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1、7 克拉默法则克拉默法则1二元线性方程组二元线性方程组 若令若令 ( (方程组的系数行列式方程组的系数行列式) )则上述二元线性方程组的解可表示为则上述二元线性方程组的解可表示为2一、克拉默法则一、克拉默法则如果线性方程组如果线性方程组的系数行列式不等于零，即的系数行列式不等于零，即3其中其中 是把系数行列式是把系数行列式 中第中第 列的元素用方程组右端的常列的元素用方程组右端的常数项代替后所得到的数项代替后所得到的 阶行列式，即阶行列式，即那么线性方程组那么线性方程组(1)(1)有解并且解是唯一的，解可以表示成有解并且解是唯一的，解可以表示成4定理中包含着三个结论：定理中包含着三个结论：方程
2、组有解；方程组有解；（解的存在性）（解的存在性） 解是唯一的；解是唯一的；（解的唯一性）（解的唯一性）解可以由公式解可以由公式( (2) )给出给出. .这三个结论是有联系的这三个结论是有联系的. . 应该注意，该定理所讨论的只是系应该注意，该定理所讨论的只是系数行列式不为零的方程组，至于系数行列式等于零的情形，数行列式不为零的方程组，至于系数行列式等于零的情形，将在第三章的一般情形中一并讨论将在第三章的一般情形中一并讨论. .5关于关于克拉默克拉默法则的等价命题法则的等价命题定理定理4 如果线性方程组如果线性方程组( (1) )的系数行列式不等于零，则该的系数行列式不等于零，则该线性方程组一
3、定有解线性方程组一定有解, ,而且解是唯一的而且解是唯一的 . .定理定理4 如果线性方程组无解或有两个不同的解，则它的系如果线性方程组无解或有两个不同的解，则它的系数行列式必为零数行列式必为零. .设设6例例 解线性方程组解线性方程组解解7线性方程组线性方程组常数项全为零的线性方程组称为常数项全为零的线性方程组称为齐次线性方程组齐次线性方程组，否则，否则称为称为非齐次线性方程组非齐次线性方程组. .齐次线性方程组总是有解的，因为齐次线性方程组总是有解的，因为(0,0,(0,0, 0), 0)就是一个就是一个解，称为解，称为零解零解. . 因此，齐次线性方程组一定有零解，但因此，齐次线性方程组
4、一定有零解，但不一定有非零解不一定有非零解. . 我们关心的问题是，齐次线性方程组除零解以外是否存我们关心的问题是，齐次线性方程组除零解以外是否存在着非零解在着非零解. . 8齐次线性方程组的相关定理齐次线性方程组的相关定理定理定理5 如果齐次线性方程组的系数行列式如果齐次线性方程组的系数行列式 ，则齐次，则齐次线性方程组只有零解，没有非零解线性方程组只有零解，没有非零解. .定理定理5 如果齐次线性方程组有非零解如果齐次线性方程组有非零解, ,则它的系数行列式必为则它的系数行列式必为零零. . 备注备注1.1.这两个结论说明系数行列式等于零是齐次线性方程组有非这两个结论说明系数行列式等于零是
5、齐次线性方程组有非零解的必要条件零解的必要条件. . 2.2.在第三章还将证明这个条件也是充分的在第三章还将证明这个条件也是充分的. . 即：即：齐次线性方程组有非零解齐次线性方程组有非零解 系数行列式等于零系数行列式等于零9练习题：练习题：问问 取何值时，齐次方程组取何值时，齐次方程组有非零解？有非零解？解解如果齐次方程组有非零解，则必有如果齐次方程组有非零解，则必有 . .所以所以 时齐次方程组有非零解时齐次方程组有非零解. .10思考题思考题当线性方程组的系数行列式为零时，能否用克拉默法则当线性方程组的系数行列式为零时，能否用克拉默法则解方程组？为什么？此时方程组的解为何？解方程组？为什
6、么？此时方程组的解为何？答：当线性方程组的系数行列式为零时，不能用克拉默法答：当线性方程组的系数行列式为零时，不能用克拉默法则解方程组，因为此时方程组的解为无解或有无穷多解则解方程组，因为此时方程组的解为无解或有无穷多解. .111. 用克拉默法则解线性方程组的两个条件用克拉默法则解线性方程组的两个条件(1)方程个数等于未知量个数；方程个数等于未知量个数；(2)系数行列式不等于零系数行列式不等于零.2. 克拉默法则的意义主要在于建立了线性方程组的解克拉默法则的意义主要在于建立了线性方程组的解和已知的系数以及常数项之间的关系和已知的系数以及常数项之间的关系它主要适用于它主要适用于理论推导理论推导三、小结三、小结12
