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1、定积分-4-应用08129南开大学 高等数学 （信息类） 主讲人： 王秀玲一、定积分的元素法一、定积分的元素法( (微元法微元法) )回顾回顾: 曲边梯形求面积的问题曲边梯形求面积的问题abxyo 曲边梯形由连续曲线y=f(x)(f(x)0) 、 x轴与两条直线x=a x=b 所围成.面积表示为定积分的步骤如下:1）把区间a,b分成n个长度为的小区间，相应的曲边梯形被分为n个小窄曲边梯形，第i个小窄 曲边梯形的面积为y=f(x)南开大学 高等数学 （信息类） 主讲人： 王秀玲南开大学 高等数学 （信息类） 主讲人： 王秀玲南开大学 高等数学 （信息类） 主讲人： 王秀玲南开大学 高等数学 （信
2、息类） 主讲人： 王秀玲南开大学 高等数学 （信息类） 主讲人： 王秀玲南开大学 高等数学 （信息类） 主讲人： 王秀玲南开大学 高等数学 （信息类） 主讲人： 王秀玲例例1. 求由曲线所围成的平面图形的面积(P-232-例4.1) . 解解: 以面积元素在0,2上作定积分南开大学 高等数学 （信息类） 主讲人： 王秀玲2。0y x例例2.2.444解方程组解方程组：得交点：得交点：(8, 4)(8, 4)， (2,2) (2,2)问题：选谁为积分变量？问题：选谁为积分变量？选y为积分变量面积元素y选择积分变量的原则:积分容易计算; 尽量少分割区域.南开大学 高等数学 （信息类） 主讲人： 王
3、秀玲例例3. 求椭圆解解: 利用对称性 , 所围图形的面积 . （P-234例4.4）有利用椭圆的参数方程应用定积分换元法得当 a = b 时得圆面积公式南开大学 高等数学 （信息类） 主讲人： 王秀玲一般地 , 当曲边梯形的曲边由参数方程 给出时,则曲边梯形面积南开大学 高等数学 （信息类） 主讲人： 王秀玲练习：练习：求由摆线的一拱与 x 轴所围平面图形的面积 .解解:Oyx南开大学 高等数学 （信息类） 主讲人： 王秀玲 ( )d o +d r =r( )元素法元素法1 取极角取极角 为积分变量，为积分变量， 其变化区间为其变化区间为 , 以圆扇形面积近似小曲边扇形面积，得到面积元素：. 曲边扇形的面积曲边扇形的面积dAA3 作定积分作定积分.r 极坐标系情形极坐标系情形南开大学 高等数学 （信息类） 主讲人： 王秀玲例例4. 求如图所示区域D的面积，解解:圆弧ABCO 的极坐标方程：南开大学 高等数学 （信息类） 主讲人： 王秀玲例例5. 解解: 图形与y轴对称，只需求右半部分，解方程组 南开大学 高等数学 （信息类） 主讲人： 王秀玲练习练习. . 计算心形线所围图形的面积 . 解解: :(利用对称性)2a南开大学 高等数学 （信息类） 主讲人： 王秀玲练习练习. 计算心形线与圆所围图形的面积 . 解解: 利用对称性 , 所求面积
