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1、三角形的内角是三角形内部的三角形的内角是三角形内部的骄子骄子什么都没有呀，让人什么都没有呀，让人感到很无奈感到很无奈那三角形的外部呢？那三角形的外部呢？只要你添上一笔就精彩了只要你添上一笔就精彩了外外角角 那就让我们ABCDE 想一想想一想 同学们，你们知同学们，你们知不知道国旗上的五角不知道国旗上的五角星的五个角的和是多星的五个角的和是多少度吗少度吗?关注三角形的外角BACD如左图，把如左图，把ABC的一边的一边BC延长，得到延长，得到ACD,像这像这样，三角形的一边与另一边样，三角形的一边与另一边的延长线组成的角，叫做的延长线组成的角，叫做三三角形的外角角形的外角6070 上图中上图中A=
2、70, B =60 ACD是是ABC的的一个外角一个外角,你能求出你能求出ACD 是多少度？是多少度？画图并思考：画图并思考：画一个画一个ABC ，你能画出它的所有你能画出它的所有外角来吗？请动手外角来吗？请动手试一试试一试同时同时想一想想一想ABC的外角共有几个呢？的外角共有几个呢？归纳：归纳：每一个三角形都有每一个三角形都有个个外角外角每一个顶点相对应的外角都有每一个顶点相对应的外角都有个个每个外角与相应的内角是每个外角与相应的内角是邻补角邻补角 已知A60B50则1_2_ 探一探探一探ABCD21ABCD12已知A30B40则1_2_根据以上结果，你能找到三角形外角外角与内角内角之间的关
3、系吗？请大胆写出来！7011011070关注三角形的外角BACD由上边的计算结果，你发现了什么由上边的计算结果，你发现了什么你能得到什么结论你能得到什么结论三角形的一个外角等于和它不相邻三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和的两个内角的和. .三角形的一个外角大于任何一个和三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角它不相邻的内角. .1（CE/BA）AE证一证证一证擅长画平行线的小明用另一种方法擅长画平行线的小明用另一种方法解释了这个性质，看动画，你知道解释了这个性质，看动画，你知道他是怎么解释的吗？他是怎么解释的吗？CBD三角形外角与内角关系有：相邻时相邻时: :+= =1800 ;
4、 探索思考探索思考w用文字表述为:w三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和.w三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角.ABCD21不相邻时相邻时: :=A+BABw在这里,我们通过三角形内角和定理直接推导出两个新定理.像这样,由一个公理或定理直接推出的定理,叫做这个公理或定理的推论(corollary).w推论可以当作定理使用. w三角形内角和定理的推论:w推论1: 三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和.w推论2: 三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角. 关注关注外角外角ABCD21数学语言数学语言推论1: =A+B. 推论2: A;B;3、三角形的一个外角、三角形
5、的一个外角大于大于任何任何一个与它一个与它不相不相邻邻的内角。的内角。2 2、三角形的一个外角、三角形的一个外角等于等于与它与它不相邻不相邻的两的两个内角的个内角的和和；1 1、三角形的一个外角与它、三角形的一个外角与它相邻相邻的内角的内角互补互补；三角形的外角与内角的关系：三角形的外角与内角的关系：我能行已知:如图,在ABC中,外角DCA=100,A=45.求:B和ACB的大小. 随堂练习随堂练习ABCD 如图，如图，D 是是ABC 的的BC 边上一点，边上一点， BBAD，ADC8080，B BAC=70=70. . 求：（求：（1 1）B 的度数；的度数； （2 2）C 的度数的度数.
6、.典型例题典型例题5.如图：已知在如图：已知在ABCABC中，中，EFEF与与ACAC交于点交于点G G，与与BCBC的延的延长线交于点长线交于点F F，B B=45=450 ，F F=30=300，CGFCGF=70=700， 求求A A的度数的度数. .AEGFCB如图，如图，BAEBAE，CBFCBF，ACDACD是是ABCABC的三个外角，你能利用三角形的内角的三个外角，你能利用三角形的内角和等于和等于1801800 0求出这三个外角的和吗？求出这三个外角的和吗？ABCDEFABC123方法方法1 1方法方法2 2三角形的外角和定理：三角形的外角和定理：三角形的外角和等于三角形的外角和
7、等于36036012 3 ?从哪些途径探究这个结果从哪些途径探究这个结果议一议议一议ABC123 2 ABC=180 3 ACB=180三个式子相加得到三个式子相加得到 1 2 3 BAC ABC ACB=540而而 BAC ABC ACB=180 1 2 3360 1 BAC=180解：解：解：过解：过解：过解：过A A作作作作ADAD平行于平行于平行于平行于BCBC 3 3 4 4BC1234A 2 2 BADBAD所以，所以，所以，所以， 1 1 2 2 3 3 1 1 4 4 BAD=360BAD=360两直线平行，两直线平行，两直线平行，两直线平行，同位角相等同位角相等同位角相等同位
8、角相等D“行家”看“门道”w 已知已知:如右图如右图,在在ABC中中,AD平分外角平分外角EAC,B= C. 求证求证:ADBC.w证明: EAC=B+C (三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和),w AD BC(内错角相等,两直线平行).w B=C (已知),w DAC=C(等量代换).ACDBEw分析:要证明ADBC,只需要证明“同位角相等”,“内错角相等”或“同旁内角互补”. AD平分 EAC(已知).C= EAC(等式性质).DAC= EAC(角平分线的定义).例题是运用了定理“内错角相等,两直线平行”得到了证实.已知已知:如图所示如图所示.求证求证:(1)BDCA;(2) B
9、DC=A+B+C.证明证明(1): BDC是是DCE的一个的一个外角外角 (外角意义外角意义), BDCCED(三角形的一个外角大于和三角形的一个外角大于和它不相邻的任何一个外角它不相邻的任何一个外角). DECA(三角形的一个外角大于和它不相邻的三角形的一个外角大于和它不相邻的任何一个外角任何一个外角). BDCA (不等式的性质不等式的性质). DEC是是ABE的一个外角的一个外角 (外角意义外角意义),BCADE关注三角形的外角关注三角形的外角已知已知:如图所示如图所示.求证求证:(1)BDCA;(2) BDC=A+B+C.证明证明(2): BDC是是DCE的一个的一个外角外角 (外角意
10、义外角意义), BDC =C+CED(三角形的一个外角等三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和于和它不相邻的两个内角的和). DEC=A+ B(三角形的一个外角等于和它不相三角形的一个外角等于和它不相邻的两个外角的和邻的两个外角的和). BDC=A+B+C (等式的性质等式的性质). DEC是是ABE的一个外角的一个外角 (外角意义外角意义),BCADE关注三角形的外角关注三角形的外角已知:五角星如图所示.求:A+B+C+D+E的度数.解:1是BDF的一个外角 1=B+D分析:设法利用外角把这五个角“凑”到一个三角形中,运用三角形内角和定理来求解.又A+1+2=180( ? )又 2是E
11、HC的一个外角 2=C+EABCDEF1H2 A+B+C+D+E =180想一想想一想练一练练一练AABBCCDDEEFF . .ADECFB1233600NPM判断题：判断题：1 1、三角形的外角和是指三角形所有外角的和。（、三角形的外角和是指三角形所有外角的和。（ ）2 2、三角形的外角和等于它内角和的、三角形的外角和等于它内角和的2 2倍。（倍。（ ）3 3、三角形的一个外角等于两个内角的和。（、三角形的一个外角等于两个内角的和。（ ）4 4、三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和。、三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和。（ ）5 5、三角形的一个外角大于任何一个内角。（、
12、三角形的一个外角大于任何一个内角。（ ）6 6、三角形的一个内角小于任何一个与它不相邻的外角。、三角形的一个内角小于任何一个与它不相邻的外角。（ ）例题例题2：在ABC中，ADBC，AE平分BAC，B=80 C=30 （1）求DAE（2）你能发现DAE与B、C的关系吗？（3）若只知B-C=20，你能求出DAE吗？ABCDEABC中，B、C的内角（外角）平分线交于D，已知A=x,用x的式子表示BDC 如图，类似于三角形，我们称如图，类似于三角形，我们称1+ 2+ 3+ 4为四边形的外角和，为四边形的外角和，已知四边形的内角和为已知四边形的内角和为360，你能用今，你能用今天所学的方法进行推理计算吗？能知道天所学的方法进行推理计算吗？能知道多边形的外角和吗多边形的外角和吗?1234ABCD已知：已知：P是是ABC内一点。内一点。求证：求证：BPCBACABCPD关注三角形的外角w三角形内角和定理的推论:w推论1: 三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和.w推论2: 三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角.wABC中: 推论1: =A+B. 推论2: A;B;小 结w这个结论以后可以直接运用.ABCD21
