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1、8.5开放探究型中考数学中考数学 (湖南专用)1.(2018湖南邵阳,26,10分)如图所示,将二次函数y=x2+2x+1的图象沿x轴翻折,然后向右平移1个单位,再向上平移4个单位,得到二次函数y=ax2+bx+c的图象.函数y=x2+2x+1的图象的顶点为点A.函数y=ax2+bx+c的图象的顶点为点B,和x轴的交点为点C,D(点D位于点C的左侧).(1)求函数y=ax2+bx+c的解析式;(2)从A,C,D三个点中任取两个点和点B构造三角形,求构造的三角形是等腰三角形的概率;(3)若点M是线段BC上的动点,点N是ABC三边上的动点,是否存在以AM为斜边的RtAMN,使AMN的面积为ABC面
2、积的?若存在,求tanMAN的值;若不存在,请说明理由.好题精练解析解析(1)y=x2+2x+1=(x+1)2的图象沿x轴翻折,得y=-(x+1)2.把y=-(x+1)2向右平移1个单位,再向上平移4个单位,得y=-x2+4,所求的函数y=ax2+bx+c的解析式为y=-x2+4.(2)y=x2+2x+1=(x+1)2,A(-1,0),当y=0时,-x2+4=0,解得x=2,则D(-2,0),C(2,0).当x=0时,y=-x2+4=4,则B(0,4),从A,C,D三个点中任取两个点和点B构造三角形,有ACB,ADB,CDB,AC=3,AD=1,CD=4,AB=,BC=2,BD=2,BCD为等
3、腰三角形,构造的三角形是等腰三角形的概率=.(3)存在.易得直线BC的解析式为y=-2x+4,SABC=ACOB=34=6,设点M的坐标为(m,-2m+4)(0m2).当N点在AC上时,如图1,图1AMN的面积为ABC面积的,(m+1)(-2m+4)=2,解得m1=0,m2=1,当m=0时,M点的坐标为(0,4),N(0,0),则AN=1,MN=4,tanMAC=4;当m=1时,M点的坐标为(1,2),N(1,0),则AN=2,MN=2,tanMAC=1.当N点在BC上时,如图2,图2BC=2,BCAN=ACBO,解得AN=,SAMN=ANMN=2,MN=,tanMAN=.当N点在AB上,如图
4、3,作AHBC于H,设AN=t,则BN=-t,图3由得AH=,则BH=,NBC=HBA,BNMBHA,=,即=,MN=,ANMN=2,即t=2,整理得3t2-3t+14=0,=(-3)2-4314=-150时,抛物线的对称轴上是否存在一点C,使得C同时与x轴和直线AP都相切?如果存在,请求出点C的坐标;如果不存在,请说明理由.解析解析(1)y=-x2+mx+n,对称轴为x=-=1,m=,将A(2,3)代入y=-x2+x+n,得n=3,抛物线的解析式为y=-x2+x+3.(2)过A作ADx轴于D,过B作BEx轴于E,则PADPBE,=,A(2,3),AD=3,BE=1,设B(x,1),代入抛物线
5、的解析式得,x1=4,x2=-2,B(4,1)或B(-2,1),y=-x+5或y=x+2.(3)存在.理由如下:k0时,y=x+2,P(-4,0).假设存在,设C(1,y),对称轴与y=x+2的交点为M、与x轴交点为G,y=x+2与y轴的交点为H,则M,H(0,2),当C在第一象限时,过C作CFAP于F,MGy轴,PHO=FMC,又HOP=MFC=90,CMFPHO,=,OP=4,PH=2,CM=-y,CF=,由题意得CF=CG,y=,解得y=5(-2)=5-10.C(1,5-10);同理,当C在第四象限时,-y=,y=-10-5,C(1,-10-5).综上所述,C(1,5-10)或C(1,-
6、10-5).思路分析思路分析(1)根据抛物线的对称轴为直线x=1可求出m的值,再将点A的坐标代入抛物线的解析式中求出n的值.(2)根据PAPB=31,结合点A的坐标即可得出点B的纵坐标,将其代入抛物线解析式中即可求出点B的坐标,再根据点A、B的坐标利用待定系数法即可求出直线AP的解析式;(3)假设存在,设出点C的坐标,依照题意画出图形,利用相似三角形的性质表示出C到直线AP的距离,根据圆与直线相切的性质即可求得C点的纵坐标,进而得出结论.解题关键解题关键(1)对抛物线性质熟练掌握;(2)巧妙运用三角形相似将边长比例转化为横、纵坐标之间的比例关系;(3)画出示意图并根据相切的条件找出题中的等量关
7、系.3.(2016湖南长沙,26,10分)如图,直线l:y=-x+1与x轴,y轴分别交于A,B两点,点P,Q是直线l上的两个动点,且点P在第二象限,点Q在第四象限,POQ=135.(1)求AOB的周长;(2)设AQ=t0,试用含t的代数式表示点P的坐标;(3)当动点P,Q在直线l上运动到使得AOQ与BPO的周长相等时,记tanAOQ=m.若过点A的二次函数y=ax2+bx+c同时满足以下两个条件:6a+3b+2c=0;当mxm+2时,函数y的最大值等于.求二次项系数a的值.解析解析(1)对函数y=-x+1,令x=0,则y=1,B(0,1),令y=0,则x=1,A(1,0),则OA=1,OB=1
8、,AB=,AOB的周长为1+1+=2+.(2)因为OA=OB,故ABO=BAO=45,PBO=QAO=135,设POB=x,则OPB=45-x,AOQ=45-x,OPB=AOQ,PBOOAQ,故=,PB=.过P作PHOB于点H,易知PHB为等腰直角三角形,则PH=HB=,P.(3)由(2)知PBOOAQ,若它们周长相等,则相似比为1,则PB=OA=1,AQ=OB=1,t=1,易得Q,m=-1.抛物线过A点,a+b+c=0,而6a+3b+2c=0,b=-4a,c=3a.抛物线的对称轴为x=2.若a0,则当x=-1时,y取最大值,最大值为=2+2,即(-1)2a+(-1)b+c=2+2,解得a=.
9、若a0,则当x=2时,y取最大值,最大值为2+2,即4a+2b+c=2+2,解得a=-2-2.综上,所求a的值为或-2-2.4.(2016湖南郴州,26,12分)如图1,矩形ABCD中,AB=7cm,AD=4cm,点E为AD上一定点,点F为AD延长线上一点,且DF=acm.点P从A点出发,沿AB边向点B以2cm/s的速度运动.连接PE,设点P运动的时间为ts,PAE的面积为ycm2.当0t1时,PAE的面积y(cm2)关于时间t(s)的函数图象如图2所示.连接PF,交CD于点H.(1)t的取值范围为,AE=cm;(2)如图3,将HDF沿线段DF进行翻折,与CD的延长线交于点M,连接AM.当a为
10、何值时,四边形PAMH为菱形?并求出此时点P的运动时间t;(3)如图4,当点P出发1s后,AD边上另一动点Q从E点出发,沿ED边向点D以1cm/s的速度运动.如果P,Q两点中的任意一点到达终点后,另一点也停止运动.连接PQ,QH.若a=,请问PQH能否构成直角三角形?若能.请求出点P的运动时间t;若不能,请说明理由.解析解析(1)0t3.5;1.(2分)(2)若四边形PAMH为菱形,则PAHM,且PA=HM,AM=HM.又MDF是由HDF沿线段DF进行翻折而得到的,HDF=ADM=90,HD=DM.由题意可知PAFHDF,=.DF=a,AF=4+a,=,a=4.(4分)在RtADM中,AM=P
11、A=2t,DM=t,AM2=DM2+AD2,4t2=42+t2,解得t=或t=-(舍去).当a=4时,四边形PAMH为菱形,此时点P的运动时间为s.(6分)(3)解法一:当a=时,由题意得,AQ=t,QD=4-t,=,HD=2t=.过P作PG垂直于CD,垂足为G(如答图1),则GH=2t-=t,在RtPAQ中,PQ2=PA2+AQ2=5t2,在RtHQD中,QH2=QD2+HD2=(4-t)2+t2,在RtPGH中,PH2=PG2+HG2=16+t2.(9分)图1若PQH为直角三角形,当Q为直角顶点时,则5t2+(4-t)2+t2=16+t2,解得t=2或t=0(舍去).当H为直角顶点时,则1
12、6+t2+(4-t)2+t2=5t2,解得t=或t=-8(舍去).当P为直角顶点时,则5t2+16+t2=(4-t)2+t2,解得t=-(舍去)或t=0(舍去).当t=2或t=时,PQH为直角三角形.(12分)解法二:由题意可知,PA=2t,AQ=t,HD=t,QD=4-t,HG=t.若PQH为直角三角形,当Q为直角顶点时,由PAQQDH,得=,即=,解得t=2或t=0(舍去).(9分)当H为直角顶点时(如图2),由QHDHFD,得=,图2即=,解得t=或t=-8(舍去).(11分)当P为直角顶点时,不可能.当t=2或t=时,PQH为直角三角形.(12分)评析评析本题是四边形综合题,考查相似三
13、角形的判定和性质,勾股定理等知识.5.(2015山东聊城,25,12分)如图,在直角坐标系中,RtOAB的直角顶点A在x轴上,OA=4,AB=3.动点M从点A出发,以每秒1个单位长度的速度,沿AO向终点O移动;同时点N从点O出发,以每秒1.25个单位长度的速度,沿OB向终点B移动,当两个动点运动了x秒(0x4)时,解答下列问题:(1)求点N的坐标(用含x的代数式表示);(2)设OMN的面积为S,求S与x之间的函数表达式;当x为何值时,S有最大值?最大值是多少?(3)在两个动点运动的过程中,是否存在某一时刻,使OMN是直角三角形?若存在,求出x的值;若不存在,请说明理由.解析解析(1)由题意知,
14、ON=1.25x.在RtOAB中,由勾股定理得OB=5.(1分)如图1,作NPOA于点P,则NPAB.图1OPNOAB.(2分)=,即=,解得OP=x,PN=x.点N的坐标是.(3分)(2)由题意知MA=x.在OMN中,OM=4-x,OM边上的高PN=x,S=OMPN=(4-x)x=-x2+x.S与x之间的函数表达式为S=-x2+x(0x4).(5分)配方得S=-(x-2)2+.当x=2时,S有最大值,最大值是.(6分)(3)存在某一时刻,使OMN是直角三角形.理由如下:如图2,若OMN=90,则MNAB.此时OM=4-x,ON=1.25x.图2MNAB,OMNOAB,(7分)=,即=,解得x
15、=2.(8分)如图3,若ONM=90,则ONM=OAB.此时OM=4-x,ON=1.25x.图3ONM=OAB,MON=BOA,OMNOBA,(10分)=,即=,解得x=.综上所述,x的值是2或.(12分)评析评析计算OMN的最大面积是本题的难点,此类题目一般是将图形面积转化为二次函数最值问题来解答.探索OMN是直角三角形是本题的另一个难点,一般采用逆向思维,假设存在,在此基础上根据相似、三角函数或勾股定理等列方程求解.6.(2015河南,22,10分)如图1,在RtABC中,B=90,BC=2AB=8,点D,E分别是边BC,AC的中点,连接DE.将EDC绕点C按顺时针方向旋转,记旋转角为.(
16、1)问题发现当=0时,=;当=180时,=;(2)拓展探究试判断:当0360时,的大小有无变化?请仅就图2的情形给出证明;(3)问题解决当EDC旋转至A,D,E三点共线时,直接写出线段BD的长.解析解析(1).(1分).(2分)(2)无变化.(注:若无判断,但后续证明正确,不扣分)(3分)证明:在题图1中,DE是ABC的中位线,DEAB.=,EDC=B=90.如题图2,EDC在旋转过程中形状和大小不变,=仍然成立.(4分)又ACE=BCD=,ACEBCD.=.(6分)在RtABC中,AC=4.=,=.的大小不变.(8分)(3)4或.(10分)【提示】当EDC在BC上方,且A,D,E三点共线时,
17、四边形ABCD为矩形,BD=AC=4;当EDC在BC下方,且A,E,D三点共线时,ADC为直角三角形,由勾股定理可求得AD=8,AE=6,根据=可求得BD=.7.(2015湖南永州,27,10分)问题探究:(一)新知学习:圆内接四边形的判定定理:如果四边形的对角互补,那么这个四边形内接于圆(即如果四边形EFGH的对角互补,那么四边形EFGH的四个顶点E,F,G,H都在同一个圆上).(二)问题解决:已知O的半径为2,AB,CD是O的直径,P是上任意一点,过点P分别作AB,CD的垂线,垂足分别为N,M.(1)若直径ABCD,对于上任意一点P(与B,C不重合)(如图1),证明:四边形PMON内接于圆
18、,并求此圆直径的长;(2)若直径ABCD,在点P(与B,C不重合)从B运动到C的过程中,证明:MN的长为定值,并求其定值;(3)若直径AB与CD相交成120角.当点P运动到的中点P1时(如图2),求MN的长;在点P(与B,C不重合)从B运动到C的过程中(如图3),证明MN的长为定值;(4)试问当直径AB与CD相交成多少度角时,MN的长取最大值?并写出其最大值.解析解析(1)证明:连接OP,则OP=2.PMCD,PNAB,PMO=PNO=90.PMO+PNO=180.四边形PMON内接于圆.ABCD,MON=90.又PMO=PNO=90,四边形PMON是矩形.OP即为所求直径,OP=2.(2)证
19、明:由(1)知,四边形PMON是矩形.MN=OP.OP=2(是定值),MN的长也为定值,其定值为2.(3)连接OP1.则OP1=2.P1是的中点,COP1=BOP1=BOC=60.OP1M=OP1N=30.OM=ON=OP1=1.P1M=P1N=.P1MO=P1NO=90,点O,M,P1,N都在以OP1为直径的同一个圆上.MON+MP1N=180,MON=120,MP1N=60.P1M=P1N=,MP1N是等边三角形,MN=P1M=P1N=.证明:连接OP,则OP=2.取OP的中点O,并分别连接OM,ON.PMO=PNO=90,点O,M,P,N都在以OP为直径的O上.OM=ON=OP=1.MO
20、N+MPN=180,MON=120,MPN=60.MON=2MPN=120.OMN=ONM=30.过点O作OEMN于点E.则OE=OM=,ME=.MN=2ME=.MN的长为定值.(4)如图,连接OP,则OP=2.取OP的中点O,并分别连接OM,ON.PMO=PNO=90,点O,M,P,N都在以OP为直径的O上.OM=ON=OP=1.在MNO中,MNOM+ON=2,当且仅当点M,O,N在同一条直线上时,等号成立.此时MON=180,则MPN=MON=90.点O,M,P,N四点共圆,MON=180-MPN=180-90=90.当直径AB与CD相交成90角时,MN的长取最大值,其最大值为2.8.(2
21、014湖南岳阳,23,10分)数学活动求重叠部分的面积.(1)问题情境:如图,将顶角为120的等腰三角形纸片(纸片足够大)的顶点P与等边ABC的内心O重合,已知OA=2,则图中重叠部分PAB的面积为;(2)探究1:在(1)的条件下,将纸片绕P点旋转至如图所示的位置.纸片两边分别与AC,AB交于点E、F,图中重叠部分的面积与图中重叠部分的面积是否相等?如果相等,请给予证明;如果不相等,请说明理由;(3)探究2:如图,若CAB=(090),AD为CAB的平分线,点P在射线AD上,且AP=2,以P为顶点的等腰三角形纸片(纸片足够大)与CAB的两边AC,AB分别交于点E、F,EPF=180-,求重叠部
22、分的面积.用或的三角函数值表示解析解析(1).(2)相等.证明:连接PA,PB.EPF=APB=120,EPA+FPA=FPB+FPA,EPA=FPB,又AO=BO,EAP=FBP,EAPFBP,S四边形PEAF=SPEA+SPAF=SPFB+SPAF=SPAB.题图中重叠部分的面积与题图中重叠部分的面积相等.(3)过P作PGAC于点G,PHAB于点H.AP是CAB的平分线,PG=PH,GPH=360-90-90-=180-,EPF=180-,EPG+EPH=FPH+EPH,EPG=FPH,在EGP和FHP中,EGPFHP,S四边形PEAF=SPFH+S四边形AEPH=SPEG+S四边形AEPH=S四边形PGAH=2SPAH.在PAH中,AP=2,sin=,cos=,PH=2sin,AH=2cos,S四边形PEAF=2SPAH=2PHAH=2sin2cos=4sincos.
