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1、2.32.3导数在函数中的应用导数在函数中的应用232 2.3.1 .3.1 导数与函数的单调性、极值、最值导数与函数的单调性、极值、最值命题热点一命题热点二命题热点三利用导数讨论函数的单调性【思考】函数的导数与函数的单调性具有怎样的关系?例1(2017天津,理20)设aZ,已知定义在R上的函数f(x)=2x4+3x3-3x2-6x+a在区间(1,2)内有一个零点x0,g(x)为f(x)的导函数.(1)求g(x)的单调区间;(2)设m1,x0)(x0,2,函数h(x)=g(x)(m-x0)-f(m),求证:h(m)h(x0)0,故当x1,x0)时,H1(x)0,H1(x)单调递增.因此,当x1
2、,x0)(x0,2时,H1(x)H1(x0)=-f(x0)=0,可得H1(m)0,即h(m)0.令函数H2(x)=g(x0)(x-x0)-f(x),则H2(x)=g(x0)-g(x).由(1)知g(x)在区间1,2上单调递增,故当x1,x0)时,H2(x)0,H2(x)单调递增;当x(x0,2时,H2(x)0,H2(x)单调递减.因此,当x1,x0)(x0,2时,H2(x)H2(x0)=0,可得H2(m)0,即h(x0)0.所以,h(m)h(x0)0或f(x)0;若已知y=f(x)的单调性,则转化为不等式f(x)0或f(x)0在函数的单调区间上恒成立问题求解.10命题热点一命题热点二命题热点三
3、 答案解析解析关闭 答案解析关闭对点训练1设函数f(x)=ln(1+x)-ln(1-x),则f(x)是()A.奇函数,且在(0,1)上是增函数B.奇函数,且在(0,1)上是减函数C.偶函数,且在(0,1)上是增函数D.偶函数,且在(0,1)上是减函数11命题热点一命题热点二命题热点三利用导数求函数的极值或最值【思考】函数的极值与导数有怎样的关系?如何求函数的最值?例2(2017北京,理19)已知函数f(x)=excos x-x.(1)求曲线y=f(x)在点(0,f(0)处的切线方程;12命题热点一命题热点二命题热点三解: (1)因为f(x)=excos x-x,所以f(x)=ex(cos x-
4、sin x)-1,f(0)=0.又因为f(0)=1,所以曲线y=f(x)在点(0,f(0)处的切线方程为y=1.(2)设h(x)=ex(cos x-sin x)-1,则h(x)=ex(cos x-sin x-sin x-cos x)=-2exsin x.13命题热点一命题热点二命题热点三题后反思1.对于函数y=f(x),若在点x=a处有f(a)=0,且在点x=a附近的左侧f(x)0,则当x=a时f(x)有极小值f(a);若在点x=b处有f(b)=0,且在点x=b附近的左侧f(x)0,右侧f(x)0),g(x)=x3+bx.(1)若曲线y=f(x)与曲线y=g(x)在它们的交点(1,c)处具有公
5、共切线,求a,b的值;(2)当a2=4b时,求函数f(x)+g(x)的单调区间,并求其在区间(-,-1上的最大值.解：(1)f(x)=2ax,g(x)=3x2+b.因为曲线y=f(x)与曲线y=g(x)在它们的交点(1,c)处具有公共切线,所以f(1)=g(1),且f(1)=g(1),即a+1=1+b,且2a=3+b.解得a=3,b=3.15命题热点一命题热点二命题热点三16命题热点一命题热点二命题热点三17命题热点一命题热点二命题热点三利用导数求与函数零点有关的参数的取值范围【思考】如何利用导数求与函数零点有关的参数的取值范围?例3已知函数f(x)=x3+ax+ ,g(x)=-ln x.(1
6、)当a为何值时,x轴为曲线y=f(x)的切线;(2)用minm,n表示m,n中的最小值,设函数h(x)=minf(x),g(x)(x0),讨论h(x)零点的个数.18命题热点一命题热点二命题热点三(2)当x(1,+)时,g(x)=-ln x0,从而h(x)=minf(x),g(x)g(x)0,故h(x)在(1,+)无零点.故x=1是h(x)的零点;若a- ,则f(1)0,h(1)=minf(1),g(1)=f(1)0.所以只需考虑f(x)在(0,1)的零点个数.()若a-3或a0,则f(x)=3x2+a在(0,1)无零点,故f(x)在(0,1)单调.19命题热点一命题热点二命题热点三20命题热
7、点一命题热点二命题热点三题后反思与函数零点有关的参数范围问题,往往利用导数研究函数的单调区间和极值点,并结合特殊点,从而判断函数的大致图象,讨论其图象与x轴的交点个数问题(或者转化为两个熟悉函数的交点问题),进而确定参数的取值范围.21命题热点一命题热点二命题热点三对点训练3设函数f(x)=(1+x)2-2ln(1+x).(1)求函数f(x)的单调区间;(2)若关于x的方程f(x)=x2+x+a在0,2上恰有两个相异实根,求实数a的取值范围.解：(1)函数的定义域为(-1,+),因为f(x)=(1+x)2-2ln(1+x),由f(x)0,得x0;由f(x)0,得-1x0,得x1;由g(x)0,
8、得-1x1.所以g(x)在0,1上单调递减,在1,2上单调递增.为使f(x)=x2+x+a在0,2上恰有两个相异的实根,只须g(x)=0在0,1)和(1,2上各有一个实根,解得2-2ln 20的解集;若f(x)在M上单调递增,则f(x)0在M上恒成立.2.f(x)在区间A上单调递减与f(x)的单调递减区间为A不同,当f(x)在区间A上单调递减时,A可能是f(x)的单调递减区间的一个真子集.若f(x)的单调递减区间为m,n,则在x=m(x=n)两侧导数值异号,f(m)=0(f(n)=0).3.求可导函数极值的步骤:(1)确定函数f(x)的定义域;(2)求f(x);(3)求f(x)=0在定义域内的
9、根;(4)判定根两侧导数的符号;(5)下结论.要注意函数的极值点对应的导数为0,但导数为0的点不一定是函数的极值点,必须是导数为0的点的左右附近对应的导数异号.24规律总结拓展演练4.求函数f(x)在区间a,b上的最大值与最小值,首先求出各极值及区间端点处的函数值;然后比较其大小,得出结论(最大的就是最大值,最小的就是最小值).5.对于研究方程根的个数的相关问题,利用导数这一工具和数形结合的数学思想就可以很好地解决.这类问题求解的通法是:(1)构造函数,并求其定义域;(2)求导数,得函数的单调区间和极值点;(3)画出函数图象的草图;(4)数形结合,挖掘隐含条件,确定函数的图象与x轴的交点情况进
10、而求解.25规律总结拓展演练1.已知曲线y=mln x+1的一条切线方程为y=x+1,则实数m=()A.1B.eC.2eD.e2 答案解析解析关闭 答案解析关闭26规律总结拓展演练2.(2017全国,理11)若x=-2是函数f(x)=(x2+ax-1)ex-1的极值点,则f(x)的极小值为()A.-1B.-2e-3C.5e-3D.1 答案解析解析关闭 答案解析关闭27规律总结拓展演练3.设曲线y=ex在点(0,1)处的切线与曲线y= (x0)在点P处的切线垂直,则P的坐标为. 答案解析解析关闭 答案解析关闭28规律总结拓展演练4.(1)讨论函数f(x)= ex的单调性,并证明当x0时,(x-2
11、)ex+x+20;(2)证明:当a0,1)时,函数g(x)= (x0)有最小值.设g(x)的最小值为h(a),求函数h(a)的值域.解：(1)f(x)的定义域为(-,-2)(-2,+).当且仅当x=0时,f(x)=0,所以f(x)在(-,-2),(-2,+)单调递增.因此当x(0,+)时,f(x)f(0)=-1.所以(x-2)ex-(x+2),(x-2)ex+x+20.29规律总结拓展演练由(1)知,f(x)+a单调递增.对任意a0,1),f(0)+a=a-10,f(2)+a=a0.因此,存在唯一xa(0,2,使得f(xa)+a=0,即g(xa)=0.当0xxa时,f(x)+a0,g(x)xa时,f(x)+a0,g(x)0,g(x)单调递增.30规律总结拓展演练31
