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1、第四节 二阶系统的瞬态响应7/26/20241一、典型二阶系统的瞬态响应 下图所示为稳定的二阶系统的典型结构图。开环传递函数为:闭环传递函数为:- 这是最常见的一种系统，很多高阶系统也可简化为二阶系统。 称为典型二阶系统的传递函数，称为阻尼系数， 称为无阻尼振荡圆频率或自然频率。7/26/20242特征根为： ，注意：当 不同时，（极点）有不同的形式，其阶跃响应的形式也不同。它的阶跃响应有振荡和非振荡两种情况。特征方程为： 当时 ，特征方程有一对共轭的虚根，称为零(无)阻尼系统，系统的阶跃响应为持续的等幅振荡。 当时 ，特征方程有一对实部为负的共轭复根，称为欠阻尼系统，系统的阶跃响应为衰减的振
2、荡过程。 当 时，特征方程有一对相等的实根，称为临界阻尼系统，系统的阶跃响应为非振荡过程。 当 时，特征方程有一对不等的实根，称为过阻尼系统，系统的阶跃响应为非振荡过程。7/26/20243当输入为单位阶跃函数时， ，有： 分析：当 时，极点为： 此时输出将以频率 做等幅振荡，所以， 称为无阻尼振荡圆频率。7/26/20244两阶系统的瞬态响应两阶系统的瞬态响应阶跃响应为：当 时，极点为：极点的负实部 决定了指数衰减的快慢，虚部 是振荡频率。称 为阻尼振荡圆频率。7/26/20245两阶系统的瞬态响应两阶系统的瞬态响应阶跃响应函数为：当 时，极点为：7/26/20246两阶系统的瞬态响应两阶系
3、统的瞬态响应当 时，极点为：即特征方程为特征方程还可为7/26/20247两阶系统的瞬态响应两阶系统的瞬态响应因此过阻尼二阶系统可以看作两个时间常数不同的惯性环节的串联，其单位阶跃响应为于是闭环传函为：这里 ，式中7/26/20248 上述四种情况分别称为二阶无阻尼、欠阻尼、临界阻尼和过阻尼系统。其阻尼系数、特征根、极点分布和单位阶跃响应如下表所示：单位阶跃响应极点位置特征根阻尼系数单调上升两个互异负实根单调上升一对负实重根 衰减振荡一对共轭复根(左半平面） 等幅周期振荡一对共轭虚根 典型两阶系统的瞬态响应典型两阶系统的瞬态响应7/26/20249典型两阶系统的瞬态响应典型两阶系统的瞬态响应可
4、以看出：随着 的增加，c(t)将从无衰减的周期运动变为有衰减的正弦运动，当 时c(t)呈现单调上升运动(无振荡)。可见 反映实际系统的阻尼情况，故称为阻尼系数。7/26/202410衰减振荡瞬态过程的性能指标衰减振荡瞬态过程的性能指标二、典型二阶系统的性能指标及其与系统参数的关系（一）衰减振荡瞬态过程 ： 上升时间 ：根据定义，当 时， 。解得：7/26/202411 称为阻尼角，这是由于 。衰减振荡瞬态过程的性能指标衰减振荡瞬态过程的性能指标7/26/202412衰减振荡瞬态过程的性能指标衰减振荡瞬态过程的性能指标 峰值时间 ：当 时，整理得：由于 出现在第一次峰值时间，取n=1，有：其中7
5、/26/202413衰减振荡瞬态过程的性能指标衰减振荡瞬态过程的性能指标7/26/202414 最大超调量 ：故：衰减振荡瞬态过程的性能指标衰减振荡瞬态过程的性能指标将峰值时间 代入7/26/202415衰减振荡瞬态过程的性能指标衰减振荡瞬态过程的性能指标7/26/202416衰减振荡瞬态过程的性能指标衰减振荡瞬态过程的性能指标 调节时间 ：可见，写出调节时间的表达式是困难的。由右图可知响应曲线总在一对包络线之内。包络线为 根据调节时间的定义，当tts时 |c(t)-c()| c() %。7/26/202417当t=ts时，有：由于实际响应曲线的收敛速度比包络线的收敛速度要快因此可用包络线代替
6、实际响应来估算调节时间。即认为响应曲线的包络线进入误差带时，调整过程结束。衰减振荡瞬态过程的性能指标衰减振荡瞬态过程的性能指标7/26/202418当 较小时，近似取： ，且所以衰减振荡瞬态过程的性能指标衰减振荡瞬态过程的性能指标7/26/202419衰减振荡瞬态过程的性能指标衰减振荡瞬态过程的性能指标7/26/202420衰减振荡瞬态过程的性能指标衰减振荡瞬态过程的性能指标7/26/202421 振荡次数N：衰减振荡瞬态过程的性能指标衰减振荡瞬态过程的性能指标由分析知，在 之间，调节时间和超调量都较小。工程上常取 作为设计依据，称为最佳阻尼常数。 7/26/202422非振荡瞬态过程的性能指
7、标这是一个单调上升的过程。用调整时间 就可以描述瞬态过程的性能。利用牛顿迭代公式（二）非振荡瞬态过程： 对于 ，极点为：牛顿迭代公式：对 其根可迭代求出7/26/202423非振荡瞬态过程的性能指标在c(t)中，有两个衰减指数项，所以是一个单调上升的过程。用调整时间 就可以描述瞬态过程的性能。 对于 ，极点为：当 时利用牛顿迭代公式可得当 时，这时可用一阶系统来近似7/26/202424非振荡瞬态过程的性能指标7/26/202425非振荡瞬态过程的性能指标当 时，系统也具有单调非振荡的瞬间过程，是单调非振荡的临界状态。在非振荡过程中，它的 最小。通常，都希望控制系统有较快的响应时间，即希望希统
8、的阻尼系数在01之间。而不希望处于过阻尼情况 ，因为调节时间过长。但对于一些特殊的系统不希望出现超调系统（如液位控制）和大惯性系统（如加热装置），则可以处于 情况。当 时，极点 远离虚轴，且c(t)中包含极点s2的衰减项的系数小，所以由极点s2引起的指数项衰减的很快，因此，在瞬态过程中可以忽略s2的影响，把二阶系统近似为一阶系统。7/26/202426q阻尼系数 是二阶系统的一个重要参数，用它可以间接地判断一个二阶系统的瞬态品质。在 的情况下瞬态特性为单调变化曲线，无超调和振荡，但 长。当 时，输出量作等幅振荡或发散振荡，系统不能稳定工作。总结q在欠阻尼 情况下工作时，若 过小，则超调量大，振
9、荡次数多，调节时间长，瞬态控制品质差。注意到 只与 有关，所以一般根据 来选择 。 q 越大， （当 一定时）q为了限制超调量，并使 较小， 一般取0.40.8，则超调量在25%1.5%之间。7/26/202427阻尼系数、阻尼角与最大超调量的关系z b=cos-1 zd %z b=cos-1 zd %0.184.2672.90.6950.278.4652.70.745. 574.60.372.5437.230.707454.30.466.4225.380.7820.56016.30.836.871.50.653.139.840.925.840.157/26/202428瞬态过程的性能指标例子
10、瞬态过程的性能指标例子例：求系统的特征参数 并分析与性能指标的关系：解：闭环传递函数为：q 时， 。快速性好，振荡加剧；q 时，下面分析瞬态性能指标和系统参数之间的关系：（假设 ）7/26/202429改善二阶系统响应特性的措施改善二阶系统响应特性的措施三、改善二阶系统响应特性的措施二阶系统超调产生过程1.0,t1误差信号为正，产生正向修正作用，以使误差减小，但因系统阻尼系数小，正向速度大，造成响应出现正向超调。2.t1,t2误差信号为负，产生反向修正作用，但开始反向修正作用不够大，经过一段时间才使正向速度为零，此时输出达到最大值。3.t2,t3误差信号为负，此时反向修正作用，大，使输出返回过
11、程中又穿过稳态值，出现反向超调。4.t3,t4误差信号为正，产生正向修正作用，但开始正向修正作用不够大，经过一段时间才使反向速度为零，此时输出达到反向最大值。7/26/202430改善二阶系统响应特性的措施改善二阶系统响应特性的措施二阶系统超调产生原因1.0,t1 正向修正作用太大，特别在靠近t1 点时。2.t1,t2 反向修正作用不足。减小二阶系统超调的思路1.0,t1 减小正向修正作用。附加与原误差信号相反的信号。2.t1,t2 加大反向修正作用。附加与原误差信号同向的信号。 3.t2,t3减小反向修正作用。附加与原误差信号相反的信号。4.t3,t4 加大正向修正作用。附加与原误差信号同向
12、的信号。 即在0,t2 内附加一个负信号，在t2,t4内附加一个正信号。减去输出的微分或加上误差的微分都具有这种效果。7/26/202431改善二阶系统响应特性的措施改善二阶系统响应特性的措施a. 输出量的速度反馈控制-+-b. 误差的比例+微分控制将输出量的速度信号c(t)采用负反馈形式反馈到输入端并与误差信号e(t)比较，构成一个内反馈回路。简称速度反馈。以误差信号e(t)与误差信号的微分信号e(t)的和产生控制作用。简称PI控制。又称微分顺馈为了改善系统性能而改变系统的结构、参数或附加具有一定功能的环节的方法称为对系统进行校正。附加环节称为校正环节。速度反馈和速度顺馈是较常用的校正方法。
13、7/26/202432改善二阶系统响应特性的措施改善二阶系统响应特性的措施a. 输出量的速度反馈控制-与典型二阶系统的标准形式 比较 不改变无阻尼振荡频率 等效阻尼系数为由于 ，即等效阻尼系数加大，将使超调量%和调节时间ts变小。7/26/202433改善二阶系统响应特性的措施改善二阶系统响应特性的措施+-b. 误差的比例+微分控制-与典型二阶系统的标准形式比较 不改变无阻尼振荡频率 等效阻尼系数为 由于 ，即等效阻尼系数加大，将使超调量%和调节时间ts变小。 闭环传递函数有零点 ，将会给系统带来影响。7/26/202434改善二阶系统响应特性的措施改善二阶系统响应特性的措施c. 比例+微分控
14、制与速度反馈控制的关系-比例+微分控制相当于分别对输入信号和反馈信号进行比例+微分。其中对反馈信号进行比例+微分相当于速度反馈。所以误差的比例+微分控制相当于输出的速度反馈构成的闭环系统再串联比例+微分环节。因此可以将其分别讨论。-7/26/202435具有零点的二阶系统具有零点的二阶系统零极点分布图四、具有零点的二阶系统分析具有零点的二阶系统比典型的二阶系统多一个零点，( 和 不变)。其闭环传递函数为： ，零点为：具有零点的二阶系统 的单位阶跃响应为：7/26/202436由上图可看出： 使得 比 响应迅速且有较大超调量。具有零点的二阶系统分析具有零点的二阶系统分析7/26/202437设
15、为零点和极点实部之比具有零点的二阶系统分析具有零点的二阶系统分析7/26/202438具有零点的二阶系统分析具有零点的二阶系统分析具有零点的二阶系统阶跃响应为：具有零点的二阶系统阶跃响应为：式中： ， 零极点分布图7/26/202439具有零点的二阶系统分析具有零点的二阶系统分析根据上式可以得出主要性能指标如下：式中： ， ，7/26/202440比例比例+微分控制的性能微分控制的性能+-比例+微分控制的性能 显然，这是一个典型二阶环节加微分顺馈。不同的是其原二阶环节的阻尼系数增加了，变为 ，而无阻尼振荡频率不变。我们知道，当阻尼系数不变时，附加零点会使系统的超调量增大。但是，增加了顺馈环节虽
16、然增加了一个零点，却使系统的阻尼系数增加了。一般来讲，超调量会下降。这样，就能改善系统的瞬态性能。 7/26/202442具有零点的二阶系统分析具有零点的二阶系统分析7/26/202443瞬态过程的性能指标例瞬态过程的性能指标例3-1解：当T不变时，T=0.25，例3-1：如图所示系统， 试求： 和 ; 和 若要求 时，当T不变时K=?7/26/202445瞬态过程的性能指标例瞬态过程的性能指标例3-2解：系统的闭环传递函数为：例3-2：上例中，用速度反馈改善系统的性能。如下图所示。为使 ，求 的值。并计算加入速度反馈后的瞬态指标。 -167/26/202446这时的瞬态性能指标为：瞬态过程的
17、性能指标例瞬态过程的性能指标例3-2显然，加入了速度反馈后， 不变，而 增加了 倍。上例中 ，若要求 ，则：7/26/202447具有零点的二阶系统性能指标与实例解：例3-3对典型的二阶系统（ ）采用微分顺馈校正。为使 ，试确定顺馈系数 和 。7/26/202448具有零点的二阶系统性能指标与实例与未加微分顺馈时比较： 显然，加了微分顺馈后，瞬态品质提高了。 表三罗列了典型二阶系统，附加速度反馈，附加微分顺馈后的性能指标。7/26/202449小结q二阶系统的动态性能指标基于以下两个条件：第一，性能指标是根据系统对单位阶跃输入的响应给出的；第二，初始条件为零。 q典型二阶系统的瞬态响应二阶无阻尼、欠阻尼、临界阻尼和过阻尼系统的阻尼系数、特征根、极点分布和单位阶跃响应。q典型二阶系统的性能指标主要是超调量和调整时间；与系统参数之间的关系；速度反馈校正。q具有零点的二阶系统单位阶跃响应的紧凑形式；性能指标；速度顺馈校正；q扰动作用下典型二阶系统性能指标7/26/202453
