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1、学案学案3 3 函数的性质函数的性质 函数的函数的基本性质基本性质理解函数的单调性、最大（小）值及其理解函数的单调性、最大（小）值及其几何意义；了解函数奇偶性的含义几何意义；了解函数奇偶性的含义. 1.函数的单调性与最值在高考中常以选择、填空题形函数的单调性与最值在高考中常以选择、填空题形式出现，但近几年高考常以导数为工具，研究函数的单式出现，但近几年高考常以导数为工具，研究函数的单调性，因此本部分内容在高考中占有十分重要的地位调性，因此本部分内容在高考中占有十分重要的地位. 2.函数的奇偶性常与函数的单调性、最值等结合考查，函数的奇偶性常与函数的单调性、最值等结合考查，是高考考查的热点是高考
2、考查的热点. 3.函数的奇偶性函数的奇偶性,以选择、填空题居多，且是高考考以选择、填空题居多，且是高考考查的热点，预测明年仍将是考查的热点查的热点，预测明年仍将是考查的热点. 1.函数的单调性 (1)单调函数的定义单调函数的定义设函数设函数f(x)的定义域为的定义域为I,如果对于定义域如果对于定义域I内某个区间内某个区间D上的任意两个自变量的值上的任意两个自变量的值x1,x2,当当x1x2时时, 若若 ,则则f(x)在区间在区间D上是上是 ; 若若 ,则则f(x)在区间在区间D上是上是 .f(x1)f(x2)增函数增函数 减函数减函数 (2)单调区间的定义单调区间的定义 若函数若函数f(x)在
3、区间在区间D上是上是 或或 ,那么就说函数那么就说函数 f (x) 在这一区间上具有在这一区间上具有 ( 严格的严格的 ) 单调性单调性, 叫做叫做f(x)的单调区间的单调区间. 2.奇函数、偶函数的概念 一般地，如果对于函数一般地，如果对于函数 f(x) 的定义域内任意一个的定义域内任意一个x ,都都 有有_ ，那么函数，那么函数f(x)就叫做偶函数就叫做偶函数. 一般地一般地 , 如果对于函数如果对于函数 f(x) 的定义域内任意一的定义域内任意一个个x , 都都 有有_,那么函数那么函数f(x)就叫做奇函数就叫做奇函数.增函数增函数 减函数减函数 区间区间D f(-x)=f(x) f(-
4、x)=-f(x) 3.奇偶函数的性质 (1)奇函数在关于原点对称的区间上的单调性奇函数在关于原点对称的区间上的单调性 ,偶函数在关于原点对称的区间上的单调性偶函数在关于原点对称的区间上的单调性 ( 填填 “相同相同” “相反相反”）. (2)在公共定义域内在公共定义域内, 两个奇函数的和是两个奇函数的和是 ,两个两个奇函数的积是奇函数的积是 ; 两个偶函数的和、积是两个偶函数的和、积是 ； 一个奇函数，一个偶函数的积是一个奇函数，一个偶函数的积是 .奇函数奇函数 相同相同 相反相反 奇函数奇函数 偶函数偶函数 偶函数偶函数 考点考点考点考点1 1 函数单调性的判定及证明函数单调性的判定及证明函
5、数单调性的判定及证明函数单调性的判定及证明 试讨论函数试讨论函数f(x)= ,x(-1,1)的单调性的单调性(其中其中a0).【分析分析分析分析】可根据定义可根据定义可根据定义可根据定义, ,先设先设先设先设-1x-1x1 1xx2 21,1,然后作差、变然后作差、变然后作差、变然后作差、变形、定号、判断；也可以求形、定号、判断；也可以求形、定号、判断；也可以求形、定号、判断；也可以求f(xf(x) )的导函数，然后判断的导函数，然后判断的导函数，然后判断的导函数，然后判断f(xf(x) )与零的大小关系与零的大小关系与零的大小关系与零的大小关系. . 【解析】解法一【解析】解法一:任取任取x
6、1,x2(-1,1),且且x10,则则y=f(x2)-f(x1)-1x1x21,|x1|1,|x2|1,x1-x20,x12-10,x22-10,|x1x2|1,即即-1x1x20, 0时时,y=f(x2)-f(x1)0,此时函数此时函数f(x)在在(-1,1)上为减函数上为减函数;当当a0,此时函数此时函数f(x)在在(-1,1)上为增函数上为增函数.解法二解法二:a0时时,f(x)0,函数函数f(x)在在(-1,1)上为减函数上为减函数;a0,函数函数f(x)在在(-1,1)上为增函数上为增函数. 【评析评析评析评析】对于给出具体解析式的函数对于给出具体解析式的函数对于给出具体解析式的函数
7、对于给出具体解析式的函数, ,判断或证明其判断或证明其判断或证明其判断或证明其在某区间上的单调性问题在某区间上的单调性问题在某区间上的单调性问题在某区间上的单调性问题, ,可以结合定义可以结合定义可以结合定义可以结合定义( (基本步骤为基本步骤为基本步骤为基本步骤为取点、作差或作商、变形、判断）求解取点、作差或作商、变形、判断）求解取点、作差或作商、变形、判断）求解取点、作差或作商、变形、判断）求解. .可导函数则可可导函数则可可导函数则可可导函数则可以利用导数解之以利用导数解之以利用导数解之以利用导数解之. .讨论函数讨论函数f(x)=x+ (a0)的单调性的单调性. 解法一解法一解法一解法
8、一:显然显然f(x)为奇函数为奇函数,所以先讨论函数所以先讨论函数f(x)在在(0,+)上的单调性上的单调性,设设x1x20,则则 当当0x21, 则则f(x1)-f(x2)0， 即即 f(x1) x2 时，时，0 0, 即即f(x1)f(x2),故故f(x)在在 ,+)上是增函数上是增函数. f(x)是奇函数，是奇函数， f(x)分别在分别在(-,- , ,+)上为增函数；上为增函数； f(x)分别在分别在- ,0),(0, 上为减函数上为减函数. f(x1)-f(x2)=解法二解法二解法二解法二:由由f(x)=1- =0可得可得x= .当当x 时或时或x0,f(x)分别在分别在 ,+),(
9、-,- 上是增函数上是增函数.同理同理0x 或或- x0时时,f(x)0时增区间为时增区间为(0,+).(2)由题意知，函数由题意知，函数f（x)=log5（2x+1)的定义域为的定义域为x|x- ,该函数的单调增区间为该函数的单调增区间为(- ，+).(3)y=x-|1-x|= 作出该函数作出该函数的图象如图所示的图象如图所示.由图象可知，该函数的单调由图象可知，该函数的单调增区间是（增区间是（-，1.【评评评评析析析析】求求求求函函函函数数数数单单单单调调调调区区区区间间间间的的的的方方方方法法法法有有有有：(1)(1)利利利利用用用用已已已已知知知知函函函函数数数数的的的的单单单单调调调
10、调性性性性；(2)(2)定定定定义义义义法法法法；(3)(3)图图图图象象象象法法法法；(4)(4)导导导导数数数数法法法法；(5)(5)复复复复合合合合函数法函数法函数法函数法. .求出下列函数的单调区间：求出下列函数的单调区间：(1)f(x)=|x2-4x+3|;(2)f(x)=log2(x2-1).【解解解解析析析析】(1)先先作作出出函函数数y=x2-4x+3的的图图象象，由由于于绝绝对对值值的的作作用用，把把x轴轴下下方方的的部部分分翻翻折折到到上上方方，可可得得函函数数的的图图象象，如如图图甲甲所所示示. 由由图图可可知知，函函数数的的增增区区间间为为 1,2 ,(3,+)， 减减
11、 区区 间间 为为 (-,1),(2,3.(2)函数的定义域为函数的定义域为x2-10，即即x|x1或或x-1.乙令乙令u(x)=x2-1,图象如图乙所示图象如图乙所示. 由图象知，由图象知，u(x)在在(-,-1)上是减上是减函数，在函数，在(1,+)上是增函数上是增函数.而而f(u)=log2u是增函数，是增函数，故故f(x)=log2(x2-1)的单调增区间是的单调增区间是(1,+),单调减区间是单调减区间是(-,-1). 若函数若函数f(x)=3x+3-x与与g(x)=3x-3-x的定义域均为的定义域均为R,则则 ( ) A.f(x)与与g(x)均为偶函数均为偶函数 B.f(x)为偶函
12、数，为偶函数，g(x)为奇函数为奇函数 C.f(x)与与g(x)均为奇函数均为奇函数 D.f(x)为奇函数，为奇函数，g(x)为偶函数为偶函数考点考点考点考点3 3 判断函数的奇偶性判断函数的奇偶性判断函数的奇偶性判断函数的奇偶性 B 【分析分析】判断函数奇偶性应分两步判断函数奇偶性应分两步: (1)定义域是否关于原点对称定义域是否关于原点对称; (2)判断判断f(-x)与与f(x)的关系的关系. 【解析解析】f(x)=3x+3-x，f(-x)=3-x+3x. f(x)=f(-x)，即，即f(x)是偶函数是偶函数. 又又g(x)=3x-3-x,g(-x)=3-x-3x. g(x)=-g(-x)
13、，即函数，即函数g(x)是奇函数是奇函数. 故应选故应选B. 【评析评析评析评析】判断函数的奇偶性判断函数的奇偶性, 一般有以下几种方法一般有以下几种方法 : (1)定义法定义法 (2)图象法图象法 (3)性质法性质法判断下列函数的奇偶性：判断下列函数的奇偶性：（1）f(x)= ；（2）f(x)=log2(x+ )(xR)； x2+x(x0)；（4）f(x)= lg|x-2|.（3）f(x)=【解析解析】（1）x2-10且且1-x20, x=1，即，即f(x)的定义域是的定义域是-1,1. f(1)=0,f(-1)=0, f(1)=f(-1),f(-1)=-f(1)， 故故f(x)既是奇函数又
14、是偶函数既是奇函数又是偶函数. （2）已知）已知f(x)的定义域为的定义域为R， f(-x)=log2-x+ =log2 =-log2(x+ )=-f(x), f(x)是奇函数是奇函数. （3）当）当x0，则，则 f(-x)=(-x)2-(-x)=x2+x=f(x)； 当当x0时时,-x0，得，得x2. f(x)的定义域的定义域 x|x2 关于原点不对称，关于原点不对称， 故故 f(x) 既既不是奇函数也不是偶函数不是奇函数也不是偶函数.设函数设函数f(x)=x(ex+ae-x)(xR)是偶函数，则实数是偶函数，则实数a的值的值为为 . 【分析】【分析】利用利用f(x)=f(-x)对任意对任意
15、xR恒成立恒成立,解解a的值的值. 【解析】【解析】因为因为f(x)是偶函数，所以恒有是偶函数，所以恒有f(-x)=f(x)，即，即-x(e-x+aex)=x(ex+ae-x),化简得化简得x(e-x+ex)(a+1)=0.因为上式对任意实数因为上式对任意实数x都成立，所以都成立，所以a=-1.考点考点考点考点4 4 函数奇偶性的应用函数奇偶性的应用函数奇偶性的应用函数奇偶性的应用 【评析评析评析评析】对任意对任意x恒成立与解关于恒成立与解关于x的方程是不一样的的方程是不一样的,注意区别注意区别.设函数设函数f(x)=x3+bx2+cx(xR),已知已知g(x)=f(x)-f(x)是奇函是奇函
16、数数.(1)求求b,c的值的值;(2)求求g(x)的单调区间与极值的单调区间与极值. 【解析解析解析解析】 (1)f(x)=x3+bx2+cx, f(x)=3x2+2bx+c, 从而从而g(x)=f(x)-f(x)=x3+bx2+cx-(3x2+2bx+c) =x3+(b-3)x2+(c-2b)x-c是一个奇函数是一个奇函数, g(0)=0得得c=0,由奇函数定义得由奇函数定义得b=3. (2)由由(1)知知g(x)=x3-6x,从而从而g(x)=3x2-6,由此可知由此可知,(-,- )和和( ,+)是函数是函数g(x)的单调递增区间的单调递增区间;(- , )是函数是函数g(x)的单调递减
17、区间的单调递减区间; g(x)在在x=- 时时,取得极大值取得极大值,极大值为极大值为4 ; g(x) 在在x=2时时,取得极小值取得极小值,极小值为极小值为-4 .考点考点考点考点6 6 函数单调性与奇偶性的综合应用函数单调性与奇偶性的综合应用函数单调性与奇偶性的综合应用函数单调性与奇偶性的综合应用 函数函数f(x)的定义域为的定义域为D=x|x0,且满足对于任意且满足对于任意x1,x2D,有有f(x1x2)=f(x1)+f(x2).(1)求求f(1)的值的值;(2)判断判断f(x)的奇偶性并证明你的结论的奇偶性并证明你的结论;(3)如果如果f(4)=1,f(3x+1)+f(2x-6)3,且
18、且f(x)在在(0,+)上是增上是增 函数函数,求求x的取值范围的取值范围. 【分析分析分析分析】 (1)依题设可令依题设可令x1=x2=1,则可求则可求f(1)的值的值; (2)令令x1=-1,x2=x,即可找到即可找到f(-x)与与f(x)间的关系间的关系,但需求但需求f(-1)的值的值; (3)充分利用奇、偶函数在其对称区间上的单调性求解充分利用奇、偶函数在其对称区间上的单调性求解.【解析解析】(1)对于任意对于任意x1,x2D,有有f(x1x2)=f(x1)+f(x2),令令x1=x2=1,得得f(1)=2f(1),f(1)=0. (2)令令x1=x2=-1,有有f(1)=f(-1)+
19、f(-1),f(-1)= f(1)=0.令令x1=-1,x2=x,有有f(-x)=f(-1)+f(x),f(-x)=f(x),f(x)为偶函数为偶函数. (3)依题设有依题设有f(44)=f(4)+f(4)=2, f(164)=f(16)+f(4)=3. f(3x+1)+f(2x-6)3, 即即f(3x+1)(2x-6)f(64).(*) 解法一解法一:f(x)为偶函数为偶函数, f|(3x+1)(2x-6)|f(64). 又又 f(x)在在(0,+)上是增函数上是增函数, 0|(3x+1)(2x-6)|64. 解上式得解上式得3x5或或 x-或或 x3. x的取值范围为的取值范围为 x x
20、或或 x3或或30 (3x+1)(2x-6)64或或 (3x+1)(2x-6)3或或x x5 或或 x3 xR.3x5或或 x 或或 x3.x的取值范围为的取值范围为x x 或或 x3或或30时时,f(x)0恒成立恒成立,f(3)= - 3.(1) 证明证明:函数函数y=f(x)是是R上的减函数上的减函数;(2) 证明证明:函数函数y=f(x)是奇函数是奇函数;(3) 试求函数试求函数y=f(x)在在m,n(m,nZ)上的值域上的值域.【解析解析解析解析】(1) 证明证明:设设x1,x2R,且且x10,f(x2-x1)0. f(x2)=f(x1)+f(x2-x1)f(x1). 故故f(x)是是
21、R上的减函数上的减函数.(2) 证明证明:f(a+b)=f(a)+f(b)恒成立恒成立, 可令可令a=-b=x,则有则有f(x)+f(-x)=f(0), 又令又令a=b=0,则有则有f(0)=f(0)+f(0),f(0)=0. 从而从而xR,f(x)+f(-x)=0, f(-x)=-f(x).故故y=f(x)是奇函数是奇函数. (3) 由于由于y=f(x)是是R上的单调递减函数上的单调递减函数, y=f(x)在在m,n上也是减函数上也是减函数,故故f(x)在在m,n 上的最大值上的最大值f(x)max=f(m),最小值最小值f(x)min=f(n). 由于由于f(n)=f(1+(n-1)=f(
22、1)+f(n-1)=nf(1), 同理同理f(m)=mf(1). 又又f(3)=3f(1)=-3,f(1)=-1, f(m)=-m,f(n)=-n. 函数函数y=f(x)在在m,n上的值域为上的值域为-n,-m. 考点考点考点考点6 6 函数的周期性函数的周期性函数的周期性函数的周期性 已已知知函函数数f（x)是是偶偶函函数数，并并且且对对于于定定义义域域内内任任意意的的x,满满足足f（x+2)=- ,若若当当2x3时时，f（x)=x,则则f（2 007.5） . 【分析分析分析分析】遇到求较大数的抽象函数的函数值时遇到求较大数的抽象函数的函数值时应考虑函数的周期性应考虑函数的周期性.【解析解
23、析解析解析】由由f（x+2)=- 可得可得 f（x+4)=f（x),f（2 007.5)=f（3.5)=f（-0.5).又又f（x)是偶函数，是偶函数，f（2 007.5)=f（0.5)=- =- . 【评析评析评析评析】判断函数的周期只需证明判断函数的周期只需证明判断函数的周期只需证明判断函数的周期只需证明f(x+Tf(x+T)=f(x)(T0)=f(x)(T0)便可便可便可便可证明函数是周期函数证明函数是周期函数证明函数是周期函数证明函数是周期函数, ,且周期为且周期为且周期为且周期为T,T,函数的周期性常与函数函数的周期性常与函数函数的周期性常与函数函数的周期性常与函数的其他性质综合命题
24、的其他性质综合命题的其他性质综合命题的其他性质综合命题, ,是高考考查的重点问题是高考考查的重点问题是高考考查的重点问题是高考考查的重点问题. .已知已知f(x)是定义在是定义在R上的函数，且满足上的函数，且满足f(x)+f(x-1)=1,当当x0,1时，有时，有f(x)=x2，现有三个命题：，现有三个命题：f(x)是以是以2为周期的函数；为周期的函数；当当x1,2时，时，f(x)=-x2+2x;f(x)是偶函数是偶函数.其中正确命题的序号是其中正确命题的序号是 .：(正确正确.f(x)+f(x-1)=1, (*)f(x+1)+f(x)=1, (*)(*)-(*)得得f(x+1)-f(x-1)
25、=0.f(x+1)=f(x-1),则则f(x+2)=f(x),f(x)是以是以2为周期的函数为周期的函数.正确正确.当当x1,2时，时，x-10,1,f(x)=1-f(x-1)=1-(x-1)2=2x-x2(x0,1时，时，f(x)=x2).错误错误.当当x-1,0时，时，x+10,1.f(x)=1-f(x+1)=1-(x+1)2,f(x)=-x2-2x,又又-x0,1,f(-x)=(-x)2=x2,又又f(x)f(-x),f(x)不是偶函数不是偶函数.）1.2011年高考全国课标卷年高考全国课标卷下列函数中，既是偶函数又下列函数中，既是偶函数又在（在（0，+）上单调递增的函数是）上单调递增的
26、函数是 （ ）A.y=x3 B.y=|x|+1C.y=-x2+1 D. y=2 -|x|2.2011年高考广东卷年高考广东卷设函数设函数f（x)和和g（x)分别是分别是R上的上的偶函数和奇函数，则下列结论恒成立的是偶函数和奇函数，则下列结论恒成立的是 （ ）A.f（x)+|g（x)|是偶函数是偶函数B.f（x)-|g（x)|是奇函数是奇函数C.|f（x)|+g（x)是偶函数是偶函数D.|f（x)|-g（x)是奇函数是奇函数 【解析解析解析解析】( 1.B(y=x3是奇函数是奇函数,y=-x2+1和和y=2 -|x|在在(0,+)上都是减函数上都是减函数. 故应选故应选B.) 2.A(由题意知由
27、题意知f(x)与与|g(x)|均为偶函数，均为偶函数，A项：偶项：偶+偶偶=偶；偶；B项：偶项：偶-偶偶=偶，偶，B错；错；C项与项与D项：分别为偶项：分别为偶+奇奇=偶，偶偶，偶-奇奇=奇均不恒成立奇均不恒成立. 故应选故应选A.) 1.单调性是函数在某一区间上的单调性是函数在某一区间上的“整体整体”性质，因性质，因此定义中的此定义中的x1,x2具有任意性，不能用特殊值替代具有任意性，不能用特殊值替代. 2.由于定义都是充要性命题，因此由由于定义都是充要性命题，因此由f(x)是增是增(减减)函数且函数且f(x1)f(x2) x1x2)，这说明单调，这说明单调性使得自变量间的不等关系和函数值之
28、间的不等关系可性使得自变量间的不等关系和函数值之间的不等关系可以以“正逆互推正逆互推”. 3.运用奇、偶函数的性质及其单调性的关系是进行运用奇、偶函数的性质及其单调性的关系是进行区间转换的一种有效手段：奇函数在关于原点对称的区区间转换的一种有效手段：奇函数在关于原点对称的区间上的单调性相同；偶函数在关于原点对称的区间上的间上的单调性相同；偶函数在关于原点对称的区间上的单调性相反，且单调性相反，且f(x)=f(-x)=f(|x|). 1.1.求函数周期的方法：求一般函数周期常用递推法求函数周期的方法：求一般函数周期常用递推法求函数周期的方法：求一般函数周期常用递推法求函数周期的方法：求一般函数周
29、期常用递推法和换元法，形如和换元法，形如和换元法，形如和换元法，形如y=y=Asin(x+Asin(x+) )，用公式，用公式，用公式，用公式T= T= 计算计算计算计算. .递推法：若递推法：若递推法：若递推法：若f(x+af(x+a)=-)=-f(xf(x) )，则，则，则，则f(x+2a)=ff(x+2a)=f( (x+a)+ax+a)+a=-=-f(x+af(x+a)=)=f(xf(x), ), 周期周期周期周期T=2a.T=2a.换元法：若换元法：若换元法：若换元法：若f(x+af(x+a)=)=f(xf(x-a)-a)，令，令，令，令x+ax+a= =t,xt,x=t-a,=t-a
30、, f(tf(t)=f(t-2a),)=f(t-2a),周期周期周期周期T=2a.T=2a. 2.2.判断函数单调性的方法判断函数单调性的方法判断函数单调性的方法判断函数单调性的方法 (1)(1)定义法定义法定义法定义法: :利用定义严格判断利用定义严格判断利用定义严格判断利用定义严格判断. . (2) (2)利用函数的运算性质利用函数的运算性质利用函数的运算性质利用函数的运算性质: :如若如若如若如若f(x),g(xf(x),g(x) )为增函数为增函数为增函数为增函数, ,则则则则 f(x)+g(xf(x)+g(x) )为增函数为增函数为增函数为增函数; ; 为减函数为减函数为减函数为减函
31、数( (f(xf(x)0);)0); 为增函数为增函数为增函数为增函数(f(x)0);(f(x)0); f(x)g(xf(x)g(x) )为增函数为增函数为增函数为增函数( (f(xf(x)0,g(x)0);)0,g(x)0); - -f(xf(x) )为减函数为减函数为减函数为减函数. . (3)(3)利用复合函数关系判断单调性利用复合函数关系判断单调性利用复合函数关系判断单调性利用复合函数关系判断单调性. . 法则是法则是法则是法则是“ “同增异减同增异减同增异减同增异减” ”，即两个简单函数的单调性相，即两个简单函数的单调性相，即两个简单函数的单调性相，即两个简单函数的单调性相同，则这两
32、个函数的复合函数为减函数同，则这两个函数的复合函数为减函数同，则这两个函数的复合函数为减函数同，则这两个函数的复合函数为减函数; ;若两个简单函数若两个简单函数若两个简单函数若两个简单函数的单调性相反，则这两个函数的复合函数为减函数的单调性相反，则这两个函数的复合函数为减函数的单调性相反，则这两个函数的复合函数为减函数的单调性相反，则这两个函数的复合函数为减函数. . (4) (4)图象法图象法图象法图象法. . (5) (5)奇函数在关于原点对称的区间上具有相同的单调奇函数在关于原点对称的区间上具有相同的单调奇函数在关于原点对称的区间上具有相同的单调奇函数在关于原点对称的区间上具有相同的单调
33、性性性性; ;偶函数在关于原点对称的区间上具有相反的单调性偶函数在关于原点对称的区间上具有相反的单调性偶函数在关于原点对称的区间上具有相反的单调性偶函数在关于原点对称的区间上具有相反的单调性. . (6) (6)导数法导数法导数法导数法 若若若若f(xf(x) )在某个开区间内可导在某个开区间内可导在某个开区间内可导在某个开区间内可导, ,当当当当f(xf(x)0)0时时时时, ,f(xf(x) )为增为增为增为增函数函数函数函数; ;当当当当f(xf(x)0)0时时时时, ,f(xf(x) )为减函数为减函数为减函数为减函数; ; 若若若若f(xf(x) )在某个区间内可导在某个区间内可导在
34、某个区间内可导在某个区间内可导, ,当当当当f(xf(x) )在该区间上递增时在该区间上递增时在该区间上递增时在该区间上递增时, ,则则则则f(x)0;f(x)0;当当当当f(xf(x) )在该区间上递减时在该区间上递减时在该区间上递减时在该区间上递减时, ,则则则则f(x)0.f(x)0.3.3.判断函数的奇偶性判断函数的奇偶性判断函数的奇偶性判断函数的奇偶性判断函数的奇偶性判断函数的奇偶性判断函数的奇偶性判断函数的奇偶性, ,一般都按照定义严格进行一般都按照定义严格进行一般都按照定义严格进行一般都按照定义严格进行, ,一般步骤一般步骤一般步骤一般步骤是是是是: :(1)(1)考查定义域是否
35、关于原点对称考查定义域是否关于原点对称考查定义域是否关于原点对称考查定义域是否关于原点对称; ;(2)(2)根据定义域考查表达式根据定义域考查表达式根据定义域考查表达式根据定义域考查表达式f(-xf(-x) )是否等于是否等于是否等于是否等于f(xf(x) )或或或或- -f(xf(x): ):若若若若f(-xf(-x)=-)=-f(xf(x), ),则则则则f(xf(x) )为奇函数为奇函数为奇函数为奇函数; ;若若若若f(-xf(-x)=)=f(xf(x), ),则则则则f(xf(x) )为偶函数为偶函数为偶函数为偶函数; ;若若若若f(-xf(-x)=-)=-f(xf(x) )且且且且f(-xf(-x)=)=f(xf(x), ),则则则则f(xf(x) )既是奇函数又是偶函数既是奇函数又是偶函数既是奇函数又是偶函数既是奇函数又是偶函数; ;若若若若f(-x)-f(xf(-x)-f(x) )且且且且f(-x)f(xf(-x)f(x), ),则则则则f(xf(x) )既不是奇函数又不是偶函既不是奇函数又不是偶函既不是奇函数又不是偶函既不是奇函数又不是偶函数数数数, ,即非奇非偶函数即非奇非偶函数即非奇非偶函数即非奇非偶函数. .
