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1、第三章第三章 动量传递方程的若干解动量传递方程的若干解 本章讨论重点流体作简单层流流动时，动量传递方程的典型求解。主要包括：1.两平壁间的稳态层流；2.圆管与套管环隙间的稳态层流；3.无限大平板在黏性流体中的突然运动；4.极慢黏性流动（爬流）；5.势函数与理想流体的流动。1动量传递方程的分析动量传递方程的分析 动量传递方程组：当流体不可压缩时，=常数2变量数：ux，uy，uz，p；方程数：4动量传递方程的分析动量传递方程的分析 3动量传递方程组的特点：（1）非线性偏微分方程；方程组的求解目的获得速度与压力分布动量传递系数 CD（或 f ）等。（2）质点上的力平衡，仅能用于规则的层流求解。动量传
2、递方程的分析动量传递方程的分析 4方程组求解的分类： （1）对于非常简单的层流，方程经简化后，其形式非常简单，可直接积分求解解析解； （2）对于某些简单层流，可根据流动问题的物理特征进行化简。简化后，积分求解物理近似解； （3）对于复杂层流，可采用数值法求解；将方程离散化，然后求差分解； （4）对于湍流，可先进行适当转换，再根据问题的特点，结合实验，求半理论解。动量传递方程的分析动量传递方程的分析 53.1 两平壁间的稳态层流一、方程的简化二、方程的求解三、平均流速与流动压降第三章第三章 动量传递方程的若干解动量传递方程的若干解6 物理模型：流体在两平壁间作平行稳态层流流动，例如板式热交换器、
3、各种平板式膜分离装置等。y流向xzy0oy0设=常数；稳态；远离流道进、出口；流体仅沿 x方向流动：一、方程的简化一、方程的简化7（1）连续性方程的简化（2）运动方程的简化x 方向：一、方程的简化一、方程的简化8z 方向：y 方向：一、方程的简化一、方程的简化9(b)(c)（a)（b）对 y 积分得 对x 微分得因仅是 y 的函数一、方程的简化一、方程的简化10二、方程的求解二、方程的求解边界条件（B.C.）：（1）（2）速度分布为 抛物线形当时速度最大11三、平均流速与流动压降三、平均流速与流动压降在流动方向上，取单位宽度的流通截面则通过该截面的体积流率为平均流速：y01m12压降：范宁摩擦
4、因子（推导过程？）：三、平均流速与流动压降三、平均流速与流动压降133.1 两平壁间的稳态层流3.2 圆管与套管环隙间的稳态层流 一、圆管中的轴向稳态层流 二、套管环隙中的轴向稳态层流二、套管环隙中的轴向稳态层流 三、旋转黏度计的测量原理第三章第三章 动量传递方程的若干解动量传递方程的若干解14 一、圆管中的轴向稳态层流圆管中的轴向稳态层流 流体在圆管中的流动问题许多工程科学中遇到。 设：不可压缩流体在水平圆管中作稳态层流流动，所考察的部位远离管道进、出口，流动为沿轴向的一维流动。zr15柱坐标连续性方程的简化N-S方程简化r 分量: 一、圆管中的轴向稳态层流圆管中的轴向稳态层流 16z 分量
5、: 一、圆管中的轴向稳态层流圆管中的轴向稳态层流 17 分量: 一、圆管中的轴向稳态层流圆管中的轴向稳态层流 18 一、圆管中的轴向稳态层流圆管中的轴向稳态层流 19速度分布 管中心最大流速平均流速 一、圆管中的轴向稳态层流圆管中的轴向稳态层流 20压力降 范宁摩擦因子 一、圆管中的轴向稳态层流圆管中的轴向稳态层流 21 二、套管环隙中的轴向稳态层流管环隙中的轴向稳态层流 流体在两根同心套管环隙空间沿轴向的流动在物料的加热或冷却时经常遇到，如套管换热器。 设：不可压缩流体在两管环隙间沿轴向流过。设所考察的部位远离进、出口，求解套管环隙内的速度分布、主体流速以及压力降的表达式。22套管环隙中层流
6、的变化方程与圆管相同，即B.C. 为 二、套管环隙中的轴向稳态层流 23速度分布由B.C.+由B.C.+联立二式 二、套管环隙中的轴向稳态层流管环隙中的轴向稳态层流 24主体流速压力降范宁摩擦因子 二、套管环隙中的轴向稳态层流管环隙中的轴向稳态层流 25 三、旋转黏度计的测量原理三、旋转黏度计的测量原理 两垂直的同轴圆筒，内筒的直径为a, 外筒的直径为b, 在两筒的环隙间充满不可压缩流体。当内筒以角速度 、外筒以角速度 旋转时，将带动流体沿圆周方向绕轴线作层流流动。若圆筒足够长，端效应可以忽略。 ab26连续性方程简化 运动方程简化 三、旋转黏度计的测量原理三、旋转黏度计的测量原理27 三、旋
7、转黏度计的测量原理三、旋转黏度计的测量原理28 三、旋转黏度计的测量原理三、旋转黏度计的测量原理29B.C. 通解： 三、旋转黏度计的测量原理三、旋转黏度计的测量原理30方向上的剪应力与形变速率的关系： 代入速度分布方程 通常，旋转粘度计的内筒固定不动（ ），故作用于外圆筒内壁上的剪应力为： 三、旋转黏度计的测量原理三、旋转黏度计的测量原理31 已知旋转粘度计圆筒长为L，则作用于外筒内壁上的摩擦力为外筒绕轴旋转的力矩为 三、旋转黏度计的测量原理三、旋转黏度计的测量原理32 测定某未知粘度的液体时，规定外圆筒转速 ，测定相应的转动力矩 ，可由上式计算待测液体的粘度。 三、旋转黏度计的测量原理三、
8、旋转黏度计的测量原理333.1 两平壁间的稳态层流3.2 圆管与套管环隙间的稳态层流3.3 非稳态流动求解的例一、方程的化简二、方程的求解第三章第三章 动量传递方程的若干解动量传递方程的若干解34 非稳态流动的求解的例靠近平板的无限大流体当平板突然运动时的流动分布。一、方程的化简一、方程的化简 考察位于平板（ xz 平面）上方的半无限大流体，流体初始静止。在 t= 0 时刻，平板以恒速 u0 沿 x 正方向运动，求流速分布。 设 x 方向压力梯度为零，流动为层流。xxxt0，流体静止yyyt0，平板运动t0，非稳态流动u0u035 由于 由连续性方程和运动方程化简可得 I.C. 0，ux0；(
9、所有 y) B.C. y = 0，uxu0；(所有 0)y = ，ux0；(所有 0)一、方程的化简一、方程的化简36 令B.C.（1），B.C.（2）二、方程的求解二、方程的求解37 两次积分得 速度分布 误差函数。yu0二、方程的求解二、方程的求解38 剪应力 任一瞬时，壁面上的剪应力为二、方程的求解二、方程的求解393.1 两平壁间的稳态层流3.2 圆管与套管环隙间的稳态层流3.3 非稳态流动求解的例3.4 极慢黏性流动（爬流）一、爬一、爬流的概念与爬流运动方程流的概念与爬流运动方程二、斯托克斯定律二、斯托克斯定律第三章第三章 动量传递方程的若干解动量传递方程的若干解40一、爬一、爬流的
10、概念与爬流运动方程流的概念与爬流运动方程惯性力粘性力重力压力本节求运动方程的物理近似解。流体流动时，起支配作用的是惯性力和黏性力。41Re =惯性力/粘性力 本节讨论 Re 0.1的流动，称为爬流 ( Creeping flow) 。 （1）当流动的Re很大，惯性力黏性力，惯性力起主导作用，黏性力是次要因素。 （2）当流动的Re很小，惯性力黏性力，粘性力起主导作用，惯性力是次要因素。一、爬一、爬流的概念与爬流运动方程流的概念与爬流运动方程42略去运动方程中的惯性力和重力项： 方程的特点：线性偏微分方程组，4个方程，4个未知量，可直接求出解析解。一、爬一、爬流的概念与爬流运动方程流的概念与爬流运
11、动方程43球粒子在流体中的沉降 半径为r0的球粒子在静止无界不可压缩流体中以u0运动。设流动 Re很小。二、斯托克斯定律二、斯托克斯定律A(x , y, z)r0xyzu01.流体的速度分布；2.压力分布；3.粒子沉降的阻力。r44（1）方程简化连续性方程：稳态轴对称运动方程B.C.二、斯托克斯定律二、斯托克斯定律45（2）速度及压力分布二、斯托克斯定律二、斯托克斯定律46球坐标本构方程（3）流动阻力二、斯托克斯定律二、斯托克斯定律A(x , y, z)r0xyzu047故球面上则球面上代入本构方程代入速度和压力分布方程本构方程用于球面上二、斯托克斯定律二、斯托克斯定律48流动阻力（斯托克斯方
12、程）阻力系数适用条件Re 0.1二、斯托克斯定律二、斯托克斯定律49例：根据粒子沉降的终端速度测定流体粘度：根据粒子沉降的终端速度测定流体粘度。解：球粒子在粘性流体中降落时，它将一直加速，直至获得一球粒子在粘性流体中降落时，它将一直加速，直至获得一恒定的终端速度为止。当达到这一状态时，作用于粒子上恒定的终端速度为止。当达到这一状态时，作用于粒子上的合力必为零。因此的合力必为零。因此式中，式中，r r0 0为球粒子半径，为球粒子半径，s s 为球粒子密度，为球粒子密度，为流体密度。为流体密度。则可解得则可解得当且仅当当且仅当Re 惯性力，惯性力起主导作用，除壁面附近的流体层外，大部分区域可按理想
13、流体考虑。 研究理想流体流动的学科称为理论流体动力学，在航空、航天、水利工程等领域应用广泛。如研究流体绕过沉浸物体的流动的问题时，理想流体的理论可以用来解决压力分布等问题。一、理想流体的运动方程一、理想流体的运动方程52N-S方程连续性方程一、理想流体的运动方程一、理想流体的运动方程53 方程特点：非线性偏微分方程组，4个方程，4个变量。为求解析解，可将方程转化为线性方程。为此，引入势函数的概念。一、理想流体的运动方程一、理想流体的运动方程54二、流体的旋度与速度势函数二、流体的旋度与速度势函数流体的旋度当 ， 为无旋流动； ，为有旋流动。55速度势函数 以二维流动（x，y方向）为例讨论：无旋
14、流动时，00二、流体的旋度与速度势函数二、流体的旋度与速度势函数56令积分 令C=0 引入势函数的目的是将速度变量 用一个变量 代替，从而使方程的求解得以简化。定义二、流体的旋度与速度势函数二、流体的旋度与速度势函数57 速度势函数存在的唯一条件是：流动无旋。因此，在三维流动中，也存在相应的速度势函数 关系：二、流体的旋度与速度势函数二、流体的旋度与速度势函数58三、势流的速度与压力分布三、势流的速度与压力分布 势流理想流体的无旋流动。 势流的求解：B.C.1.速度分布592.压力分布x 方向的欧拉方程：三、势流的速度与压力分布三、势流的速度与压力分布 60令x 方向:y 方向:z 方向:无旋
15、流动三、势流的速度与压力分布三、势流的速度与压力分布 61取坐标 x，y 水平，z垂直向下 重力场为有势场，令单位质量流体所具有的势能为三、势流的速度与压力分布三、势流的速度与压力分布 62积分 Bernoulli equation 理想流体作无旋流动时，动能、位能与压力能之和为常数，不产生流动阻力。三、势流的速度与压力分布三、势流的速度与压力分布 633.2 圆管与套管环隙间的稳态层流3.3 非稳态流动求解的例3.4 极慢黏性流动（爬流）3.5 理想流体的势流流动3.6 平面流与流函数的概念一、平面流一、平面流 二、流函数二、流函数 3.1 两平壁间的稳态层流第三章第三章 动量传递方程的若干
16、解动量传递方程的若干解64一、平面流一、平面流 许多流动体系，其一个方向的尺度要比另外两个方向的尺度大得多，例如矩形管道、流体在一个很宽的平壁面的流动等。对于这类问题，由于流体的物理量在一个方向上无变化或变化很小，可将其按二维流动处理。 65稳态不可压缩流体的平面流的变化方程：一、平面流一、平面流 66二、流函数二、流函数 不可压缩流体的平面流动的连续性方程为 令积分 令C = 0 67定义流函数流函数满足连续性方程，证明？思考题 试证明：不可压缩流体作二维平面无旋流动时，流函数满足拉普拉斯方程： 二、流函数二、流函数 68习习 题题 1 1. 不可压缩流体在相距为不可压缩流体在相距为 2y0
17、 的两平行平壁间的两平行平壁间作一维稳态层流流动。若上板以作一维稳态层流流动。若上板以 u0 的速度移动的速度移动 ，下板静止不动，试导出其速度分布、剪应力、体下板静止不动，试导出其速度分布、剪应力、体积流率和平均速度的表达式。积流率和平均速度的表达式。69习习 题题 2 2. 粘性流体沿垂直圆柱体的外粘性流体沿垂直圆柱体的外表面以稳态的层流液膜向下流表面以稳态的层流液膜向下流动，如本题附图所示。试求该动，如本题附图所示。试求该流动的速度分布。该液体的密流动的速度分布。该液体的密度和粘度分别为度和粘度分别为 和和 。70习习 题题 3. 如本题附图所示，两平行的水平平板间有两如本题附图所示，两
18、平行的水平平板间有两层互不相溶的不可压缩流体，这两层流体的密度、层互不相溶的不可压缩流体，这两层流体的密度、动力粘度和厚度分别为动力粘度和厚度分别为 和为和为 ，设两板静止，流体在常压力梯度作用下发生层流运设两板静止，流体在常压力梯度作用下发生层流运动，试求流体的速度分布。动，试求流体的速度分布。 71 4 4. 半径为半径为 r0 的无限长圆柱体以恒定角速度的无限长圆柱体以恒定角速度 在无限流体中绕自身轴作旋转运动。设流体不可在无限流体中绕自身轴作旋转运动。设流体不可压缩，试从一般柱坐标系的运动方程出发，导出压缩，试从一般柱坐标系的运动方程出发，导出本流动问题的运动方程，并求速度分布与压力分本流动问题的运动方程，并求速度分布与压力分布的表达式。布的表达式。习习 题题 5 5. 试求与速度势试求与速度势 相对应相对应的流函数的流函数 ，并求流场中点，并求流场中点（2，5）的压力梯）的压力梯度（忽略质量力）。度（忽略质量力）。 72
