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1、考点突破考点突破夯基释疑夯基释疑 考点一考点一 考点三考点三 考点二考点二 例例 1训练训练1 例例 2训练训练2 例例 3训练训练3第第 3 3 讲 导数的数的综合合应用用概要概要课堂小结课堂小结夯基释疑夯基释疑判断正判断正误误(在括号内打在括号内打“”或或“”)(1)实际问题实际问题中函数定中函数定义义域要由域要由实际问题实际问题的意的意义义和函数解析式共同确定和函数解析式共同确定( )(2)若若实际问题实际问题中函数定中函数定义义域是开区域是开区间间，则则不存在最不存在最优优解解( )(3)连续连续函数在函数在闭闭区区间间上必有最上必有最值值( )(4)函数函数 f(x)x23x2的极小
2、的极小值值也是最小也是最小值值( )考点突破考点突破解解(1)因因为为蓄水池蓄水池侧侧面的面的总总成本成本为为1002rh200rh元，元，底面的底面的总总成本成本为为160r2元元所以蓄水池的所以蓄水池的总总成本成本为为(200rh160r2)元元又根据又根据题题意得意得200rh160r212 000，考点一考点一利用导数解决生活中的优化问题利用导数解决生活中的优化问题【例【例1】某村庄】某村庄拟拟修建一个无盖的修建一个无盖的圆圆柱形蓄水池柱形蓄水池(不不计计厚度厚度)设设该该蓄水池的底面半径蓄水池的底面半径为为r米，高米，高为为h米，体米，体积为积为V立方米假立方米假设设建建造成本造成本
3、仅仅与表面与表面积积有关，有关，侧侧面的建造成本面的建造成本为为100元元/平方米，底面平方米，底面的建造成本的建造成本为为160元元/平方米，平方米，该该蓄水池的蓄水池的总总建造成本建造成本为为12 000元元(为圆为圆周率周率)(1)将将V表示成表示成r的函数的函数V(r)，并求，并求该该函数的定函数的定义义域；域；(2)讨论讨论函数函数V(r)的的单调单调性，并确定性，并确定r和和h为为何何值时该值时该蓄水池的蓄水池的体体积积最大最大考点突破考点突破令令V(r)0，解得，解得r5或或5(因因r5不在定不在定义义域内，舍去域内，舍去)当当r(0，5)时时，V(r)0，故，故V(r)在在(0
4、，5)上上为为增函数；增函数；考点一考点一利用导数解决生活中的优化问题利用导数解决生活中的优化问题【例【例1】某村庄】某村庄拟拟修建一个无盖的修建一个无盖的圆圆柱形蓄水池柱形蓄水池(不不计计厚度厚度)设设该该蓄水池的底面半径蓄水池的底面半径为为r米，高米，高为为h米，体米，体积为积为V立方米假立方米假设设建建造成本造成本仅仅与表面与表面积积有关，有关，侧侧面的建造成本面的建造成本为为100元元/平方米，底面平方米，底面的建造成本的建造成本为为160元元/平方米，平方米，该该蓄水池的蓄水池的总总建造成本建造成本为为12 000元元(为圆为圆周率周率)(1)将将V表示成表示成r的函数的函数V(r)
5、，并求，并求该该函数的定函数的定义义域；域；(2)讨论讨论函数函数V(r)的的单调单调性，并确定性，并确定r和和h为为何何值时该值时该蓄水池的蓄水池的体体积积最大最大由此可知，由此可知，V(r)在在r5处处取得最大取得最大值值，此，此时时h8.即当即当r5，h8时时，该该蓄水池的体蓄水池的体积积最大最大考点突破考点突破规律方法规律方法求求实际问题实际问题中的最大中的最大值值或最小或最小值时值时，一般是先，一般是先设设自自变变量、因量、因变变量，建立函数关系式，并确定其定量，建立函数关系式，并确定其定义义域，利用求函数的最域，利用求函数的最值值的方法求解，注意的方法求解，注意结结果果应应与与实际
6、实际情况相情况相结结合用合用导导数求解数求解实际问题实际问题中的最大中的最大(小小)值时值时，如果函数在开区，如果函数在开区间间内只有一个内只有一个极极值值点，那么依据点，那么依据实际实际意意义义，该该极极值值点也就是最点也就是最值值点点考点一考点一利用导数解决生活中的优化问题利用导数解决生活中的优化问题考点突破考点突破解解(1)因因为为x5时时，y11，考点一考点一利用导数解决生活中的优化问题利用导数解决生活中的优化问题所以商所以商场场每日每日销销售售该该商品所商品所获获得的利得的利润润从而，从而，f(x)10(x6)22(x3)(x6)30(x4)(x6)210(x3)(x6)2，3x6.
7、考点突破考点突破于是，当于是，当x变变化化时时，f(x)，f(x)的的变变化情况如下表：化情况如下表：考点一考点一利用导数解决生活中的优化问题利用导数解决生活中的优化问题由上表可得，由上表可得，x4是函数是函数f(x)在区在区间间(3，6)内的极大内的极大值值点，点，也是最大也是最大值值点点接上一接上一页页 ，f(x)30(x4)(x6)x(3，4)4(4，6)f(x)0f(x)单调递单调递增增极大极大值值42单调递单调递减减考点突破考点突破考点一考点一利用导数解决生活中的优化问题利用导数解决生活中的优化问题所以，当所以，当x4时时，函数，函数f(x)取得最大取得最大值值，且最大，且最大值值等
8、于等于42.答答当当销销售价格售价格为为4元元/千克千克时时，商，商场场每日每日销销售售该该商品所商品所获获 得的利得的利润润最大最大考点突破考点突破考点二考点二利用导数证明不等式利用导数证明不等式(1)解解函数函数f(x)的定的定义义域域为为(0，)，由由题题意可得意可得f(1)2，f(1)e.故故a1，b2.设设函数函数g(x)xln x，则则g(x)1ln x.考点突破考点突破所以当所以当x(0，1)时时，h(x)0；当；当x(1，)时时， h(x)0.故故h(x)在在(0，1)上上单调递单调递增，在增，在(1，)上上单调递单调递减，减，综综上，当上，当x0时时，g(x)h(x)，即，即
9、f(x)1.考点二考点二利用导数证明不等式利用导数证明不等式考点突破考点突破规律方法规律方法利用导数证明不等式常构造函数利用导数证明不等式常构造函数(x)，将不等式转化为，将不等式转化为(x)0(或或0)的形式的形式，然后研究然后研究(x)的的单调单调性、最性、最值值，判定，判定(x)与与0的关系，从而的关系，从而证证明不等式，明不等式，这这是用是用导导数数证证明不等式的基本思明不等式的基本思路路考点二考点二利用导数证明不等式利用导数证明不等式考点突破考点突破若若a0，f(x)0，f(x)在在(0，)上上单调递单调递增；增；(2)证证明明由由(1)知，若知，若a0，f(x)在在(0，)上上单调
10、递单调递增，增，又又f(1)0，故，故f(x)0不恒成立不恒成立考点二考点二利用导数证明不等式利用导数证明不等式考点突破考点突破f(x)f(1)0，不合，不合题题意，意，若若a2，f(x)在在(0，1)上上单调递单调递增，在增，在(1，)上上单调递单调递减，减， f(x)f(1)0符合符合题题意意故故a2，且，且ln xx1(当且当且仅仅当当x1时时取取“”)考点二考点二利用导数证明不等式利用导数证明不等式考点突破考点突破令令f(x)0，得，得xe1a，当当x(0，e1a)时时，f(x)0，f(x)是增函数；是增函数；当当x(e1a，)时时，f(x)0，得，得xe2a；令令F(x)e2a，故函
11、数故函数F(x)在区在区间间(0，e2a上是增函数，上是增函数，在区在区间间e2a，)上是减函数上是减函数当当e2a0时时，函数，函数F(x)在区在区间间(0，e2a上是增函数，上是增函数，在区在区间间e2a，e2上是减函数，上是减函数，F(x)maxF(e2a)ea2.考点三考点三利用导数求参数的取值范围利用导数求参数的取值范围考点突破考点突破由由图图象，易知当象，易知当0xe1a时时，F(x)0；当；当e1a0，此此时时函数函数f(x)的的图图象与函数象与函数g(x)的的图图象在区象在区间间(0，e2上有上有1个公个公共点共点当当e2ae2，即，即a0时时，F(x)在区在区间间(0，e2上
12、是增函数，上是增函数，考点三考点三利用导数求参数的取值范围利用导数求参数的取值范围考点突破考点突破函数函数f(x)的的图图象与函数象与函数g(x)的的图图象在区象在区间间(0，e2上只有上只有1个公共点个公共点;考点三考点三利用导数求参数的取值范围利用导数求参数的取值范围函数函数 f(x) 的的图图象与函数象与函数 g(x) 的的图图象在区象在区间间(0，e2上没有公共点上没有公共点综综上，上，满满足条件的足条件的实实数数 a 的取的取值值范范围围是是1，)考点突破考点突破规律方法规律方法函数零点或函数函数零点或函数图图象交点象交点问题问题的求解，一般利用的求解，一般利用导导数研数研究函数的究
13、函数的单调单调性、极性、极值值等性等性质质，并借助函数，并借助函数图图象，根据象，根据零点或零点或图图象的交点情况，建立含参数的方程象的交点情况，建立含参数的方程(或不等式或不等式)组组求解，求解，实现实现形与数的和形与数的和谐统谐统一一考点三考点三利用导数求参数的取值范围利用导数求参数的取值范围考点突破考点突破解解由由f(x)x2xsin xcos x，得得f(x)2xsin xx(sin x)sin xx(2cos x)(1)因因为为曲曲线线yf(x)在点在点(a，f(a)处处与直与直线线yb相切，相切，所以所以f(a)a(2cos a)0，bf(a)解得解得a0，bf(0)1.(2)设设
14、g(x)f(x)bx2xsin xcos xb.令令g(x)f(x)0x(2cos x)0，得，得x0.当当x变变化化时时，g(x)，g(x)的的变变化情况如下表：化情况如下表：【训练训练3】(2013北京卷北京卷)已知函数已知函数f(x)x2xsin xcos x.(1)若曲若曲线线yf(x)在点在点(a，f(a)处处与直与直线线yb相切，求相切，求a与与b的的值值；(2)若曲若曲线线yf(x)与直与直线线yb有两个不同交点，求有两个不同交点，求b的取的取值值范范围围考点三考点三利用导数求参数的取值范围利用导数求参数的取值范围x(，0)0(0，)g(x)0g(x)1b考点突破考点突破所以函数
15、所以函数g(x)在区在区间间(，0)上上单调递单调递减，减，在区在区间间(0，)上上单调递单调递增，增，且且g(x)的最小的最小值为值为g(0)1b.当当1b0时时，即，即b1时时，g(x)0至多有一个至多有一个实实根，根，曲曲线线yf(x)与与yb最多有一个交点，不合最多有一个交点，不合题题意意当当1b1时时，有，有g(0)1b4b2b1b0.yg(x)在在(0，2b)内存在零点，内存在零点，又又yg(x)在在R上是偶函数，上是偶函数，且且g(x)在在(0，)上上单调递单调递增，增，【训练训练3】(2013北京卷北京卷)已知函数已知函数f(x)x2xsin xcos x.(1)若曲若曲线线y
16、f(x)在点在点(a，f(a)处处与直与直线线yb相切，求相切，求a与与b的的值值；(2)若曲若曲线线yf(x)与直与直线线yb有两个不同交点，求有两个不同交点，求b的取的取值值范范围围考点三考点三利用导数求参数的取值范围利用导数求参数的取值范围考点突破考点突破yg(x)在在(0，)上有唯一零点，上有唯一零点，在在(，0)也有唯一零点也有唯一零点故当故当b1时时，yg(x)在在R上有两个零点，上有两个零点，则则曲曲线线yf(x)与直与直线线yb有两个不同交点有两个不同交点综综上可知，如果曲上可知，如果曲线线yf(x)与直与直线线yb有两个不同交点，有两个不同交点，那么那么b的取的取值值范范围围
17、是是(1，).【训练训练3】(2013北京卷北京卷)已知函数已知函数f(x)x2xsin xcos x.(1)若曲若曲线线yf(x)在点在点(a，f(a)处处与直与直线线yb相切，求相切，求a与与b的的值值；(2)若曲若曲线线yf(x)与直与直线线yb有两个不同交点，求有两个不同交点，求b的取的取值值范范围围考点三考点三利用导数求参数的取值范围利用导数求参数的取值范围1在在实际问题实际问题中，如果函数在区中，如果函数在区间间内只有一个极内只有一个极值值点，那么点，那么只要根据只要根据实际实际意意义义判定是最大判定是最大值还值还是最小是最小值值即可，不必再与即可，不必再与端点的函数端点的函数值值
18、比比较较2利用利用导导数方法数方法证证明不等式明不等式f(x)g(x)在区在区间间D上恒成立的基上恒成立的基本方法是构造函数本方法是构造函数h(x)f(x)g(x)，然后根据函数的，然后根据函数的单调单调性，性，或者函数的最或者函数的最值证值证明函数明函数h(x)0，其中一个重要技巧就是找到，其中一个重要技巧就是找到函数函数h(x)在什么地方可以等于零，在什么地方可以等于零，这这往往就是解决往往就是解决问题问题的一个的一个突破口突破口思想方法思想方法课堂小结课堂小结思想方法思想方法课堂小结课堂小结4对对于研究方程根的个数的相关于研究方程根的个数的相关问题问题，利用，利用导导数数这这一工具和一工
19、具和数形数形结结合的数学思想就可以很好地解决合的数学思想就可以很好地解决这类问题这类问题求解的通求解的通法是法是(1)构造函数，构造函数，这这是解决此是解决此类题类题的关的关键键点和点和难难点，并求其点，并求其定定义义域；域；(2)求求导导数，得数，得单调单调区区间间和极和极值值点；点；(3)画出函数草画出函数草图图；(4)数形数形结结合，挖掘合，挖掘隐隐含条件，确定函数含条件，确定函数图图象与象与x轴轴的交点情况的交点情况进进而求解而求解3利用函数的利用函数的导导数研究不等式恒成立数研究不等式恒成立问题问题是一是一类类重要重要题题型，型，体体现现了了导导数的工具性作用，将函数、不等式数的工具性作用，将函数、不等式紧紧密密结结合起来，合起来，考考查查了学生了学生综综合解决合解决问题问题的能力的能力实际问题实际问题中的函数定中的函数定义义域一般受域一般受实际问题实际问题的制的制约约，不可盲目，不可盲目地确定函数的定地确定函数的定义义域；在解域；在解题时题时要注意要注意单单位的一致性；把位的一致性；把实实际问题转际问题转化成数学化成数学问题问题后，要根据数学后，要根据数学问题问题中求得的中求得的结结果果对对实际问题实际问题作出解作出解释释.易错防范易错防范课堂小结课堂小结
