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1、专题四数列专题四数列第第1 1讲等差数列与等比数列讲等差数列与等比数列高考导航高考导航热点突破热点突破备选例题备选例题阅卷评析阅卷评析1.1.(2018(2018全国全国卷卷, ,理理4)4)设设S Sn n为等差数列为等差数列aan n 的前的前n n项和项和, ,若若3S3S3 3=S=S2 2+S+S4 4,a,a1 1=2,=2,则则a a5 5等于等于( ( ) )(A)-12(A)-12(B)-10(B)-10(C)10(C)10 (D)12 (D)12高考导航高考导航 演真题演真题明备考明备考真题体验真题体验B B2 2.(2017.(2017全国全国卷卷, ,理理3)3)我国古
2、代数学名著我国古代数学名著算法统宗算法统宗中有如下问题中有如下问题: :“远远望巍巍塔七层望巍巍塔七层, ,红光点点倍加增红光点点倍加增, ,共灯三百八十一共灯三百八十一, ,请问尖头几盏灯请问尖头几盏灯? ?”意思是意思是: :一座一座7 7层塔共挂了层塔共挂了381381盏灯盏灯, ,且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的2 2倍倍, ,则则塔的顶层共有灯塔的顶层共有灯( ( ) )(A)1(A)1盏盏(B)3(B)3盏盏(C)5(C)5盏盏(D)9(D)9盏盏B B3.3.(2016(2016全国全国卷卷, ,理理3)3)已知等差数列已知等差数列aa
3、n n 前前9 9项的和为项的和为27,a27,a1010=8,=8,则则a a100100等于等于( ( ) )(A)100(A)100(B)99(B)99 (C)98 (C)98(D)97(D)97C C4.4.(2017(2017全国全国卷卷, ,理理4)4)记记S Sn n为等差数列为等差数列aan n 的前的前n n项和项和. .若若a a4 4+a+a5 5=24,S=24,S6 6=48,=48,则则aan n 的公差为的公差为( ( ) )(A)1(A)1 (B)2(B)2 (C)4(C)4 (D)8(D)8C C5.5.(2017(2017全国全国卷卷, ,理理9)9)等差数
4、列等差数列aan n 的首项为的首项为1,1,公差不为公差不为0.0.若若a a2 2,a,a3 3,a,a6 6成等成等比数列比数列, ,则则aan n 前前6 6项的和为项的和为( ( ) )(A)-24(A)-24(B)-3(B)-3 (C)3 (C)3 (D)8 (D)8A A6.(20166.(2016全国全国卷卷, ,理理15)15)设等比数列设等比数列aan n 满足满足a a1 1+a+a3 3=10,a=10,a2 2+a+a4 4=5,=5,则则a a1 1a a2 2aan n的最大值为的最大值为.答案答案: :64647.7.(2018(2018全国全国卷卷, ,理理1
5、4)14)记记S Sn n为数列为数列aan n 的前的前n n项和项和. .若若S Sn n=2a=2an n+1,+1,则则S S6 6= =. .答案答案: :-63-638.8.(2018(2018全国全国卷卷, ,理理17)17)记记S Sn n为等差数列为等差数列aan n 的前的前n n项和项和, ,已知已知a a1 1=-7,S=-7,S3 3=-=-15.15.(1)(1)求求aan n 的通项公式的通项公式; ;解解: :(1)(1)设设aan n 的公差为的公差为d,d,由题意得由题意得3a3a1 1+3d=-15.+3d=-15.由由a a1 1=-7=-7得得d=2.
6、d=2.所以所以aan n 的通项公式为的通项公式为a an n=a=a1 1+(n-1)d=2n-9.+(n-1)d=2n-9.(2)(2)求求S Sn n, ,并求并求S Sn n的最小值的最小值. .考情分析考情分析1.1.考查角度考查角度考查等差数列、等比数列基本量的计算考查等差数列、等比数列基本量的计算, ,考查等差数列、等比数列性质的应考查等差数列、等比数列性质的应用用, ,考查等差数列、等比数列的判断与证明等考查等差数列、等比数列的判断与证明等. .2.2.题型及难易度题型及难易度选择题、填空题、解答题均有选择题、填空题、解答题均有, ,难度中等偏下难度中等偏下. .热点突破热点
7、突破 剖典例剖典例促迁移促迁移热点一热点一 等差、等比数列的基本运算等差、等比数列的基本运算【例例1 1】 (1) (1)(2018(2018山东济南二模山东济南二模) )已知已知aan n 是公差为是公差为2 2的等差数列的等差数列,S,Sn n为数为数列列aan n 的前的前n n项和项和, ,若若S S5 5=15,=15,则则a a5 5等于等于( () )(A)3(A)3 (B)5(B)5(C)7(C)7 (D)9(D)9(3)(3)(2018(2018福建百校高三临考冲刺福建百校高三临考冲刺) )若干个连续奇数的和若干个连续奇数的和3+5+7+(4n-1)3+5+7+(4n-1)等
8、等于于( () )(A)2n(A)2n2 2+n+n(B)n(B)n2 2+2n+2n(C)4n(C)4n2 2+2n+2n(D)4n(D)4n2 2-1-1方法技巧方法技巧解等差数列、等比数列基本运算问题的基本思想是方程思想解等差数列、等比数列基本运算问题的基本思想是方程思想, ,即通过等差数即通过等差数列、等比数列的通项公式及前列、等比数列的通项公式及前n n项和公式得出基本量项和公式得出基本量( (等差数列的首项和公等差数列的首项和公差、等比数列的首项和公比差、等比数列的首项和公比),),然后再通过相关公式求得结果然后再通过相关公式求得结果. .热点二热点二等差、等比数列的性质等差、等比
9、数列的性质【例例2 2】 (1) (1)(2018(2018山东青岛二模山东青岛二模) )已知等差数列已知等差数列aan n 中中, ,若若a a4 4=15,=15,则它的前则它的前7 7项和为项和为( () )(A)120(A)120(B)115(B)115(C)110(C)110(D)105(D)105(2)(2)(2018(2018东北四市一模东北四市一模) )等差数列等差数列aan n 中中, ,已知已知|a|a6 6|=|a|=|a1111|,|,且公差且公差d0,d0,则其前则其前n n项和取最小值时的项和取最小值时的n n的值为的值为( () )(A)6(A)6 (B)7(B)
10、7 (C)8(C)8 (D)9(D)9解析解析: :(2)(2)等差数列的公差为正数等差数列的公差为正数, ,则则a a1111=-a=-a6 6, ,所以所以a a6 6+a+a1111=a=a8 8+a+a9 9=0,=0,据此可得据此可得a a8 80,a0,0,故其前故其前n n项和取最小值时的项和取最小值时的n n的值为的值为8.8.选选C.C.(4)(4)(2018(2018浙江温州市一模浙江温州市一模) )已知数列已知数列aan n 是公差不为是公差不为0 0的等差数列的等差数列,b,bn n= =数列数列bbn n 的前的前n n项、前项、前2n2n项、前项、前3n3n项的和分
11、别为项的和分别为A,B,C,A,B,C,则则( () )(A)A+B=C(A)A+B=C (B)B (B)B2 2=AC=AC(C)(A+B)-C=B(C)(A+B)-C=B2 2(D)(B-A)(D)(B-A)2 2=A(C-B)=A(C-B)解析解析: :(4)(4)因为因为aan n 是公差不为是公差不为0 0的等差数列的等差数列, ,所以所以bbn n 是公比不为是公比不为1 1的等比数列的等比数列, ,由等比数列的性质由等比数列的性质, ,可得可得A,B-A,C-BA,B-A,C-B成等比成等比数列数列, ,所以可得所以可得(B-A)(B-A)2 2=A(C-B).=A(C-B).故
12、选故选D.D.(2)(2)等比数列的主要性质等比数列的主要性质:若若m+n=p+q(m,n,p,qm+n=p+q(m,n,p,qN N* *),),则则a am ma an n=a=ap pa aq q, ,特别是特别是m+n=2pm+n=2p(m,n,p(m,n,pN N* *) )时时,a,am ma an n=;=;把公比不等于把公比不等于-1-1的等比数列等距分段后的等比数列等距分段后, ,各段之和还是等比各段之和还是等比数列数列, ,若公比等于若公比等于1,1,则各段之和既成等比数列也成等差数列则各段之和既成等比数列也成等差数列. .热点训练热点训练2:2:(1)(1)(2018(2
13、018辽宁沈阳育才学校一模辽宁沈阳育才学校一模) )在等差数列在等差数列aan n 中中,S,Sn n为其前为其前n n项和项和, ,若若a a3 3+a+a4 4+a+a8 8=25,=25,则则S S9 9等于等于( () )(A)60(A)60 (B)75 (B)75 (C)90 (C)90 (D)105 (D)105答案答案: :(1)B(1)B(2)(2)若等差数列若等差数列aan n 满足满足a a7 7+a+a8 8+a+a9 90,a0,a7 7+a+a10100,0,a0,a7 7+a+a1010=a=a8 8+a+a9 90,0,a0,a9 90,0,所以所以n=8n=8时
14、时, ,数列数列aan n 的前的前n n项和最大项和最大. .答案答案: :(2)8(2)8热点三热点三等差数列、等比数列的判定等差数列、等比数列的判定(2)(2)(2018(2018云南玉溪高三适应训练云南玉溪高三适应训练) )已知数列已知数列aan n 满足满足S Sn n=2a=2an n-n(n-n(nN N* *).).证明证明:a:an n+1+1是等比数列是等比数列; ;求求a a1 1+a+a3 3+a+a5 5+a+a2n+12n+1(n(nN N* *).).是否存在实数是否存在实数,使得数列使得数列aan n 为等比数列为等比数列, ,若存在若存在, ,求出求出;若不存
15、在若不存在, ,说明说明理由理由. .热点四热点四 等差、等比数列的综合等差、等比数列的综合【例例4 4】 (2018(2018郑州三模郑州三模) )已知等差数列已知等差数列aan n 的公差的公差d0,d0,其前其前n n项和为项和为S Sn n, ,若若a a2 2+a+a8 8=22,=22,且且a a4 4,a,a7 7,a,a1212成等比数列成等比数列. .(1)(1)求数列求数列aan n 的通项公式的通项公式; ;方法技巧方法技巧解等差数列、等比数列综合题的基本思想是方程思想解等差数列、等比数列综合题的基本思想是方程思想, ,即列出等差数列、等即列出等差数列、等比数列基本量的方
16、程或者方程组比数列基本量的方程或者方程组, ,解方程或者方程组求得基本量解方程或者方程组求得基本量, ,求出等差数求出等差数列、等比数列的通项公式列、等比数列的通项公式, ,在此基础上求解其他问题在此基础上求解其他问题. .备选例题备选例题 挖内涵挖内涵寻思路寻思路(2)(2)求求aan n+b+bn n 的前的前n n项和项和. .【例例3 3】 (2018(2018湖南岳阳一中一模湖南岳阳一中一模) )已知数列已知数列aan n 的首项的首项a a1 1=1,=1,其前其前n n项和为项和为S Sn n, ,且对任意正整数且对任意正整数n,n,有有n,an,an n,S,Sn n成等差数列
17、成等差数列. .(1)(1)求证求证: :数列数列SSn n+n+2+n+2成等比数列成等比数列; ;(1)(1)证明证明: :因为因为n,an,an n,S,Sn n成等差数列成等差数列, ,所以所以2a2an n=n+S=n+Sn n, ,又又a an n=S=Sn n-S-Sn-1n-1(n2),(n2),所以所以2(S2(Sn n-S-Sn-1n-1)=n+S)=n+Sn n, ,即即S Sn n=2S=2Sn-1n-1+n,+n,所以所以S Sn n+n+2=2S+n+2=2Sn-1n-1+2n+2,+2n+2,即即S Sn n+n+2=2S+n+2=2Sn-1n-1+(n-1)+2
18、.+(n-1)+2.又因为又因为S S1 1+1+2=40,+1+2=40,所以所以SSn n+n+2+n+2是首项为是首项为4,4,公比为公比为2 2的等比数列的等比数列. .(2)(2)设设b bn n=na=nan n, ,求数列求数列bbn n 前前n n项和项和T Tn n. .【例例4 4】 (2018 (2018江西二模江西二模) )已知等差数列已知等差数列aan n 的公差的公差d0,ad0,a1 1=0,=0,其前其前n n项和为项和为S Sn n, ,且且a a2 2+2,S+2,S3 3,S,S4 4成等比数列成等比数列. .阅卷评析阅卷评析 抓关键抓关键练规范练规范【典
19、例典例】 (2018 (2018全国全国卷卷, ,理理17)(1217)(12分分) )等比数列等比数列aan n 中中,a,a1 1=1,a=1,a5 5=4a=4a3 3. .(1)(1)求求aan n 的通项公式的通项公式; ;解解: :(1)(1)因为等比数列因为等比数列aan n 中中,a,a1 1=1,a=1,a5 5=4a=4a3 3, ,所以所以1q1q4 4=4(1q=4(1q2 2),),2 2分分解得解得q=2,q=2,3 3分分当当q=2q=2时时,a,an n=2=2n-1n-1, ,4 4分分当当q=-2q=-2时时,a,an n=(-2)=(-2)n-1n-1,5
20、 5分分所以所以aan n 的通项公式为的通项公式为a an n=2=2n-1n-1或或a an n=(-2)=(-2)n-1n-1.6 6分分(2)(2)记记S Sn n为为aan n 的前的前n n项和项和. .若若S Sm m=63,=63,求求m.m.【答题启示答题启示】(1)(1)在等差、等比数列的通项公式与前在等差、等比数列的通项公式与前n n项和公式中项和公式中, ,有五个量有五个量, ,利用方程思想可利用方程思想可“知三求二知三求二”. .(2)(2)在等比数列中要注意对公比在等比数列中要注意对公比q q的值讨论的值讨论, ,而本题易忽略而本题易忽略q=-2q=-2时的情况时的情况, ,另外在另外在数列中数列中nnN N* *. .
