《最新向量组的线性相关性幻灯片》由会员分享，可在线阅读，更多相关《最新向量组的线性相关性幻灯片（17页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、向量组的线性相关性向量组的线性相关性上页下页铃结束返回首页补充例题v向量组的线性相关与线性无关 给定向量组A a1 a2 am 如果存在不全为零的数k1 k2 km 使k1a1k2a2 kmam0则称向量组A是线性相关的 否则称它线性无关 显然有 (1)含零向量的向量组必线性相关 (2)一个向量a线性相关 a0 (3)两个非零向量a1 a2线性相关 a1ka2(即对应分量成比例) 向量组a1 a2线性相关的几何意义是这两个向量共线 下页上页下页铃结束返回首页补充例题上页下页铃结束返回首页补充例题上页下页铃结束返回首页补充例题上页下页铃结束返回首页补充例题上页下页铃结束返回首页补充例题上页下页铃
2、结束返回首页补充例题上页下页铃结束返回首页补充例题 设有x1 x2 x3使 x1b1x2b2x3b30即 x1(a1a2)x2(a2a3)x3(a3a1)0亦即(x1x3)a1(x1x2)a2(x2x3)a30 因为a1 a2 a3线性无关 故有 例3 已知向量组a1 a2 a3线性无关 b1a1a2 b2a2a3 b3a3a1 试证向量组b1 b2 b3线性无关 证法一 由于此方程组的系数行列式故方程组只有零解x1x2x30 所以向量组b1 b2 b3线性无关下页上页下页铃结束返回首页补充例题 把已知的三个向量等式写成一个矩阵等式 例3 已知向量组a1 a2 a3线性无关 b1a1a2 b2
3、a2a3 b3a3a1 试证向量组b1 b2 b3线性无关 证法二 因为矩阵A的列向量组线性无关 所以可推知Kx0 又因|K|20 知方程Kx0只有零解x0 所以矩阵B的列向量组b1 b2 b3线性无关 记作BAK 设Bx0 以BAK代入得A(Kx)0 下页上页下页铃结束返回首页补充例题 例3 已知向量组a1 a2 a3线性无关 b1a1a2 b2a2a3 b3a3a1 试证向量组b1 b2 b3线性无关 证法三 因为A的列向量组线性无关 所以R(A)3 从而R(B)3 因此b1 b2 b3线性无关因为|K|20 知K可逆 所以R(B)R(A) 把已知的三个向量等式写成一个矩阵等式 记作BAK
4、 下页上页下页铃结束返回首页补充例题v定理2 (1)若向量组A a1 a2 am线性相关 则向量组B a1 a2 am am1也线性相关 反之 若向量组B线性无关 则向量组A也线性无关 这是因为 记A(a1 a2 am) B( a1 a2 am am1) 有R(B)R(A)1 若向量组A线性相关 则有R(A)m 从而R(B)R(A)1m1 因此向量组B线性相关 下页上页下页铃结束返回首页补充例题v定理2 (1)若向量组A a1 a2 am线性相关 则向量组B a1 a2 am am1也线性相关 反之 若向量组B线性无关 则向量组A也线性无关 这个结论可一般地叙述为 一个向量组若有线性相关的部分
5、组 则该向量组线性相关 一个向量组若线性无关 则它的任何部分组都线性无关 特别地 含零向量的向量组必线性相关下页上页下页铃结束返回首页补充例题v定理2 (1)若向量组A a1 a2 am线性相关 则向量组B a1 a2 am am1也线性相关 反之 若向量组B线性无关 则向量组A也线性无关 (2)m个n维向量组成的向量组 当维数n小于向量个数m时一定线性相关 特别地 n1个n维向量一定线性相关 这是因为 m个n维向量a1 a2 am构成矩阵Anm(a1 a2 am) 有R(A)n 若nm 则R(A)nm 故m个向量a1 a2 am线性相关下页上页下页铃结束返回首页补充例题v定理2 (1)若向量
6、组A a1 a2 am线性相关 则向量组B a1 a2 am am1也线性相关 反之 若向量组B线性无关 则向量组A也线性无关 (2)m个n维向量组成的向量组 当维数n小于向量个数m时一定线性相关 特别地 n1个n维向量一定线性相关 (3)设向量组A a1 a2 am线性无关 而向量组B a1 a2 am b线性相关 则向量b必能由向量组A线性表示 且表示式是唯一的 这是因为 记A(a1 a2 am) B( a1 a2 am b) 有即向量b能由向量组A线性表示 且表示式唯一有唯一解(a1 a2 am)xb因此方程组 即有R(B)R(A)m mR(A)R(B)m1 下页上页下页铃结束返回首页补充例题 (2)用反证法 假设a4能由a1 a2 a3线性表示 而由(1)知a1能由a2 a3线性表示 例4 设向量组a1 a2 a3线性相关 向量组a2 a3 a4线性无关 证明 (1) a1能由a2 a3线性表示 (2) a4不能由a1 a2 a3线性表示 (1)因为a2 a3 a4线性无关 所以a2 a3也线性无关 证明 因此a4能由a2 a3线性表示 这与a2 a3 a4线性无关矛盾又a1 a2 a3线性相关 所以a1能由a2 a3线性表示 结束结束语结束语谢谢大家聆听！谢谢大家聆听！17
