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1、第一节第一节 数学模型与建模数学模型与建模一、数学建模过程一、数学建模过程所谓数学建模是指所谓数学建模是指: :针对实际问题根据研究的内容针对实际问题根据研究的内容, ,用数学的方法建用数学的方法建立描述现象规律的过程立描述现象规律的过程。特别要指出的是。特别要指出的是: :这里所说的这里所说的“数学数学”是指广是指广义的数学，也就是说它除去通常所说的经典的数学之外还包括统计学、义的数学，也就是说它除去通常所说的经典的数学之外还包括统计学、运筹学以及计算机的使用等运筹学以及计算机的使用等。数学模型涉及的范围相当宽，无论在实际问题方面还是在数学的领数学模型涉及的范围相当宽，无论在实际问题方面还是
2、在数学的领域域尽管这些问题之间无论在内容还是方法上干差万别，尽管这些问题之间无论在内容还是方法上干差万别，它们之间有一它们之间有一点是共同的点是共同的( (建模的实质建模的实质) )，那就是它们都是针对一个实际问题，通过辨，那就是它们都是针对一个实际问题，通过辨识问题中变量之间的关系而把实际问题转化为由数学语言描述的形式。识问题中变量之间的关系而把实际问题转化为由数学语言描述的形式。与数学分析方法的使用相比，这个过程是建模工作的一个明显特征。与数学分析方法的使用相比，这个过程是建模工作的一个明显特征。在在这个过程中对每个模型的处理在方式上有一个非常相似之处，这个过程中对每个模型的处理在方式上有
3、一个非常相似之处，就是通过就是通过一个程序化的过程来组建数学模型一个程序化的过程来组建数学模型。这是数学建模工作中的一种有效的这是数学建模工作中的一种有效的处理问题的方式。每当我们面对新的实际问题需要用数学的手段来处理处理问题的方式。每当我们面对新的实际问题需要用数学的手段来处理时，这一程序化的处理方式将为我们提供一条有效地组建数学模型的途时，这一程序化的处理方式将为我们提供一条有效地组建数学模型的途径。径。 数学建模的过程一般包含有若干个有着明显区别的处理阶段。我数学建模的过程一般包含有若干个有着明显区别的处理阶段。我们可以如下的流程图们可以如下的流程图(图图1）来表示。经验告诉我们，这个流
4、程为我）来表示。经验告诉我们，这个流程为我们提供了一个思考问题的框架，它不仅能够帮助我们成功地组建有关问们提供了一个思考问题的框架，它不仅能够帮助我们成功地组建有关问题的数学模，而且，当你面对一个实际的问题感到困惑而无法入手建模题的数学模，而且，当你面对一个实际的问题感到困惑而无法入手建模时，它将给你提供条思考的途径。时，它将给你提供条思考的途径。 流程图中的每一个方框表示建模过程的一个阶段。下面我们将对流程图中的每一个方框表示建模过程的一个阶段。下面我们将对每个阶段作一个简要的说明。每个阶段作一个简要的说明。 1对于所面临的实际问题，首先需要明确研究的对象和研究的目的。对于所面临的实际问题，
5、首先需要明确研究的对象和研究的目的。问题所依据的事实和数据资料的来源是什么，它们是否真实、以及与问问题所依据的事实和数据资料的来源是什么，它们是否真实、以及与问题有关的背景知识。在这一步中，需要明确我们所研究问题的类型：是题有关的背景知识。在这一步中，需要明确我们所研究问题的类型：是确定型确定型的还是的还是随机的随机的，是需要，是需要建模建模还是需要还是需要模拟模拟。 2辨识并列出辨识并列出与问题与问题有关的因素有关的因素，通过假设把所研究的问题进行简，通过假设把所研究的问题进行简化，明确模型中需要考虑的因素以及它们在问题中的作用。以变量和常化，明确模型中需要考虑的因素以及它们在问题中的作用。
6、以变量和常数的形式表示这些因素。通常在建模之初总是把问题尽量简化。数的形式表示这些因素。通常在建模之初总是把问题尽量简化。 在最简单的情形下组建模型在最简单的情形下组建模型以降低建模工作的难度以降低建模工作的难度。然后通过不断地调整假。然后通过不断地调整假设使模型尽可能地接近实际。设使模型尽可能地接近实际。 3运用数学知识和数学上的技能技巧来描述问题中变量之间的关系。通运用数学知识和数学上的技能技巧来描述问题中变量之间的关系。通常它可以用数学表达式来描述，如：比例关系、线性或非线性关系、经验关常它可以用数学表达式来描述，如：比例关系、线性或非线性关系、经验关系、输入输出原理、平衡原理、牛顿运动
7、定律、微分或差分方程、矩阵、概系、输入输出原理、平衡原理、牛顿运动定律、微分或差分方程、矩阵、概率、统计分布等。从而得到所研究问题的数学模型。率、统计分布等。从而得到所研究问题的数学模型。 4使用观测数据或实际问题的有关的背景知识对模型中的各参数给出估使用观测数据或实际问题的有关的背景知识对模型中的各参数给出估计值。计值。 5运行所得到的模型、解释模型的结果或把模型的运行结果与实际观测运行所得到的模型、解释模型的结果或把模型的运行结果与实际观测进行比较。如果模型结果的解释与实际状况相合或结果与实际观测基本一致，进行比较。如果模型结果的解释与实际状况相合或结果与实际观测基本一致，这表明模型经检验
8、是符合实际问题的，可以将它用于对实际问题进行进一步的这表明模型经检验是符合实际问题的，可以将它用于对实际问题进行进一步的分析讨论。如果模型的结果很难与实际相合或与实际观测不一致，表明这个模分析讨论。如果模型的结果很难与实际相合或与实际观测不一致，表明这个模型与所研究的实际问题是不符合的，不能直接将它应用于所研究的实际问题。型与所研究的实际问题是不符合的，不能直接将它应用于所研究的实际问题。 这时如果数学模型的组建过程没有问题的话，就需要返回到建模前关于问这时如果数学模型的组建过程没有问题的话，就需要返回到建模前关于问题的假设中，检查我们关于问题所作的假设是否恰当，检查是否忽略了不应该题的假设中
9、，检查我们关于问题所作的假设是否恰当，检查是否忽略了不应该忽略的因素或者还保留着不应该保留的因素。对假设给出必要的修正，再重复忽略的因素或者还保留着不应该保留的因素。对假设给出必要的修正，再重复前面的建模过程，直到组建出经检验是符合实际问题的模型为止。前面的建模过程，直到组建出经检验是符合实际问题的模型为止。 将一个数学模型应用于实际问题时，将一个数学模型应用于实际问题时，主要是通过对模型作进一步的主要是通过对模型作进一步的分析和讨论而得到的、使用代数的分析或数值的方法给出模型的解。分析和讨论而得到的、使用代数的分析或数值的方法给出模型的解。从从理论上讨论解的性质，必要时也可以写出计算程序或者
10、使用恰当的软件理论上讨论解的性质，必要时也可以写出计算程序或者使用恰当的软件包由计算机进行模拟。把数学上和计算机运算所得到的结果再回到实际包由计算机进行模拟。把数学上和计算机运算所得到的结果再回到实际问题中去，以对实际问题给出解释，解决实际问题或加深我们对问题的问题中去，以对实际问题给出解释，解决实际问题或加深我们对问题的认识，从而达到使用数学模型研究实际问题的目的。认识，从而达到使用数学模型研究实际问题的目的。 需要注意，我们从数学模型得到结论的主要目的是解决实际问题，需要注意，我们从数学模型得到结论的主要目的是解决实际问题，因此因此,当用它来解决实际问题时的语言应该是非数学工作者所能理解的
11、。当用它来解决实际问题时的语言应该是非数学工作者所能理解的。这时，过多、过深地使用数学语言将影响模型的使用效果。要学会使用这时，过多、过深地使用数学语言将影响模型的使用效果。要学会使用通俗的语言表达数学上的结论，使得它能为更多的人所接受。通俗的语言表达数学上的结论，使得它能为更多的人所接受。二、数学建模举例二、数学建模举例 下面我们通过一个例子来说明如何应用上面所述的过程建立数学模下面我们通过一个例子来说明如何应用上面所述的过程建立数学模型。为了便于理解，我们选择日常生活中大家都能遇到的雨中行走的现型。为了便于理解，我们选择日常生活中大家都能遇到的雨中行走的现象来建模。象来建模。例例 问题：问
12、题：某夏季的一天，天快要下了，因为你要上课需要从宿舍到教室某夏季的一天，天快要下了，因为你要上课需要从宿舍到教室去。教室离宿舍不远，仅米，且时间紧急，你不准备花时间去翻去。教室离宿舍不远，仅米，且时间紧急，你不准备花时间去翻找雨具，决定碰一下运气，顶着雨去教室。假设刚刚出发雨就下大了，但找雨具，决定碰一下运气，顶着雨去教室。假设刚刚出发雨就下大了，但你也不再打算回去了。一路上，你将让大雨淋湿。你也不再打算回去了。一路上，你将让大雨淋湿。 一个似乎一个似乎很简单的事实很简单的事实是你应该在雨中是你应该在雨中尽可能地快走尽可能地快走，以减少雨淋的，以减少雨淋的时间。时间。但是如果考虑到降雨方向的变
13、化但是如果考虑到降雨方向的变化，在全部距离上尽力地，在全部距离上尽力地快跑不一定快跑不一定是最好的策略是最好的策略。试建立一数学模型来探讨如何在雨中行走才能减少淋雨的。试建立一数学模型来探讨如何在雨中行走才能减少淋雨的程度。程度。 对于这个实际问题，它的背景是很简单的，人人皆知，无需进一步对于这个实际问题，它的背景是很简单的，人人皆知，无需进一步论述。论述。但我们的问题是要在给定的降雨条件下设计一个雨中行走的策略但我们的问题是要在给定的降雨条件下设计一个雨中行走的策略，使得你被雨水淋湿的程度最低使得你被雨水淋湿的程度最低。显然它可以按确定性模型来处理。显然它可以按确定性模型来处理。 分析：参与
14、这一问题的因素主要有：分析：参与这一问题的因素主要有：1降雨的大小；降雨的大小；2风风(降雨降雨)的的方向；方向；3. 路程的远近和你跑的快慢。为简化研究问题的复杂性，我们假设：路程的远近和你跑的快慢。为简化研究问题的复杂性，我们假设：（1）降雨的速度）降雨的速度(即雨滴下落速度即雨滴下落速度)和降水强度保持不变和降水强度保持不变;（2）你以定常的速度跑完全程；（）你以定常的速度跑完全程；（3）风速始终保持不变；（）风速始终保持不变；（4）把人体看）把人体看成是一个长方体形的物体。成是一个长方体形的物体。 首先，我们首先，我们讨论最简单的情形讨论最简单的情形，即不考虑降雨的角度的影响，也就是说
15、在，即不考虑降雨的角度的影响，也就是说在你行走的过程中身体的前后左右和上方都将被雨水淋到的情况。你行走的过程中身体的前后左右和上方都将被雨水淋到的情况。 在这些假设之下，我们可以给出参与我们这个模型建立的所有的参数和变在这些假设之下，我们可以给出参与我们这个模型建立的所有的参数和变量：量： a、雨中行走的距离、雨中行走的距离D(米米)；b、雨中行走的时间、雨中行走的时间t(秒秒)；C、雨中行走的速度、雨中行走的速度v(米秒米秒)；D、你的身高、你的身高h(米米)，身宽度，身宽度w(米米)和身厚度和身厚度d(米米)，E、你身上被淋的、你身上被淋的雨水的总量雨水的总量C(升升)。 F、关于降雨的大
16、小，在这里可以用降水强度、关于降雨的大小，在这里可以用降水强度(单位时间内受雨平面上的降下单位时间内受雨平面上的降下雨水的厚度雨水的厚度)I(厘米时厘米时)来描述。来描述。 常、变量问题：在这个问题中，行走的距离常、变量问题：在这个问题中，行走的距离D，身体尺寸（身体被雨琳的面，身体尺寸（身体被雨琳的面积是积是s2wh十十2dh十十wd(形形)）是不变的，可以认为是问题的常数）是不变的，可以认为是问题的常数。而在雨中行走而在雨中行走的速度的速度v，即在雨中行走的时间，即在雨中行走的时间t=Dv(秒秒)以及降水强度的大小以及降水强度的大小I在问题中是可以在问题中是可以变化的、可分析的，是问题中的
17、变量。变化的、可分析的，是问题中的变量。 模型的建立模型的建立 考虑到各参量取值单位的一致性考虑到各参量取值单位的一致性，可能得到在整个雨中行走期间整，可能得到在整个雨中行走期间整个身体被淋的雨水的总量的模型是：个身体被淋的雨水的总量的模型是： ct(I3600s00l(米米3)(D/v)(I3600)s10(升升)模型中的模型中的各常数可以通过观测和日常的调查资料得到各常数可以通过观测和日常的调查资料得到。在我们的问题中假设：。在我们的问题中假设：Dl000米，米，h150米米,w050米，米，d020米。由此可以得到：你米。由此可以得到：你身上能被淋上雨的面积：身上能被淋上雨的面积：s22
18、(米米2)。我们假设降雨的强度是。我们假设降雨的强度是I2厘米厘米小时。小时。在雨中行走的速度在雨中行走的速度v将是模型中的变量将是模型中的变量。模型表明，被淋在身上的雨。模型表明，被淋在身上的雨水的总量与你在雨中行走的速度成反比。如果你在雨中以可能以最快的速度水的总量与你在雨中行走的速度成反比。如果你在雨中以可能以最快的速度v6米秒向前跑，于是，在你到达目的地时你在雨中将行走米秒向前跑，于是，在你到达目的地时你在雨中将行走t167(秒秒)2分分47秒。秒。 由此可以得到，你的身上被淋的雨水的总量有：由此可以得到，你的身上被淋的雨水的总量有： c167(23600)2210(升升)2041(升
19、升) 仔细分析这个结果，你就会发现这是一个不符实际的结果。你在雨中仔细分析这个结果，你就会发现这是一个不符实际的结果。你在雨中只跑了只跑了2分分47秒的时间，身上却被淋了秒的时间，身上却被淋了2升的雨水升的雨水(大约有两瓶啤酒的水量大约有两瓶啤酒的水量)， 这是不可思议的。这是不可思议的。因此，这表明，我们得到的这个用以描述雨因此，这表明，我们得到的这个用以描述雨中行走的人被雨水淋湿的状况的模型是不符中行走的人被雨水淋湿的状况的模型是不符合实际情况的。合实际情况的。 模型的修改模型的修改 在这个情形下为要估计你被雨水淋湿的在这个情形下为要估计你被雨水淋湿的程度，程度，关键关键是考虑到你在雨中的
20、行走是考虑到你在雨中的行走方向与方向与雨滴相对的下落方向雨滴相对的下落方向这个方向由这个方向由图图42给给出（迎面）。因为雨水是迎面而来落下的，出（迎面）。因为雨水是迎面而来落下的，由经验可以知道，这时被淋湿的部位将仅仅由经验可以知道，这时被淋湿的部位将仅仅是你的顶部和前方。是你的顶部和前方。 因此因此,淋在你身上的雨水将分为两部分来淋在你身上的雨水将分为两部分来计算计算。 首先考虑你的顶部被淋的雨水。首先考虑你的顶部被淋的雨水。 顶部的面积是顶部的面积是wd，雨滴的垂直速度的，雨滴的垂直速度的分量是分量是rsin 。其中。其中r是雨滴下落的速度，是雨滴下落的速度， 是雨滴下落的方向与你前进的
21、方向的夹角。是雨滴下落的方向与你前进的方向的夹角。因此，不难得到，在时间因此，不难得到，在时间 tDv内淋在你内淋在你的顶部的雨水量是：的顶部的雨水量是： c1(Dv)wd(prsin )（其中（其中p为雨滴下落密度，为雨滴下落密度，r为落为落雨的速度雨的速度,pr为降雨强度）为降雨强度） 再考虑你的前方表面淋雨的情况。你身体迎雨的面积再考虑你的前方表面淋雨的情况。你身体迎雨的面积是是wh，雨速的分量是，雨速的分量是rcos 十十v。类似地我们有，你的前方表面被淋到的雨水的量是：类似地我们有，你的前方表面被淋到的雨水的量是：c2(Dv)whp(rcos 十十v)因此，你在整个的行程中被淋到的雨
22、水的总量是：因此，你在整个的行程中被淋到的雨水的总量是： cc1十十c2pwDdrsin 十十h(rcos +v)/v仍然沿用前面得到的参数值，如果假设落雨的速度是仍然沿用前面得到的参数值，如果假设落雨的速度是r4米秒，由降雨强度米秒，由降雨强度I2厘米小时可以估算出它厘米小时可以估算出它的强度系数的强度系数p=0. 5xl0-6把这些参数值代入上式可以把这些参数值代入上式可以得到得到: c2.5*10-4(0.8sin 十十6cos 十十1.5v)/v在这个模型里有关的变量是在这个模型里有关的变量是v和和 ，因为，因为是落雨的方是落雨的方向，我们希望在模型研究过程中改变它的数值向，我们希望在
23、模型研究过程中改变它的数值;而而v是我是我们要选择的雨中行走的速度。于是我们的问题就变为们要选择的雨中行走的速度。于是我们的问题就变为给定给定 ，如何选择，如何选择v使得使得c为最小量。为最小量。 下面分各种情况对模型进行讨论：下面分各种情况对模型进行讨论： 情形情形1: 90。在这个情形下，因为雨滴垂直落下。由上述模型在这个情形下，因为雨滴垂直落下。由上述模型 c2.5*10-4(0.8sin 十十6cos 十十1.5v)/v可得：可得： c2.5x l0-4(1.5十十0.8v)模型表明：模型表明：c是是v的减函数，只有当速度取可能的最大值的时候的减函数，只有当速度取可能的最大值的时候c达
24、到最小。假设你以达到最小。假设你以v6米秒的速度在雨中猛跑，由模型可米秒的速度在雨中猛跑，由模型可以得出：以得出： c4.08x10-4米米30.4升升 情形情形2： 60。 这时，因为雨滴将迎面向你身上落下，由上述模型可得：这时，因为雨滴将迎面向你身上落下，由上述模型可得： c2.510-41.5十十(0.69 十十3)v同样，它将在同样，它将在v6米秒时，为米秒时，为c43710-4米米34.37升升 情形情形3： 90。 180 在这种情形下，雨滴将从后面向你身上落下令在这种情形下，雨滴将从后面向你身上落下令 90。十十a，则，则0 a 90。 c2510- 415十十(0.8cosa一
25、一6sina)v对于充分大的对于充分大的a，这个表达式可能取负值。这当然是不合理的，因为雨水量是，这个表达式可能取负值。这当然是不合理的，因为雨水量是不可能为负值的。主要原因是：这个情况超出了我们前面讨论的范围。因此，不可能为负值的。主要原因是：这个情况超出了我们前面讨论的范围。因此，必须回到开始的分析过程对这个情况进行详细的讨论，按照你在雨中行走的速必须回到开始的分析过程对这个情况进行详细的讨论，按照你在雨中行走的速度分成两种情况。度分成两种情况。重新分析重新分析: 对于：对于：cc1十十c2pwDdrsin 十十h(rcos +v)/v !首先考虑首先考虑vrcos(90。+a)既是既是v
26、rsina的情形，也就是说你的行走速的情形，也就是说你的行走速度慢于雨滴的水平运动速度。这时雨滴将淋在你的背上，淋在背上的雨水的量度慢于雨滴的水平运动速度。这时雨滴将淋在你的背上，淋在背上的雨水的量是是pwDh(rsina-v)v。于是淋在全身的雨水的总量应该是：。于是淋在全身的雨水的总量应该是： cpwDdrcosa十十h(rsina-v)v再次代入数据，我们得到：再次代入数据，我们得到： c2.5104(0.8cosa十十6sina)v-1.5它也是速度的减函数。当你以速度它也是速度的减函数。当你以速度vrsina 6sina在雨中行进时，淋雨量的在雨中行进时，淋雨量的表达式表达式cpwD
27、drcosa十十h(rsina-v)v 可以化简为可以化简为 c2.5104(0.8cosa)(6sina)它表明你仅仅被头顶部位的雨水淋湿了。如果雨是以它表明你仅仅被头顶部位的雨水淋湿了。如果雨是以120。的角度落下，也就的角度落下，也就是说雨滴以是说雨滴以a30角从后面落在你的背上，你应该以角从后面落在你的背上，你应该以6sin303(米秒米秒)的速的速度在雨中行走。这时，你身上被淋湿的雨水的总量是：度在雨中行走。这时，你身上被淋湿的雨水的总量是： c2.510-4(0.8 * 0.866 )3米米30.333升升实际上，这意味着你刚好跟着雨滴向前走、所以身体前后都没有淋到雨如实际上，这意
28、味着你刚好跟着雨滴向前走、所以身体前后都没有淋到雨如果你的速度低于果你的速度低于3米秒，则由于雨水落在背上，而使得被淋的雨量增加。米秒，则由于雨水落在背上，而使得被淋的雨量增加。 !在在vrsina情形下，你在雨中的奔跑速度比较快，要快于雨滴的水平运动情形下，你在雨中的奔跑速度比较快，要快于雨滴的水平运动速度速度3米秒，这时你将不断地追着雨滴，雨水将淋你的胸前，被淋的雨量是米秒，这时你将不断地追着雨滴，雨水将淋你的胸前，被淋的雨量是pwhD(v-rsina)v于是全身被淋的雨水的总量是：于是全身被淋的雨水的总量是： cPwDrdcos a十十h(v一一rsina)v当当v6米秒且米秒且a30时
29、，我们有时，我们有: c2.5l04(0.69十十7)6米米30.32升升. 综合上面约分析，从这个模型我们得到的结论是：综合上面约分析，从这个模型我们得到的结论是： 1. 如果雨是迎着你前进的方向向你落下，这时的策略很简单，应该以如果雨是迎着你前进的方向向你落下，这时的策略很简单，应该以最大的速度向前跑最大的速度向前跑 2如果雨是从你的背后落下，这时你应该控制你在雨中的行走的速度，如果雨是从你的背后落下，这时你应该控制你在雨中的行走的速度，让它刚好等于落雨速度的水平分量。让它刚好等于落雨速度的水平分量。 所得到的这些结果似乎是合理的并且与我们所期望的是一致的所得到的这些结果似乎是合理的并且与
30、我们所期望的是一致的第第二个更详细的模型对前面的模型的改进之处在于建模时考虑了落雨的方向并二个更详细的模型对前面的模型的改进之处在于建模时考虑了落雨的方向并且更全面地考虑了各种可能发生的情况且更全面地考虑了各种可能发生的情况所有的雨水量的结果都比第一个模所有的雨水量的结果都比第一个模型得到的要小于型得到的要小于2升。升。通过对模型的修改，所得到的结果的数量级也是我们所希望的。但真正通过对模型的修改，所得到的结果的数量级也是我们所希望的。但真正使用实际的数值结果来验证这个模型是困难的。当然，如果你不怕全身使用实际的数值结果来验证这个模型是困难的。当然，如果你不怕全身淋湿的话，也可以尝试在雨中行走
31、来验证我们的模型。即使如此，如何淋湿的话，也可以尝试在雨中行走来验证我们的模型。即使如此，如何在雨中控制你的行走速度也并非易事。在雨中控制你的行走速度也并非易事。 这是一个描述整个建模及其分析过程的一个典型的例子。希望它这是一个描述整个建模及其分析过程的一个典型的例子。希望它能有助于大家更快地掌握数学建模的思路。能有助于大家更快地掌握数学建模的思路。尽管这个例子或其它大家接尽管这个例子或其它大家接触到的实例中具体的建模过程会存这样那样的区别、但从总的思路上是触到的实例中具体的建模过程会存这样那样的区别、但从总的思路上是不会有太大的偏离的。不会有太大的偏离的。第二节第二节 模型建立过程中常用的一
32、些方法模型建立过程中常用的一些方法一、量纲分析法一、量纲分析法 量纲分析是量纲分析是20世纪初提出的在物理领域中建立数学模型的一种方世纪初提出的在物理领域中建立数学模型的一种方法。它主要是利用物理量的量纲所提供的信息，根据量纲齐次法则来确法。它主要是利用物理量的量纲所提供的信息，根据量纲齐次法则来确定物理量之间的关系。定物理量之间的关系。所谓量纲齐次法则是指：作为一个数学模型或物所谓量纲齐次法则是指：作为一个数学模型或物理规律，其数学表达式的每一个加项的量纲必须是一致的或者每一项都理规律，其数学表达式的每一个加项的量纲必须是一致的或者每一项都是无量纲的。也就是说，在描述实际现象时只有量纲相同的
33、项才有可能是无量纲的。也就是说，在描述实际现象时只有量纲相同的项才有可能 相比较或相加减。相比较或相加减。量纲分析的主要内容是著名的量纲分析的主要内容是著名的Buckinghnm 定理即：定理即： 一个物理量一个物理量Q,一般都可以表示为基本量乘幂之积，则称这个乘幂之积的表达式：一般都可以表示为基本量乘幂之积，则称这个乘幂之积的表达式： Q 为该物理量对选定的这一组基本量的量纲积或量纲。为该物理量对选定的这一组基本量的量纲积或量纲。、e、称为量纲指数。当基本量选定后，任何物理量都有确定的量。称为量纲指数。当基本量选定后，任何物理量都有确定的量。用一个例子来说明这个定理用一个例子来说明这个定理(
34、的证明过程的证明过程) 例例42 建模描述单摆的运动周期建模描述单摆的运动周期 众所周知，单摆运动是指用细线悬挂的小球离开其平衡位置后在重众所周知，单摆运动是指用细线悬挂的小球离开其平衡位置后在重力作用下所做的平面往复运动为简化问题的讨论我们假设：力作用下所做的平面往复运动为简化问题的讨论我们假设： 1 小球运动过程中不考虑空气的阻力小球运动过程中不考虑空气的阻力 2忽略地球自转对单摆运动的影响忽略地球自转对单摆运动的影响 3. 摆线是刚体，在单摆运动过程中不发生形变摆线是刚体，在单摆运动过程中不发生形变 4摆轴部分没有摩擦摆轴部分没有摩擦 在上述假设下可知，与单摆运动有关的物理量有：运动周期
35、在上述假设下可知，与单摆运动有关的物理量有：运动周期t、摆线长、摆线长l、摆球质量摆球质量M、重力加速度、重力加速度g和单摆的振幅和单摆的振幅 这些物理量的量纲分别为：这些物理量的量纲分别为：t T，lL，MM，gLT2，Q1 单摆的运动规律与上列的物理量有关，这个规律可以由下面的式子单摆的运动规律与上列的物理量有关，这个规律可以由下面的式子给出：给出： F（t，l，m，g， ）0因此，函数的各个加项一定有形式因此，函数的各个加项一定有形式 存在，因存在，因为方程的右端是无量纲量，式中出现的为方程的右端是无量纲量，式中出现的 一定是无量纲的。可得：一定是无量纲的。可得： 式中：幂次项从式中可以
36、看出，将满足下面的线性方程组：式中：幂次项从式中可以看出，将满足下面的线性方程组： a1一一2a40 a2十十a40 a3=0这个方程组是超定的这个方程组是超定的(即解是不确定的）。方程组的系数矩阵的秩为即解是不确定的）。方程组的系数矩阵的秩为3，它的，它的解空间将是一维的。解空间将是一维的。解该超定方程组，得到：解该超定方程组，得到： a1=2; a2=-1; a3=0; a4=1; a5=0也即：也即： 1=t2g/l 2= 或者说：单摆的运动规律与上列的物理量有关或者说：单摆的运动规律与上列的物理量有关 F（t，l，m，g， ）0这个规律可以由下面的式子给出这个规律可以由下面的式子给出:
37、 f(1, 2)=0 即单摆的运动周期的数学模型为：即单摆的运动周期的数学模型为： t2g/l=()纲分析的方法的实质是：纲分析的方法的实质是：在建模过程中，关键是如何利用与模型有关的物理在建模过程中，关键是如何利用与模型有关的物理量的量纲所提供的信息来组建数学模型量的量纲所提供的信息来组建数学模型二、平衡原理法二、平衡原理法 “平衡平衡”是我们在现实生活中随处可见的一个现象。如：物理中的能是我们在现实生活中随处可见的一个现象。如：物理中的能量守恒和动量守恒定律都是描述物理中的能量和动量平衡的现象再如考虑量守恒和动量守恒定律都是描述物理中的能量和动量平衡的现象再如考虑一段时间内一段时间内(或一
38、定的范围内或一定的范围内)物质的变化，我们会发现这段时间内物质的改物质的变化，我们会发现这段时间内物质的改变量与它的增加量和减少量之差也处于平衡的状态变量与它的增加量和减少量之差也处于平衡的状态(我们称这种平衡规律为物我们称这种平衡规律为物质平衡原理质平衡原理)我们统称这些描述平衡现象的规律为平衡原理由于这种平衡我们统称这些描述平衡现象的规律为平衡原理由于这种平衡关系比较容易由数学表达式给出。关系比较容易由数学表达式给出。 注意发掘实际问题中的平衡原理无疑应该是数学模型组建过程中的一注意发掘实际问题中的平衡原理无疑应该是数学模型组建过程中的一个关链问题。实际上，在学习物理学和热工理论时已经接触
39、到了平衡原理在个关链问题。实际上，在学习物理学和热工理论时已经接触到了平衡原理在数学建模中的应用。应该说这个原理可以应用于更广泛的数学建模的问题，数学建模中的应用。应该说这个原理可以应用于更广泛的数学建模的问题，特别是对一些动态模型的组建特别是对一些动态模型的组建 观察实际问题中的平衡现象的方法有两种：一种是从长期的宏观的角度观察实际问题中的平衡现象的方法有两种：一种是从长期的宏观的角度着眼，在大局上或整体上进行研究；另一种是从瞬时的局部的角度着眼，把着眼，在大局上或整体上进行研究；另一种是从瞬时的局部的角度着眼，把微小结构及瞬时变化作为问题来研究我们称由前一种观点所得到的模型为微小结构及瞬时
40、变化作为问题来研究我们称由前一种观点所得到的模型为宏观模型，后一种为微观模型宏观模型，后一种为微观模型1、微观模型、微观模型 当组建实际问题的数学模型时，许多问题中从时间或空间上对微当组建实际问题的数学模型时，许多问题中从时间或空间上对微小部分进行考察比较方便。这是因为微小部分的变化比较简单，在多数小部分进行考察比较方便。这是因为微小部分的变化比较简单，在多数情况下，作为对象的物体的微小部分可以视为各项同性和均匀的。这一情况下，作为对象的物体的微小部分可以视为各项同性和均匀的。这一类模型基本上是以微分方程的形式给出。它的组建过程在自然科学的书类模型基本上是以微分方程的形式给出。它的组建过程在自
41、然科学的书籍持别是在物理学的书籍中经常可以见到。在我们所学过的知识中，如籍持别是在物理学的书籍中经常可以见到。在我们所学过的知识中，如连续性方程、传质方程、柏努利方程、动量方程等都有是从微观角度出连续性方程、传质方程、柏努利方程、动量方程等都有是从微观角度出发建立起的数学模型。发建立起的数学模型。2、宏观模型、宏观模型 我们常对现象进行空间和时间上的总体研究，并从宏观角度来建立数我们常对现象进行空间和时间上的总体研究，并从宏观角度来建立数学模型，这就是宏观模型。这一类模型经常以联立方程组或积分方程的形式学模型，这就是宏观模型。这一类模型经常以联立方程组或积分方程的形式出现。由于在观察方法上微观和宏观是相对的，它们之间没有绝对的界限。出现。由于在观察方法上微观和宏观是相对的，它们之间没有绝对的界限。因此，对于同一个现象，从不同的角度组得出来的模型不存在本质的区别因此，对于同一个现象，从不同的角度组得出来的模型不存在本质的区别往往是可以互相转化的，甚至是相同的这类问题表现在实际生产过程中就往往是可以互相转化的，甚至是相同的这类问题表现在实际生产过程中就是象产品配方设计、热工标定过程中的物料衡算等。是象产品配方设计、热工标定过程中的物料衡算等。图4. 2 雨中行走人体简化模型图4数学建模流程
