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1、第二章第二章 数理统计的基本知识数理统计的基本知识一、随机样本一、随机样本二、经验分布与直方图二、经验分布与直方图三、抽样分布三、抽样分布1概率概率论论和数理和数理统计统计数理数理统计统计的基的基本知本知识课识课件件 引例引例1 1 某电视机厂某天生产出了同一型号的显象管某电视机厂某天生产出了同一型号的显象管1000010000只，只，按规定每只使用寿命小于按规定每只使用寿命小于30003000小时的算做次品；应怎样推断这小时的算做次品；应怎样推断这批显象管的次品率？批显象管的次品率？ 引引例例2 某钢铁厂生产出了一大批的同一型号的钢筋，应如某钢铁厂生产出了一大批的同一型号的钢筋，应如何确认该
2、批钢筋的平均强度水平以及不同钢筋强度大小的差何确认该批钢筋的平均强度水平以及不同钢筋强度大小的差异离散程度？异离散程度？ 应如何解决此类问题呢应如何解决此类问题呢？1 1 随随 机机 样样 本本2概率概率论论和数理和数理统计统计数理数理统计统计的基的基本知本知识课识课件件v1 1、总体，个体、总体，个体 在统计学中，常把所研究对象的全体称为在统计学中，常把所研究对象的全体称为总体总体，而把组成总体的每个元素叫做而把组成总体的每个元素叫做个体个体。在实际中，我们关心的常是研究对象的在实际中，我们关心的常是研究对象的某个数量指标某个数量指标X，（如例如例1 1中显象管的寿命，例中显象管的寿命，例2
3、 2中钢筋的强度中钢筋的强度），），而这种指标而这种指标X是可以看作一个随机变量的，因此是可以看作一个随机变量的，因此总体是一个随机变量X的所有可能取值的全体。个体是随机变量X的每一个可能的取值xi。在数理统计中，我们通常就把随机变量在数理统计中，我们通常就把随机变量X称为总体；同时，因称为总体；同时，因为在取得具体数据以前，每个为在取得具体数据以前，每个xi也可以认为是变量，且是与也可以认为是变量，且是与X有着有着相同的可能取值的随机变量相同的可能取值的随机变量Xi。故故 总体总体 是一个随机变量是一个随机变量X , , 其所有可能取值即为我其所有可能取值即为我们所要研究的对象（数量指标）的
4、全体。们所要研究的对象（数量指标）的全体。个体个体 也是一些随机变量也是一些随机变量Xi, ,它们通常与总体有着它们通常与总体有着相同的分布相同的分布。3概率概率论论和数理和数理统计统计数理数理统计统计的基的基本知本知识课识课件件例如：例如：在在例例1 1中：中：X= =“1000010000只显象管中任一只的寿命只显象管中任一只的寿命”，则，则随机变量随机变量X（的可能取值的全体）即是问题的总体。的可能取值的全体）即是问题的总体。 这是一个这是一个容量容量为为1000010000的的有限有限总体。而对于总体。而对于例例2 2而言，而言，如果产品的数量很大，则可以近似地认为是如果产品的数量很大
5、，则可以近似地认为是无限无限总体。总体。这这1000010000只显象管中的某一只显象管的寿命只显象管中的某一只显象管的寿命Xi，在未测在未测定之前我们不知道它的寿命的确定值，只知道它可能定之前我们不知道它的寿命的确定值，只知道它可能取到取到1000010000个可能取值中的某一个值，所以个可能取值中的某一个值，所以Xi也是随机也是随机变量，且与总体变量，且与总体X同分布。同分布。注：注：随机变量随机变量X的概率分布也称为的概率分布也称为总体的（概率）分布总体的（概率）分布。实际中，总体的分布实际中，总体的分布通常都是未知的哟。通常都是未知的哟。4概率概率论论和数理和数理统计统计数理数理统计统
6、计的基的基本知本知识课识课件件v2 2、样本、样本抽样抽样：为了推断总体的性态而从总体中抽取部分个体为了推断总体的性态而从总体中抽取部分个体 的过程。的过程。 简单随机抽样简单随机抽样：满足条件：抽取的个体是相互独满足条件：抽取的个体是相互独立的随立的随 机变量且都与总体同分布的抽样。机变量且都与总体同分布的抽样。 特点特点：简单随机抽样具有简单随机抽样具有独立性独立性和和代表性代表性。 实际应用中的抽样方法可是有很多哟 ！5概率概率论论和数理和数理统计统计数理数理统计统计的基的基本知本知识课识课件件v3 3、样本、样本从总体从总体X中随机抽取中随机抽取n个个体个个体X1,X2,Xn所组成的一
7、个个体所组成的一个个体组组（X1,X2,Xn），），称为总体称为总体X的一个的一个样本样本，个体的数目个体的数目n 称为称为样本容量样本容量。由简单随机抽样所得样本由简单随机抽样所得样本( (X1,X2,Xn) )称为称为简单随机样本简单随机样本。通过试验对样本通过试验对样本( (X1,X2,Xn) )进行观测，得到的进行观测，得到的n个确定的个确定的实验数据实验数据( (x1,x2,xn) )，称为样本称为样本( (X1,X2,Xn) )的的一个一个观察观察值，简称值，简称 样本值样本值， 也称为样本的也称为样本的一次一次实现实现。简单随机样本简单随机样本（X1,X2,Xn）中诸中诸Xi 是
8、是独立同分布独立同分布的！的！数理统计学中的样本，通常都假定是数理统计学中的样本，通常都假定是简单随机样本简单随机样本！6概率概率论论和数理和数理统计统计数理数理统计统计的基的基本知本知识课识课件件用以下方法获得的样本均用以下方法获得的样本均(或近似或近似)为简单随机样本为简单随机样本 对于无限总体，在相同条件下进行不重复抽样对于无限总体，在相同条件下进行不重复抽样 对于有限总体，采用有放回抽样。对于有限总体，采用有放回抽样。 对于有限总体，当样本容量与总体容量之比不超过对于有限总体，当样本容量与总体容量之比不超过0.10.1时，采用不放回抽样（近似）。时，采用不放回抽样（近似）。例如例如:
9、: 从从1000010000只显象管中随机抽取只显象管中随机抽取2525只观察其寿命，这只观察其寿命，这2525只只的寿命的寿命（X1,X2,X25）就是一个容量为就是一个容量为2525的简单随机样本；的简单随机样本； 若进行一次试验，测得若进行一次试验，测得x1 1=3200=3200，x2 2=2850=2850，x25 25 =3150=3150，则则n维数组（维数组（32003200,2850,2850,3150,3150）就是样本）就是样本（X1,X2,X25）的的一一个个观察值。观察值。思考思考1：相当于一个相当于一个2525维随机维随机变量的一个取值。变量的一个取值。如何获得一个
10、如何获得一个简单随机样本？简单随机样本？7概率概率论论和数理和数理统计统计数理数理统计统计的基的基本知本知识课识课件件思考思考2：若已知总体若已知总体X的分布的分布，如何写出，如何写出样本样本 (X1, X2, Xn)的分布？的分布？样本样本 X1, X2, Xn 是是n个独立同分布的随机变量，因此个独立同分布的随机变量，因此 若总体若总体X的分布函数为的分布函数为F (x), 则（则（X1, X2, Xn）的分布函数为）的分布函数为 若总体若总体X的密度函数为的密度函数为f (x), 则（则（X1, X2, Xn）的密度函数为）的密度函数为 若总体若总体X的分布律为的分布律为PX=xi, 则
11、（则（X1, X2, Xn）的分布律为）的分布律为 8概率概率论论和数理和数理统计统计数理数理统计统计的基的基本知本知识课识课件件例例例例1 1已知总体已知总体X （ ）分布）分布，写出，写出样本样本 (X1, X2, Xn)的分布律。的分布律。X的分布律的分布律可以写成可以写成样本样本 (X1, X2, Xn)的分布律的分布律析：析：9概率概率论论和数理和数理统计统计数理数理统计统计的基的基本知本知识课识课件件3 3、统计量、统计量如如如如： 纯粹由样本而构成（不含其它未知参数）的函数纯粹由样本而构成（不含其它未知参数）的函数 g( (X1,X2,Xn）称为称为统计量统计量。 注：注：统计量
12、通常也是随机变量。统计量通常也是随机变量。，, 设总体设总体X服从正态分布，已知服从正态分布，已知 ，未知，未知 2，X1,X2,Xn是取是取自总体自总体X的一个样本的一个样本 为样本为样本X1,X2,Xn的统计量的统计量不是该样本的统计量不是该样本的统计量 10概率概率论论和数理和数理统计统计数理数理统计统计的基的基本知本知识课识课件件v2 2、几种基本的统计量、几种基本的统计量设设（X1,X2,Xn）为总体为总体X的样本，的样本，样本均值样本均值样本方差样本方差样本标准差样本标准差样本样本k阶阶( (原点原点) )矩矩样本样本k阶中心矩阶中心矩注注 1) 1) 以上统计量又称为以上统计量又
13、称为样本的数字特征样本的数字特征; ;另外在不混淆的情况下另外在不混淆的情况下, ,对于对于总体总体X的期望的期望E(X)和方差和方差D(X)也分别称为均值和方差也分别称为均值和方差, ,分别记为分别记为 , , 2 2. . 2) 2)样本方差样本方差 S2 稍不同于稍不同于样本的样本的2 2阶中心矩阶中心矩M2。3)称为样本的偏差平方和称为样本的偏差平方和 11概率概率论论和数理和数理统计统计数理数理统计统计的基的基本知本知识课识课件件性质性质:设总体设总体X的期望为的期望为 ，方差为，方差为 2，则，则 与与 相互独立相互独立. 2 2 经验分布与直方图经验分布与直方图一、经验分布函数一
14、、经验分布函数设有总体设有总体 X，样本样本 (X1, X2, Xn)理论分布理论分布 - 总体总体X的分布的分布.经验分布经验分布 - 依据样本数据对总体的分布做出的一种直接推断依据样本数据对总体的分布做出的一种直接推断.12概率概率论论和数理和数理统计统计数理数理统计统计的基的基本知本知识课识课件件定义定义 设总体设总体X的的 n个独立观测值为个独立观测值为x1,x2,xn, 将它们从小将它们从小到大排序后为到大排序后为x1* *,x2 * *,xn * *, 令令称称Fn(x)为总体为总体X 的的经验分布函数经验分布函数. （也称为（也称为样本分布函数样本分布函数） 单调不减；单调不减；
15、 处处右连续处处右连续. .注：对于不同的样本，得到的注：对于不同的样本，得到的 Fn(x) 通常是不同的！通常是不同的！13概率概率论论和数理和数理统计统计数理数理统计统计的基的基本知本知识课识课件件 格利文科定理格利文科定理 （19331933年）年）当样本容量当样本容量n n充分大时，充分大时，Fn(x) 以概率以概率1 1关于关于x 均匀均匀收敛收敛F(x) ；意义：意义：当当n足够大时，足够大时，Fn(x)与与F (x)相差最大处也会足够地小！相差最大处也会足够地小！因此，因此， Fn(x)可以作为可以作为F(x)的一个很好的估计。的一个很好的估计。二、频率直方图二、频率直方图自学自
16、学作业：作业：P34 1 3 4 14概率概率论论和数理和数理统计统计数理数理统计统计的基的基本知本知识课识课件件1 1 1 1、 2 2 2 2分布分布分布分布称称Y服从服从参数为参数为n的的 2 2 分布分布，记为，记为 Y 2 2( (n) ).定义定义：若随机变量若随机变量Y Y的概率密度函数为的概率密度函数为（其中参数（其中参数n n也称为也称为 2 2分布的分布的自由度自由度自由度自由度。）。）n n大大 性质性质：3抽样分布抽样分布15概率概率论论和数理和数理统计统计数理数理统计统计的基的基本知本知识课识课件件上上上上 分位点分位点分位点分位点则称点则称点t 为为 2 2( (n
17、)n)分布的分布的上上 分位点分位点, ,记为记为 2 2 ( (n)n)。当当n45时，可查表时，可查表；其中其中Z 是是 N(0,1) 的上的上 分位点。分位点。 对于给定的正数对于给定的正数 (0(0 1), 45时，有近似公式：时，有近似公式：特特特特性：性：性：性： E(Y)=n, D(Y)=2n ; 可加性可加性：若若Y1 2(n1)， Y2 2(n2)，且且Y1 ，Y2相互相互独立，则独立，则 Y1+ Y2 2(n1+n2)对于给定的对于给定的 ，如何求如何求 2 2 ( (n)n)？16概率概率论论和数理和数理统计统计数理数理统计统计的基的基本知本知识课识课件件2 2 2 2、
18、t t 分布分布分布分布定义定义定义定义：若随机变量若随机变量T T的概率密度函数为的概率密度函数为T T服从自由度为服从自由度为n n的的 t 分布（分布（俗称俗称学生分布学生分布学生分布学生分布），记为记为 T Tt t（n n）特点：特点：特点：特点： 当当n时，时，t t( (n n) ) N(0,1) N(0,1)l 性质性质：17概率概率论论和数理和数理统计统计数理数理统计统计的基的基本知本知识课识课件件上上 分位点分位点t t t t ( ( ( (n)n)n)n)注意注意： t 1- （n）= - t （n）n45时，可查表求得；时，可查表求得；n 45时时, , t （n）
19、z 双侧双侧 分位点分位点 即即：对于给定的正数：对于给定的正数 (0(0 1)u = 的点的点u. ( (相当于：相当于：使得使得 PT t = /2 的点的点t .) 求求t0.5/2（n） ，也就是求，也就是求t0.25（n） 注注：正态分布、：正态分布、 2 2分布等也都有双侧分位点分布等也都有双侧分位点18概率概率论论和数理和数理统计统计数理数理统计统计的基的基本知本知识课识课件件3 3 3 3、F F分布分布分布分布定义定义：若随机变量若随机变量F F 的概率密度函数为的概率密度函数为F F 服从自由度为服从自由度为( (n n1 1，n n2 2) )的的F-F-分布，分布，记为
20、记为 F F F F F (n F (n F (n F (n1 1 1 1，n n n n2 2 2 2) ) ) )。 性质性质：19概率概率论论和数理和数理统计统计数理数理统计统计的基的基本知本知识课识课件件上上 分位点分位点F F (n(n1 1,n,n2 2) ) F F1-1- （n n1 1，n n2 2） = =F F （n n2 2，n n1 1）1求得。求得。对表中没有列出的值，对表中没有列出的值，可由可由F F分布的性质公式分布的性质公式有有“分布表分布表”F F （n n1 1，n n2 2）F F1-1- （n n1 1，n n2 2） 20概率概率论论和数理和数理统计
21、统计数理数理统计统计的基的基本知本知识课识课件件4、 设总体设总体 XN( ， 2), (X1,X2，Xn)为样本为样本, 则则21概率概率论论和数理和数理统计统计数理数理统计统计的基的基本知本知识课识课件件 若两个总体若两个总体X X与与Y Y相互独立相互独立, ,且且XN( 1, 12),Y N( 2, 22), (X1 ,X2,Xn1), (Y1 ,Y2,Yn2)分别为取自总体分别为取自总体X, ,Y的样本的样本, ,则则1 1 当当 1 12 2= = 2 22 2时时2 2 一般情况时有一般情况时有以及以及22概率概率论论和数理和数理统计统计数理数理统计统计的基的基本知本知识课识课件件说明说明：以上结论除了常常作为统计方法中的依据之外，还可以以上结论除了常常作为统计方法中的依据之外，还可以与我们在概率论中学的一些性质结合起来，推导出另外一些有关与我们在概率论中学的一些性质结合起来，推导出另外一些有关统计量的分布的性质。统计量的分布的性质。 例例1设总体设总体X服从服从N(0,22),X1,X2,X15是来自总体是来自总体X的简单随机样本，的简单随机样本，那么，统计量那么，统计量Y服从什么服从什么分布？分布？析：析：23概率概率论论和数理和数理统计统计数理数理统计统计的基的基本知本知识课识课件件
