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1、2.8函数与方程数学数学 苏（理）苏（理）第二章函数概念与基本初等函数基础知识基础知识自主学习自主学习题型分类题型分类深度剖析深度剖析思想方法思想方法感悟提高感悟提高练出高分练出高分1.函数的零点(1)函数零点的定义对于函数yf(x) (xD)，把使 的实数x叫做函数yf(x) (xD)的零点.(2)几个等价关系方程f(x)0有实数根函数yf(x)的图象与 有交点函数yf(x)有 .f(x)0x轴零点(3)函数零点的判定(零点存在性定理)如果函数yf(x)在区间a，b上的图象是连续不断的一条曲线，并且有 ，那么，函数yf(x)在区间 内有零点，即存在c(a，b)，使得 ，这个 也就是方程f(x
2、)0的根.f(a)f(b)0)的图象与零点的关系000)的图象与x轴的交点 无交点零点个数 (x1,0)，(x2,0)(x1,0)2103.二分法对于在区间a，b上连续不断且 的函数yf(x)，通过不断地把函数f(x)的零点所在的区间 ，使区间的两个端点逐步逼近 ，进而得到零点近似值的方法叫做二分法.f(a)f(b)0一分为二零点u思考辨析判断下面结论是否正确(请在括号中打“”或“”)(1)函数的零点就是函数的图象与x轴的交点.()(2)函数yf(x)在区间(a，b)内有零点(函数图象连续不断)，则f(a)f(b)0.()(3)二次函数yax2bxc(a0)在b24ac0时没有零点.( )(4
3、)只要函数有零点，我们就可以用二分法求出零点的近似值.()(5)函数y2sin x1的零点有无数多个.()(6)函数f(x)kx1在1,2上有零点，则1k .()题号答案解析1234 1(a，b)和(b，c)3解析由于ab0，f(b)(bc)(ba)0.因此有f(a)f(b)0，f(b)f(c)0，又因f(x)是关于x的二次函数，函数的图象是连续不断的曲线，因此函数f(x)的两零点分别位于区间(a，b)和(b，c)内.题型一函数零点的判断和求解题型一函数零点的判断和求解例1 (1)根据表格中的数据，可以判定方程exx20的一个零点所在的区间为(k，k1)(kN)，则k的值为 .解析答案思维升华
4、x10123ex0.3712.727.3920.09x212345令f(x)exx2，f(1)e30.f(x)的 零 点 在 区 间(1,2)内，k1.题型一函数零点的判断和求解题型一函数零点的判断和求解例1 (1)根据表格中的数据，可以判定方程exx20的一个零点所在的区间为(k，k1)(kN)，则k的值为 .x10123ex0.3712.727.3920.09x212345解析答案思维升华令f(x)exx2，f(1)e30.f(x)的 零 点 在 区 间(1,2)内，k1.题型一函数零点的判断和求解题型一函数零点的判断和求解例1 (1)根据表格中的数据，可以判定方程exx20的一个零点所在
5、的区间为(k，k1)(kN)，则k的值为 .x10123ex0.3712.727.3920.09x2123451解析答案思维升华函数零点的求法：(1)直接求零点：令f(x)0，如果能求出解，则有几个解就有几个零点.题型一函数零点的判断和求解题型一函数零点的判断和求解例1 (1)根据表格中的数据，可以判定方程exx20的一个零点所在的区间为(k，k1)(kN)，则k的值为 .x10123ex0.3712.727.3920.09x2123451解析答案思维升华(2)零点存在性定理：利用定理不仅要函数在区间a，b上是连续不断的曲线，且f(a)f(b)0时，作函数yln x和yx22x的图象，由图知，
6、x0时，f(x)有两个零点；解析答案思维升华当x0时，由f(x)0得x ，综上，f(x)有三个零点.解析答案思维升华当x0时，由f(x)0得x ，综上，f(x)有三个零点.3解析答案思维升华函数零点的求法：(1)直接求零点：令f(x)0，如果能求出解，则有几个解就有几个零点.3解析答案思维升华(2)零点存在性定理：利用定理不仅要函数在区间a，b上是连续不断的曲线，且f(a)f(b)0，还必须结合函数的图象与性质(如单调性、奇偶性)才能确定函数有多少个零点.3解析答案思维升华(3)利用图象交点的个数：将函数变形为两个函数的差，画两个函数的图象，看其有几个交点，就有几个不同的零点.3解析答案思维升
7、华解析 f(2)2260，f(1)2130，f(1)2350，f(2)226100，f(1)f(0)0.跟踪训练1 (2)若定义在R上的偶函数f(x)满足f(x2)f(x)，且当x0,1时，f(x)x，则函数yf(x)log3|x|的零点个数是 .解析 由题意知，f(x)是周期为2的偶函数.在同一坐标系内作出函数yf(x)及ylog3|x|的图象，如下：跟踪训练1 (2)若定义在R上的偶函数f(x)满足f(x2)f(x)，且当x0,1时，f(x)x，则函数yf(x)log3|x|的零点个数是 .观察图象可以发现它们有4个交点，即函数yf(x)log3|x|有4个零点.4解析思维升华题型二二次函
8、数的零点问题题型二二次函数的零点问题例2 已知函数f(x)x2ax2，aR.(1)若不等式f(x)0的解集为1,2，求不等式f(x)1x2的解集；解 因为不等式f(x)0的解集为1,2，所以a3，于是f(x)x23x2.由f(x)1x2得，1x2x23x2，题型二二次函数的零点问题题型二二次函数的零点问题例2 已知函数f(x)x2ax2，aR.(1)若不等式f(x)0的解集为1,2，求不等式f(x)1x2的解集；解析思维升华解得x 或x1，所以不等式f(x)1x2的解集为x|x 或x1.题型二二次函数的零点问题题型二二次函数的零点问题例2 已知函数f(x)x2ax2，aR.(1)若不等式f(x
9、)0的解集为1,2，求不等式f(x)1x2的解集；解析思维升华解决二次函数的零点问题：(1)可利用一元二次方程的求根公式；(2)可用一元二次方程的判别式及根与系数的关系；(3)利用二次函数的图象列不等式组.题型二二次函数的零点问题题型二二次函数的零点问题例2 已知函数f(x)x2ax2，aR.(1)若不等式f(x)0的解集为1,2，求不等式f(x)1x2的解集；解析思维升华解析思维升华例2 (2)若函数g(x)f(x)x21在区间(1,2)上有两个不同的零点，求实数a的取值范围.解函数g(x)2x2ax3在区间(1,2)上有两个不同的零点，例2 (2)若函数g(x)f(x)x21在区间(1,2
10、)上有两个不同的零点，求实数a的取值范围.解析思维升华例2 (2)若函数g(x)f(x)x21在区间(1,2)上有两个不同的零点，求实数a的取值范围.所以实数a的取值范围是(5，2 ).解析思维升华解决二次函数的零点问题：(1)可利用一元二次方程的求根公式；(2)可用一元二次方程的判别式及根与系数的关系；(3)利用二次函数的图象列不等式组.例2 (2)若函数g(x)f(x)x21在区间(1,2)上有两个不同的零点，求实数a的取值范围.解析思维升华跟踪训练2已知f(x)x2(a21)x(a2)的一个零点比1大，一个零点比1小，求实数a的取值范围.解方法一设方程x2(a21)x(a2)0的两根分别
11、为x1，x2(x1x2)，则(x11)(x21)0，即x1x2(x1x2)10，由根与系数的关系，得(a2)(a21)10，即a2a20，2a1.跟踪训练2已知f(x)x2(a21)x(a2)的一个零点比1大，一个零点比1小，求实数a的取值范围.方法二函数图象大致如图，则有f(1)0，即1(a21)a20，故2a0)，则原方程可变为t2ata10，(*)原方程有实根，即方程(*)有正根.令f(t)t2ata1.解析思维升华题型三函数零点和参数的题型三函数零点和参数的范围范围例3 若关于x的方程22x2xaa10有实根，求实数a的取值范围.若方程(*)有两个正实根t1，t2，解析思维升华题型三函
12、数零点和参数的题型三函数零点和参数的范围范围例3 若关于x的方程22x2xaa10有实根，求实数a的取值范围.若方程(*)有一个正实根和一个负实根(负实根，不合题意，舍去)，则f(0)a10，解得a0，解得a1.解析思维升华题型三函数零点和参数的题型三函数零点和参数的范围范围例3 若关于x的方程22x2xaa10有实根，求实数a的取值范围.综上，a的取值范围是(，22 .方法二(分离变量法)解析思维升华题型三函数零点和参数的题型三函数零点和参数的范围范围例3 若关于x的方程22x2xaa10有实根，求实数a的取值范围.解析思维升华题型三函数零点和参数的题型三函数零点和参数的范围范围例3 若关于
13、x的方程22x2xaa10有实根，求实数a的取值范围.解析思维升华对于“af(x)有解”型问题，可以通过求函数yf(x)的值域来解决，解的个数也可化为函数yf(x)的图象和直线ya交点的个数.题型三函数零点和参数的题型三函数零点和参数的范围范围例3 若关于x的方程22x2xaa10有实根，求实数a的取值范围.解析思维升华跟踪训练3(2014江苏)已知f(x)是定义在R上且周期为3的函数，当x0,3)时，f(x)|x22x |.若函数yf(x)a在区间3,4上有10个零点(互不相同)，则实数a的取值范围是 .解析作出函数yf(x)在3,4上的图象，f(3)f(2)f(1)f(0)f(1)f(2)
14、f(3)f(4) ，观察图象可得0a .思 维 点 拨解 析温 馨 提 醒思想与方法系列思想与方法系列3 数形结合思想在函数零点问题中的应用数形结合思想在函数零点问题中的应用典例：(1)方程log3xx30的解所在的区间是 .利用零点存在性定理；思想与方法系列思想与方法系列3 数形结合思想在函数零点问题中的应用数形结合思想在函数零点问题中的应用典例：(1)方程log3xx30的解所在的区间是 .思 维 点 拨解 析温 馨 提 醒思想与方法系列思想与方法系列3 数形结合思想在函数零点问题中的应用数形结合思想在函数零点问题中的应用典例：(1)方程log3xx30的解所在的区间是 .设f(x)log
15、3xx3，则f(2)log3210，f(x)0在(2,3)有零点，又f(x)为增函数，f(x)0的零点在(2,3)内.(2,3)思 维 点 拨解 析温 馨 提 醒(1)零点问题可转化为函数图象的交点问题进行求解，体现了数形结合的思想(2)求零点范围时用数形结合求解可减少思维量，作图时要尽量准确.思想与方法系列思想与方法系列3 数形结合思想在函数零点问题中的应用数形结合思想在函数零点问题中的应用典例：(1)方程log3xx30的解所在的区间是 .(2,3)思 维 点 拨解 析温 馨 提 醒思 维 点 拨解 析温 馨 提 醒(2)已 知 函 数 f(x) logax x b(a0， 且 a1)，
16、当2a3b0， 且 a1)， 当2a3b0， 且 a1)， 当2a3b0， 且 a1)， 当2a3b1时，由f(x)1log2x0，解得x ，又因为x1，所以此时方程无解.综上函数f(x)的零点只有0.0234567891012.方程|x22x|a21(a0)的解的个数是 .2解析(数形结合法)a0，a211.而y|x22x|的图象如图，y|x22x|的图象与ya21的图象总有两个交点.234567891013.若关于x的方程x2mx10有两个不相等的实数根，则实数m的取值范围是 .解析方程x2mx10有两个不相等的实数根，m240，m2或m2.(，2)(2，)234567891014.函数f
17、(x)xcos x2在区间0,4上的零点个数为 .6解析由f(x)xcos x20，得x0或cos x20.又x0,4，所以x20,16.由于cos( k)0(kZ)，故零点个数为156.234567891015.已知三个函数f(x)2xx，g(x)x2，h(x)log2xx的零点依次为a，b，c，则a，b，c的大小关系为 .解析方法一由于f(1) 1 0，且f(x)为R上的增函数.故f(x)2xx的零点a(1,0).g(2)0，g(x)的零点b2；23456789101且h(x)为(0，)上的增函数，方法二由f(x)0得2xx；由h(x)0得log2xx作出函数y2x，23456789101
18、由图象易知a0,0c1，而b2，故ac0的解集是 .解析f(x)x2axb的两个零点是2,3.2,3是方程x2axb0的两根，23456789101f(x)x2x6.不等式af(2x)0，即(4x22x6)02x2x30，234567891017.函数f(x)3x7ln x的零点位于区间(n，n1)(nN)内，则n .解析由于ln 2ln e1，所以f(2)1，所以f(3)0，所以增函数f(x)的零点位于区间(2,3)内，故n2.223456789101由于函数g(x)f(x)m有3个零点，结合图象得：0m0，则应有f(2)0，又f(2)22(m1)21，m .2345678910123456
19、789101由可知m的取值范围是(，1.23456789101方法二显然x0不是方程x2(m1)x10的解，0x2时，方程可变形为又yx 在(0,1上单调递减，1,2上单调递增，yx 在(0,2的取值范围是2，)，1m2，m1，故m的取值范围是(，1.234516234516解析作出函数f(x)的图象如图所示，其中A(1,1)，B(0，2).因为直线ymxmm(x1)恒过定点C(1,0)，故当直线ym(x1)在AC位置时，m ，可知当直线ym(x1)在x轴和AC之间运动时两图象有两个不同的交点(直线ym(x1)可与AC重合但不能与x轴重合)，234516当直线ym(x1)过点B时，m2；当直线
20、ym(x1)与曲线f(x)相切时，由(2m3)24m(m2)0，解得m ，234516此时00和k0作出函数f(x)的图象.当0k1或k0时，没有交点，故当0k0).(1)若yg(x)m有零点，求m的取值范围；等号成立的条件是xe，故g(x)的值域是2e，)，因而只需m2e，则yg(x)m就有零点.234516可知若使yg(x)m有零点，则只需m2e.234516(2)确定m的取值范围，使得g(x)f(x)0有两个相异实根.解 若g(x)f(x)0有两个相异实根，即g(x)与f(x)的图象有两个不同的交点，作出g(x)x (x0)的大致图象如图.f(x)x22exm1(xe)2m1e2.234516其图象的对称轴为xe，开口向下，最大值为m1e2.故当m1e22e，即me22e1时，g(x)与f(x)有两个交点，即g(x)f(x)0有两个相异实根.m的取值范围是(e22e1，).234516
