲线的常见类型 n普通有物理吸附和化学吸附两种。n对于物理吸附而言,单位分量吸附剂吸附吸附质的多少(吸附量)是衡量吸附剂性能好坏的重要目的。n常见吸附等温曲线有以下五种类型，各种不同的类型阐明了n不同的吸附机理，以第一种为例，它是典型的单分子层吸附，其等温曲线的回归常采用兰缪尔法。总目录总目录本章目录本章目录1.11.21.31.41.51.61.6.2 几种常用的吸附等温曲线回归方法图19 五种不同类型的吸附等温曲线 总目录总目录本章目录本章目录1.11.21.31.41.51.61.6.2 几种常用的吸附等温曲线回归方法 n1.第一种方法采用Freund
28、lich 阅历式：n 将k和n看成是吸附温度Ta的函数，改良方式： n 对方程1-28两边同取自然对数可得：(1-28) (1-29) 总目录总目录本章目录本章目录1.11.21.31.41.51.61.6.2 几种常用的吸附等温曲线回归方法n2.第二种方法采用兰缪尔方程：n 为吸附质在吸附温度时的相对压力，其表达式为： n 对方程1-30两边同取倒数可得： n (1-30) (1-31) 将1/m当作y，1/pt当作x，利用实验测得的数据，进展线性回归就可以得到a和b值。然后再由a和b的值求出k1和k2值。 总目录总目录本章目录本章目录1.11.21.31.41.51.61.6.2 几种常用
29、的吸附等温曲线回归方法n3.第三种方法采用DP 方程：为吸附质在吸附温度时的密度，V0及K是我们所要求的参数。方程(1-32)用于吸附量的预测具有较好的精度，但的次数并不是2 最正确，普通在14之间。 (1-32) 总目录总目录本章目录本章目录1.11.21.31.41.51.61.6.2 几种常用的吸附等温曲线回归方法n4.第四种方法采用改良型 DP方程： n 对方程1-27两边同取对数可得： (1-33) (1-34) 总目录总目录本章目录本章目录1.11.21.31.41.51.61.6.3 回归方法的比较回归方法的比较回归方法兰缪尔方程DP 方程改良型 DP方程绝对平均偏向 (%)10
30、.184.993.36表12 各种吸附回归方法的误差比较利用第四种方法回归所得的方程去预测吸附量较为准确。其回归方程如下： (1-35) 表1-1是活性炭甲醇工质对吸附量的几种回归方法的误差比较。 总目录总目录本章目录本章目录1.11.21.31.41.51.61.6.3 回归方法的比较回归方法的比较 经过对吸附量预测方程的详细回归计算，我们得到以下几点认识：1.利用实验数据进展回归，回归方程的计算值和实验数据之间总有一定的偏向；2.不同的回归方程，具有不同的偏向，应多试几种回归方程，找到偏向最小的回归方程及其相应参数；3.当回归方程不能直接利用线性回归求解其参数时，可将回归方程进展诸如取对数、倒数、合并及变量假设等一系列方法进展处置，使处置后的回归方程可用线性回归的方法求出各参数。 总目录总目录本章目录本章目录1.11.21.31.41.51.6
