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1、 高等数学高等数学( (上上) )第四节第四节 无穷小和无穷大无穷小和无穷大一一 无穷小无穷小即即若若 ，则称则称 是当是当 时的无穷小时的无穷小1 1、定义定义 如果函数如果函数 当当 时的时的极限极限为零为零，则称函数，则称函数 是当是当 的的无穷小量无穷小量. .简称无穷小简称无穷小. . 高等数学高等数学( (上上) ) 对于对于 当当 , , 有有 , ,则称则称 是当是当 时的无穷小时的无穷小. . 如如是当是当 时的无穷小时的无穷小. .是当是当 时的无穷小时的无穷小. .0.0000010.000001不是无穷小，不是无穷小，0 0 是无穷小。是无穷小。是当是当 时的无穷小时的
2、无穷小. . 高等数学高等数学( (上上) )例例1 1 证明证明 是是 的无穷小的无穷小. .证：因为证：因为注注: 无穷小与很小的数不一样无穷小与很小的数不一样. 可以可以 高等数学高等数学( (上上) )2 2、无穷小和函数极限的关系无穷小和函数极限的关系定理定理1 1 在自变量的同一变化过程中，函数在自变量的同一变化过程中，函数f(x)f(x)有极限有极限 A A 的充要条件是的充要条件是 f f（x x） A+A+，其中，其中是无穷小是无穷小. .即即其中其中 意义意义 高等数学高等数学( (上上) )定理定理2 2 有限个无穷小的和还是无穷小有限个无穷小的和还是无穷小. .证证:
3、: 只考虑两个无穷小的和只考虑两个无穷小的和. .设设 , , 是当是当 时的无穷小时的无穷小, , 且且因为因为和和3 3、无穷小的运算性质、无穷小的运算性质: : 高等数学高等数学( (上上) )取取 , ,则当则当 时时, ,有有所以所以定理得证定理得证. .注注 只能是有限个，无穷个不行只能是有限个，无穷个不行.所以对于所以对于 ，存在，存在 和和 当当 时时, , 有有当当 时时, , 有有使使使使二二二二者者者者同同同同时时时时成成成成立立立立 高等数学高等数学( (上上) )定理定理3 3 有界函数与无穷小的乘积是无穷小。有界函数与无穷小的乘积是无穷小。证证 设函数设函数 在在
4、内是有界的内是有界的, , 即存在即存在 正数正数 ，使得对，使得对 , ,都有都有 . 高等数学高等数学( (上上) )推论推论1 1 常数与无穷小的乘积是无穷小常数与无穷小的乘积是无穷小. .推论推论2 2 有限个无穷小的乘积是无穷小有限个无穷小的乘积是无穷小. .例例2:2: 求求 .解解: : 因为因为 为有界函数为有界函数 , ,且且 高等数学高等数学( (上上) )二、无穷大绝对值无限增大的变量称为绝对值无限增大的变量称为无穷大无穷大. . 高等数学高等数学( (上上) )特殊情形：特殊情形：正无穷大正无穷大，负无穷大负无穷大注意注意（1 1）无穷大是变量）无穷大是变量, ,不能与
5、很大的数混淆不能与很大的数混淆; ;（3 3）无穷大一定是无界变量）无穷大一定是无界变量, ,但是无但是无界变量未必是无穷大界变量未必是无穷大. . 高等数学高等数学( (上上) )无界无界不是无穷大不是无穷大 高等数学高等数学( (上上) )例例3 3 证明证明 当当 时为无穷大时为无穷大. .证：对于证：对于 要使要使 M，只要，只要 即即取取 , ,则对则对 ，当当 时，有时，有故故缩小的技巧缩小的技巧自己做自己做 高等数学高等数学( (上上) )证：对于证：对于 要使要使 M，只要，只要 取取 , , 则对则对 ，当当 时，有时，有故故自己做自己做 高等数学高等数学( (上上) )三、
6、无穷小与无穷大的关系三、无穷小与无穷大的关系定理定理4 4 在自变量的同一变化过程中，如果在自变量的同一变化过程中，如果 为无穷大，则为无穷大，则 为无穷小；反之，若为无穷小；反之，若 为无穷小，且为无穷小，且 , ,则则 为无穷大为无穷大. . 高等数学高等数学( (上上) )证证 高等数学高等数学( (上上) ) 高等数学高等数学( (上上) )意义意义 关于无穷大的讨论关于无穷大的讨论, ,都可归结为关于都可归结为关于无穷小的讨论无穷小的讨论. .推论推论 有限个无穷大的有限个无穷大的 乘积仍是无穷大乘积仍是无穷大.定理定理5 无穷大与有界量的和仍是无穷大无穷大与有界量的和仍是无穷大. 高等数学高等数学( (上上) )*垂直渐进线垂直渐进线 如果如果 ，则称直线，则称直线 是是 的图象的的图象的垂直渐近线垂直渐近线。如如的垂直渐近线为的垂直渐近线为和和四四 渐进线渐进线*水平渐近线水平渐近线： 如果如果 ，则称直线，则称直线 是是 的图象的的图象的水平渐近线水平渐近线。是水平渐近线是水平渐近线上例中上例中
