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1、非线性规划非线性规划 （Nonlinear Programming） 第六章第六章 一般的非一般的非线性性规划划问题6.1 问题概概论（模型）（模型） min f (x) s .t 1 1（两类问题）无约束极值问题与约束极值问题（两类问题）无约束极值问题与约束极值问题（两类问题）无约束极值问题与约束极值问题（两类问题）无约束极值问题与约束极值问题（一些基本定义）（一些基本定义） 梯度梯度 Hesse矩阵矩阵 Jaccobi矩阵矩阵 2 2 6.2 6.2 最优解分类最优解分类最优解分类最优解分类 （注：不一定存在）（注：不一定存在）（注：不一定存在）（注：不一定存在） 定义定义6.2.1 整体
2、（全局）最优解整体（全局）最优解 定义定义6.2.2 局部最优解局部最优解 （已有算法基本都是求局（已有算法基本都是求局部最优解的）部最优解的） 6.3 凸集与凸函数凸集与凸函数定义定义6.3.1 凸集凸集定义定义6.3.2 （严格）凸函数（严格）凸函数 称定义在凸集称定义在凸集K上的实值上的实值函数函数f (x)为凸函数，若为凸函数，若 定义定义6.3.3 凹函数凹函数 3 3定义定义6.3.4 凸规划凸规划（图集上凸函数的极小化问题）定理定理6.3.1 设 、 均为凸集，则则 也是凸也是凸集集 ，对任意实数， 是凸集是凸集。 （证明）（推广）定理定理6.3.2 有限个凸集的交集必是凸集定理
3、定理6.3.3 （分离定理）K为闭凸集， 则 定理定理6.3.4 （支撑超平面定理）（支撑超平面定理）4 4 定理定理6.3.5 若若 均为凸集均为凸集K上的凸函数，则上的凸函数，则 也是也是K上的凸函数。上的凸函数。 （请证明）（请证明）定理定理6.3.6 设设f (x)是凸集是凸集K上的凸函数，则上的凸函数，则 实数实数C，水平集，水平集 必为凸集。必为凸集。定理定理6.3.7 若若f (x) 在开集在开集K 中可微，则中可微，则f 是是K上的（严格）上的（严格）凸函数当且仅当凸函数当且仅当 5 5证明（充分性） 任取 ，记由条件， （必要性） 6 6令此即需证。若 f (x) 两阶可微，
4、则有以下的定理：定理6.3.8 设f (x)在开凸集K中二阶连续可微，f 为凸函数的充要条件为：证明：（充分性）7 7此处从而， (必要性) 任取将 在 x 处展开 ： 8 8令 得定理1.3.9 证明 9 9此即说明f 是严格凸函数。定理6.3.10证明 当 充分小时 在 的邻域中，从而导出矛盾，证毕 10106.4 6.4 最最优优性条件性条件无约束极小化问题 （模型） min s .t （6.4.1)定理6.4.1 （一阶必要条件）若 是可微函数， 是问题（6.4.1)的一个局部最小点的必要条件为： （无约束极小化问题求解）等价于（方程组求解）定理6.4.2 （二阶必要条件）设 为 中的
5、二阶连续可微函数，如果 是 的一个局部极小点，则 1111证明：由定理6.4.1， 。对任意的由于 是局部极小点，故对于充分小的 必有此式成立必须有 ，证毕。1212定理6.4.3 （二阶充分条件）设 两阶可微，若 满足则点 的一个严格局部极小点，这里 是 的两阶Hesse矩阵定理6.4.4（两阶充分条件）设 两阶连续可微，若 满足 证明：任取显然， 由假设， ，由 的任意性， 是 1313定理6.4.5证毕 1414具有等式与不等式约束的极小化问题 (NP) min s .t 定义 6.4.1 设x是满足(NP)约束条件的点，记 称I 为x处不等式约束中的积极约束的下标集合 定义6.4.2
6、（积极约束） 称约束为x处的积极约束定义6.4.3 （正则点）若向量组线性无关，则称x为约束条件的一个正则点。1515定理6.4.5 （Kuhn-Tucker条件）设 是(NP)的局部极小点且 其中 1616例 求下面问题的 K-T 点 min s .t 解：本问题的 K-T条件为1717（1）若 （舍去）若 （舍去）（2） （舍去）（3） 1818故有 求得 19196.5 迭代算法及收敛速度 迭代算法 记满足要求的点集为 （如 K-T 点集，最优解集等）。算法一般采用迭代方法，即：任给一个初始点步1步2 定义1.5.1 （全局收敛性）设A是求解问题的一个算法，若对任意初始点 在用算法A进行
7、迭代时，或能在有限步求得最优解，或求得一无穷点列 ，该点列的任意聚点均为需求的点。2020例1 求解问题 min s .t 算法 迭代点列例2 求解 min 算法 2121迭代点列 若 若定义定义 6.5.1 （闭映射）设X何Y分别是两个非空闭集，A是从X到Y的一个点到集的映射，即对任意 有 设 ，且 若 （例1种的映射是闭的，而例2中的映射则是非闭的） 显然，例2的最优解为 取算法A为X到X的一个映射：定理定理6.5.1 若对任意取定的 ：（1） （2）存在 ， （3）算法 A 在 外是闭的则算法 A 必定是全局收敛的。（证明从略）2222收敛速度定义6.5.2 设实数列 除有限个 外 除有限个 外 其他 被称为商收敛因子定理1.5.2 仅有以下三种情况之一发生： （1） （2） （3） ，2323定义6.5.3 设 ，我们称 为 收敛到 的阶。 也称 阶收敛到 （ 对情况1 ，令 ，对情况2 ，令 ） 显然，收敛的阶越大，收敛速度越快。当数列具有一阶收敛速度时 越小数列收敛得越快。定义6.5.4 若 则称数列 超线性收敛于例2 （1） （2）2424
