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1、2.6 2.6 静电场的边值问题与求解方法静电场的边值问题与求解方法2.6.1 2.6.1 泊松方程与拉普拉斯方程泊松方程与拉普拉斯方程推导电位微分方程的基本出发点是静电场的基本方程：推导电位微分方程的基本出发点是静电场的基本方程：泊松方程泊松方程注意：注意：泊松方程与拉普拉斯方程只适用于各向同性、线性的均匀媒质。泊松方程与拉普拉斯方程只适用于各向同性、线性的均匀媒质。拉普拉斯方程拉普拉斯方程拉普拉斯算子拉普拉斯算子求解边值问题注意事项：求解边值问题注意事项：1 1根据求解场域内是否有根据求解场域内是否有 存在，决定电位满足泊松方程还是拉氏存在，决定电位满足泊松方程还是拉氏方程，然后判断场域是
2、否具有对称性，以便选择适当的坐标系。方程，然后判断场域是否具有对称性，以便选择适当的坐标系。2 2正确表达边界条件，并利用它们确定通解的待定常数。正确表达边界条件，并利用它们确定通解的待定常数。3 3若所求解的场域内有两个（或以上）的均匀介质区域，应分区求若所求解的场域内有两个（或以上）的均匀介质区域，应分区求解。不能用一个电位函数表达两个区域的情况。这时会出现解。不能用一个电位函数表达两个区域的情况。这时会出现4 4个积分个积分常数，还需考虑介质分界面上的衔接条件来确定积分常数。常数，还需考虑介质分界面上的衔接条件来确定积分常数。4.4.对于开域问题，还需给出无限远处的自然边界条件。当场域有
3、对于开域问题，还需给出无限远处的自然边界条件。当场域有限分布时，应有：限分布时，应有：即：即： 至少按一次方反比变化，通常可简单取至少按一次方反比变化，通常可简单取例例2.4.12.4.1 列出求解区域的微分方程列出求解区域的微分方程 2.6.2 2.6.2 静电场的边值问题静电场的边值问题图图2.6.1 三个不同媒质区域的静电场三个不同媒质区域的静电场第二类第二类边界条件边界条件第一类第一类边界条件边界条件第三类第三类边界条件边界条件自然自然边界条件边界条件分界面分界面衔接条件衔接条件场域场域边界条件边界条件图图2.6.2 边值问题框图边值问题框图 为什么说第二类为什么说第二类边界条件边界条
4、件与导体上给定电荷分与导体上给定电荷分布或边界是电力线的条布或边界是电力线的条件是等价的？件是等价的？电位微分方电位微分方程程边界条件边界条件边值问题边值问题边值问题边值问题研究方法研究方法实测法实测法定性定性定量定量积分法积分法分离变量法分离变量法镜像法镜像法、电轴法、电轴法微分方程法微分方程法保角变换法保角变换法有限差分法有限差分法有限元法有限元法边界元法边界元法矩量法矩量法模拟电荷法模拟电荷法数学模拟法数学模拟法物理模拟法物理模拟法图图2.6.3 边值问题研究方法框图边值问题研究方法框图计算法计算法实验法实验法作图法作图法模拟法模拟法数值法数值法解析法解析法边界条件边界条件积分得通解积分
5、得通解例例2.6.1 设有电荷均匀分布在半径为设有电荷均匀分布在半径为a 的介质球型区域中，电荷体密度的介质球型区域中，电荷体密度为为 ，试用解微分方程的方法求球体内、外的电位及电场。，试用解微分方程的方法求球体内、外的电位及电场。解解: : 采用球坐标系采用球坐标系, ,分区域建立方程分区域建立方程参考点电位参考点电位图图 2.6.5 体电荷分布的球形域电场体电荷分布的球形域电场 解得解得 电场强度（球坐标梯度公式）：电场强度（球坐标梯度公式）： 对于一维场（场量仅仅是一个坐标变量的函数），只要对二阶对于一维场（场量仅仅是一个坐标变量的函数），只要对二阶常系数微分方程积分两次，得到通解；然后
6、利用边界条件求得积分常系数微分方程积分两次，得到通解；然后利用边界条件求得积分常数，得到电位的解；再由常数，得到电位的解；再由 得到电场强度得到电场强度E的分布。的分布。电位：电位：例例2.6.3 图示长直同轴电缆横截面。已知缆芯截面是一边长为图示长直同轴电缆横截面。已知缆芯截面是一边长为2b的正方的正方形，铅皮半径为形，铅皮半径为a，内外导体之间电介质的介电常数为，内外导体之间电介质的介电常数为 ，并且在两导，并且在两导体之间接有电源体之间接有电源 U，试写出该电缆中静电场的边值问题。，试写出该电缆中静电场的边值问题。 解：解：根据场分布对称性，确定场域。根据场分布对称性，确定场域。（阴影区
7、域阴影区域）场的边值问题场的边值问题图图 2.6.4 缆心为正方形的同轴电缆横截面缆心为正方形的同轴电缆横截面2.6.3 2.6.3 分离变量法分离变量法例例2-112-11 一矩形截面的长直接地金属槽，尺寸如图所示，槽的侧壁和底面电一矩形截面的长直接地金属槽，尺寸如图所示，槽的侧壁和底面电位均为零，槽壁与顶盖相互绝缘，顶盖电位为位均为零，槽壁与顶盖相互绝缘，顶盖电位为U。槽内真空且无电荷分布，槽内真空且无电荷分布，设设l a和和b，求槽内的电位分布。，求槽内的电位分布。oxy =0ab =0 =0 =U0对应的对应的边界条件边界条件解：解：在矩形槽中电位满足拉氏方程在矩形槽中电位满足拉氏方程
8、设设 代入拉氏方程，得代入拉氏方程，得引入常数引入常数 ，上式分解成两个常微分方程，上式分解成两个常微分方程 称为分离常数称为分离常数 当当当当当当（n =1,2,3,)应用叠加原理应用叠加原理 ，得，得由由式式上式对任意的上式对任意的y成立，只能是成立，只能是B0=B1n=B2n=0，代入，代入(1)式得式得由由式式上式对任意的上式对任意的x成立，只能是成立，只能是D0=D1n=D2n=0，代入，代入(2)式式 （1）(2)(3)由由式式上式对任意的上式对任意的 y 成立，必有成立，必有 ， ， ，即，即(3)因此（因此（3）式为）式为由由式式oxy =0ab =0 =0 =U0将上式两边同
9、乘以将上式两边同乘以 ，并对，并对x 积分，即积分，即 上式左边利用三角函数的正交性，有上式左边利用三角函数的正交性，有上式右边直接积分，有上式右边直接积分，有（n 为奇数）（n 为偶数）可解得可解得（n 为奇数）槽内电位槽内电位 oxy =0ab =0 =0 =U0 提炼出定解问题的数学表达式提炼出定解问题的数学表达式 选取适合变量分离的正交坐标系选取适合变量分离的正交坐标系 把电位微分方程进行变量分离把电位微分方程进行变量分离 求解分离后的常微分方程求解分离后的常微分方程 由所有通解构造定解问题的解由所有通解构造定解问题的解 利用边界条件确定系数，验证解利用边界条件确定系数，验证解分离变量
10、方法的基本步骤分离变量方法的基本步骤2. 2. 唯一性定理的重要意义唯一性定理的重要意义 可判断静电场问题的解的正确性：可判断静电场问题的解的正确性：2.6.3 2.6.3 唯一性定理唯一性定理1 1、唯一性定理、唯一性定理 在静电场中满足给定边界条件的电位微分方程（泊松方程在静电场中满足给定边界条件的电位微分方程（泊松方程或拉普拉斯方程或拉普拉斯方程) )的解是唯一的，称之为静电场的唯一性定理的解是唯一的，称之为静电场的唯一性定理( (Uniquness heorem) )。 唯一性定理为静电场问题的多种解法唯一性定理为静电场问题的多种解法( (试探解、数值解、试探解、数值解、解析解等）提供了思路及理论根据。解析解等）提供了思路及理论根据。例例2.6.22.6.2 图示平板电容器的电位，哪一个解答正确？图示平板电容器的电位，哪一个解答正确？答案答案：（ C ）图图 2.6.7 2.6.7 平板电容器外加电源平板电容器外加电源U0
