第二节 不等式的证明与常见不等式第二节 不等式的证明与常见不等式最新考纲展示 1．了解柯西不等式的几种不同形式，理解它们的几何意义，并会证明． 2.能够利用平均值不等式、柯西不等式求一些特定函数的极值． 3.了解证明不等式的基本方法：比较法、综合法、分析法、反证法、放缩法． 一、比较法1．求差比较法知道a＞b⇔a－b＞0，a＜b⇔a－b＜0，因此要证明a＞b，只要证明 即可，这种方法称为求差比较法．a－b＞0 二、综合法 从已知条件出发，利用定义、公理、定理、性质等，经过一系列的推理、论证而得出命题成立，这种证明方法称为综合法，即“由因寻果”的方法．三、分析法 从所要证明的 出发，逐步寻求使它成立的充分条件，直至所需条件为已知条件或一个明显成立的事实(定义、公理或已证明的定理、性质等)，从而得出要证的命题成立，这种证明方法称为分析法，即“执果索因”的证明方法．结论 四、放缩法 在证明不等式时，有时我们要把所证不等式中的某些部分的值放大或缩小，简化不等式，从而达到证明的目的．这种方法称为放缩法．五、反证法 先假设要证的命题不成立，以此为出发点，结合已知条件，应用公理、定义、定理、性质等，进行正确的推理，得到和命题的条件(或已证明的定理、性质、明显成立的事实等)矛盾的结论，以说明假设不正确，从而证明原命题成立，我们把它称为反证法．对于那些直接证明比较困难的命题常常用反证法证明． 六、二维形式的柯西不等式1．定理1(二维形式的柯西不等式)：若a，b，c，d都是实数，则(a2＋b2)(c2＋d2)≥(ac＋bd)2，当且仅当ad＝bc时，等号成立．2．定理2(柯西不等式的向量形式)：设α，β是两个向量，则|α·β|≤|α||β|，当且仅当β是零向量，或存在实数k，使α＝kβ时，等号成立． 七、一般形式的柯西不等式 定理：设a1，a2，a3，…，an，b1，b2，b3，…，bn是实数，则(a＋a＋…＋a)·(b＋b＋…＋b)≥(a1b1＋a2b2＋…＋anbn)2，当且仅当bi＝0(i＝1,2，…，n)或存在一个数k，使得ai＝kbi(i＝1,2，…，n)时，等号成立．以上不等式称为一般形式的柯西不等式．八、排序不等式1．定理(排序不等式 sequence inequality，又称排序原理)：设a1≤a2≤…≤an，b1≤b2≤…≤bn为两组实数，c1，c2，…，cn是b1，b2，…，bn的任一排序，则a1bn＋a2bn－1＋…＋anb1≤a1c1＋a2c2＋…＋ancn≤a1b1＋a2b2＋…＋anbn，当且仅当a1＝a2＝…＝an或b1＝b2＝…＝bn时，反序和等于顺序和．2．排序不等式可简记为： ≤ ≤ ．反序和乱序和顺序和 2．分析法证明不等式的注意事项：用分析法证明不等式时，不要把“逆求”错误地作为“逆推”，分析法的过程仅需要寻求充分条件即可，而不是充要条件，也就是说，分析法的思维是逆向思维，因此在证题时，应正确使用“要证”、“只需证”这样的连接“关键词”． 一、不等式的证明方法1．设t＝a＋2b，s＝a＋b2＋1，则s与t的大小关系是( )A．s≥t B．s>tC．s≤t D．s
