《3.4.3圆内接四边形》由会员分享，可在线阅读，更多相关《3.4.3圆内接四边形（33页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、第三章第三章第三章第三章 圆圆圆圆3.4 3.4 圆周角和圆心角的关系圆周角和圆心角的关系第第3 3课时课时 圆内接四边形圆内接四边形1 1课堂讲解课堂讲解课堂讲解课堂讲解u圆内接四边形圆内接四边形及其及其对角对角的性质的性质u圆内接四边形外角的圆内接四边形外角的性质性质2 2课时流程课时流程课时流程课时流程逐点逐点导讲练导讲练课堂课堂课堂课堂小结小结小结小结作业作业作业作业提升提升提升提升 前前边我学我学习了了圆的内接三角形，的内接三角形，圆的内接三角的内接三角形有哪些性形有哪些性质呢？今天我呢？今天我们探究的探究的圆的内接四的内接四边形形的性的性质，我，我们根据根据圆内接三角形的定内接三角
2、形的定义，想一想如，想一想如何何给圆内接四内接四边形下定形下定义呢？呢？1 1知识点知识点知识点知识点圆内接圆内接圆内接圆内接四四四四边形边形边形边形及其对角的性质及其对角的性质及其对角的性质及其对角的性质知知知知1 1 1 1讲讲讲讲圆圆内接多内接多内接多内接多边边形：在形：在形：在形：在圆圆内相异内相异内相异内相异n n个点，按个点，按个点，按个点，按顺顺（或逆）（或逆）（或逆）（或逆）时针时针的方向的方向的方向的方向连连接相接相接相接相邻邻的各点，可形成一个的各点，可形成一个的各点，可形成一个的各点，可形成一个n n边边形，此形，此形，此形，此n n边边形叫形叫形叫形叫作此作此作此作此圆
3、圆的的的的圆圆内接多内接多内接多内接多边边形，此形，此形，此形，此圆为圆为多多多多边边形的外接形的外接形的外接形的外接圆圆. .圆圆心心心心为为此此此此n n边边形的外心形的外心形的外心形的外心. .外心到外心到外心到外心到圆圆内接多内接多内接多内接多边边形各形各形各形各顶顶点的距离皆等点的距离皆等点的距离皆等点的距离皆等长长( (即外接即外接即外接即外接圆圆的的的的半径半径半径半径) )知知知知1 1 1 1导导导导 下面，我下面，我下面，我下面，我们们探究四探究四探究四探究四边边形与形与形与形与圆圆的关系的关系的关系的关系. . 四个四个四个四个顶顶点都在同一个点都在同一个点都在同一个点都
4、在同一个圆圆上的四上的四上的四上的四边边形叫做形叫做形叫做形叫做圆圆内接四内接四内接四内接四边边形形形形，这这个个个个圆圆叫做叫做叫做叫做四四四四边边形的外接形的外接形的外接形的外接圆圆. . 如如如如图图，四，四，四，四边边形形形形ABCDABCD为为 O O的内接四的内接四的内接四的内接四边边形，形，形，形， O O为为四四四四边边形形形形ABCDABCD的外接的外接的外接的外接圆圆. .知知知知1 1 1 1讲讲讲讲（来自（来自（来自（来自点拨点拨点拨点拨）四个顶点都在同一个圆上的四边形叫四个顶点都在同一个圆上的四边形叫四个顶点都在同一个圆上的四边形叫四个顶点都在同一个圆上的四边形叫做圆
5、内接四边形，这个圆叫做四边形做圆内接四边形，这个圆叫做四边形做圆内接四边形，这个圆叫做四边形做圆内接四边形，这个圆叫做四边形的外接圆的外接圆的外接圆的外接圆定定定定义义如果如果如果如果圆圆内接四内接四内接四内接四边边形形形形ABCDABCD的的的的对对角角角角线线交点恰好是交点恰好是交点恰好是交点恰好是该该圆圆的的的的圆圆心，心，心，心，则则四四四四边边形形形形ABCDABCD一定是一定是一定是一定是( )( )A.A.平行四平行四平行四平行四边边形形形形 B.B.矩形矩形矩形矩形 C.C.菱形菱形菱形菱形 D.D.正方形正方形正方形正方形知知知知1 1 1 1讲讲讲讲例例例例1 1分析分析分
6、析分析：由由由由圆圆内接四内接四内接四内接四边边形形形形ABCDABCD的的的的对对角角角角线线交点恰好是交点恰好是交点恰好是交点恰好是该圆该圆 的的的的圆圆心，根据直径所心，根据直径所心，根据直径所心，根据直径所对对的的的的圆圆周角是直角，可求得周角是直角，可求得周角是直角，可求得周角是直角，可求得 四四四四边边形形形形ABCDABCD的四个内角都是直角，即可判定四的四个内角都是直角，即可判定四的四个内角都是直角，即可判定四的四个内角都是直角，即可判定四 边边形形形形ABCDABCD一定是矩形一定是矩形一定是矩形一定是矩形. .解：解：解：解：圆圆内接四内接四内接四内接四边边形形形形ABCD
7、ABCD的的的的对对角角角角线线交点恰好是交点恰好是交点恰好是交点恰好是该圆该圆的的的的 圆圆心，心，心，心，A A= =B B= =C C= =D D=90=90， 四四四四边边形形形形ABCDABCD一定是矩形一定是矩形一定是矩形一定是矩形. . 故故故故选选B.B.B B下列下列下列下列说说法正确的是法正确的是法正确的是法正确的是( () )A A在在在在圆圆内部的多内部的多内部的多内部的多边边形叫做形叫做形叫做形叫做圆圆内接多内接多内接多内接多边边形形形形B B过过四四四四边边形的四个形的四个形的四个形的四个顶顶点的点的点的点的圆圆叫做叫做叫做叫做这这个四个四个四个四边边形形形形 的外
8、接的外接的外接的外接圆圆C C任意一个四任意一个四任意一个四任意一个四边边形都有外接形都有外接形都有外接形都有外接圆圆D D一个一个一个一个圆圆只有唯一一个内接四只有唯一一个内接四只有唯一一个内接四只有唯一一个内接四边边形形形形知知知知1 1 1 1练练练练（来自（来自（来自（来自典中点典中点典中点典中点）1 1B B下列多下列多下列多下列多边边形中一定有外接形中一定有外接形中一定有外接形中一定有外接圆圆的是的是的是的是( () )A A三角形三角形三角形三角形B B四四四四边边形形形形C C五五五五边边形形形形D D六六六六边边形形形形知知知知1 1 1 1练练练练（来自（来自（来自（来自典
9、中点典中点典中点典中点）2 2A A下列命下列命下列命下列命题题中，不正确的是中，不正确的是中，不正确的是中，不正确的是( () )A A矩形有一个外接矩形有一个外接矩形有一个外接矩形有一个外接圆圆B B弦的垂直平分弦的垂直平分弦的垂直平分弦的垂直平分线线一定平分弦所一定平分弦所一定平分弦所一定平分弦所对对的弧的弧的弧的弧C C菱形有一个外接菱形有一个外接菱形有一个外接菱形有一个外接圆圆D D任何一个三角形都有一个外接任何一个三角形都有一个外接任何一个三角形都有一个外接任何一个三角形都有一个外接圆圆知知知知1 1 1 1练练练练（来自（来自（来自（来自典中点典中点典中点典中点）3 3C C知知
10、知知1 1 1 1导导导导(1)(1)如如如如图图1 1，A A，B B，C C，D D是是是是 O O上的四点，上的四点，上的四点，上的四点， AC AC为为 O O的直径，的直径，的直径，的直径， BADBAD与与与与 BCDBCD 之之之之间间有什么关系？有什么关系？有什么关系？有什么关系？为为什么？什么？什么？什么？(2)(2)如如如如图图2 2，点点点点C C的位置的位置的位置的位置发发生了生了生了生了变变化，化，化，化， BADBAD与与与与 BCDBCD之之之之间间的关系的关系的关系的关系 还还成立成立成立成立 吗吗？为为什么？什么？什么？什么？图图1 1图图2 2归纳知知知知1
11、 1 1 1导导导导（来自教材）（来自教材）（来自教材）（来自教材）推推推推论论 圆圆内接四内接四内接四内接四边边形的形的形的形的对对角互角互角互角互补补. .知知知知1 1 1 1导导导导下面我下面我下面我下面我们对们对它它它它进进行行行行证证明明明明. .已知：如已知：如已知：如已知：如图图，四四四四边边形形形形ABCDABCD为为 O O的内接四的内接四的内接四的内接四边边形形形形. . 求求求求证证：BCDBCD+ +BADBAD= 180= 180， ABCABC+ +ADCADC= 180.= 180.知知知知1 1 1 1导导导导证证明：明：明：明：如如如如图图，连连接接接接OB
12、OB，ODOD. . 与与与与 所所所所对对的的的的圆圆心角之和心角之和心角之和心角之和为为360360， BCDBCD和和和和BADBAD分分分分别为别为 和和和和 所所所所对对的的的的 圆圆周角，周角，周角，周角， BCDBCD+ +BADBAD= 180.= 180. 同理可同理可同理可同理可证证，ABCABC+ +ADCADC=180.=180.知知知知1 1 1 1讲讲讲讲如如如如图图，两，两，两，两圆圆相交于相交于相交于相交于A A，B B两点，小两点，小两点，小两点，小圆圆经过经过大大大大圆圆的的的的圆圆心心心心O O，点，点，点，点C C，D D分分分分别别在在在在两两两两圆圆
13、上，若上，若上，若上，若ADBADB100100，则则ACBACB的度数的度数的度数的度数为为( () )A A3535B B40 C40 C50 D50 D8080例例例例2 2要求要求要求要求ACBACB的度数，即需要求出的度数，即需要求出的度数，即需要求出的度数，即需要求出AOBAOB的度数的度数的度数的度数( (一条弧所一条弧所一条弧所一条弧所对对的的的的圆圆周角等于它所周角等于它所周角等于它所周角等于它所对对的的的的圆圆心角的一半心角的一半心角的一半心角的一半) )，这样这样就就就就产产生生生生辅辅助助助助线线AOAO，BOBO，如，如，如，如图图，连连接接接接AOAO，BOBO.
14、.在小在小在小在小圆圆中，中，中，中，AOBAOB是是是是圆圆内接四内接四内接四内接四边边形形形形AOBDAOBD中中中中ADBADB的的的的对对角，因此角，因此角，因此角，因此AOBAOB180180ADBADB1801801001008080，所以，所以，所以，所以ACBACB AOBAOB40.40.导导引：引：引：引：B B在在在在圆圆内接四内接四内接四内接四边边形形形形ABCDABCD中，中，中，中，对对角角角角A A与与与与C C的度数的度数的度数的度数之比是之比是之比是之比是4 4：5 5，求，求，求，求C C的度数的度数的度数的度数. .知知知知1 1 1 1练练练练（来自（来
15、自（来自（来自教材教材教材教材）1 1设设A A4 4x x ，则则C C5 5x x. .A AC C180180，4 4x x 5 5x x 180.180.x x20.20.C C520520100100解：解：解：解：( (中考中考中考中考 杭州杭州杭州杭州) )在在在在圆圆内接四内接四内接四内接四边边形形形形ABCDABCD中，若中，若中，若中，若A A7070，则则C C等于等于等于等于( () )A A20 B20 B30 C30 C70 D70 D110110下列命下列命下列命下列命题题：圆圆内接平行四内接平行四内接平行四内接平行四边边形是矩形；形是矩形；形是矩形；形是矩形；圆
16、圆内接矩内接矩内接矩内接矩形是正方形；形是正方形；形是正方形；形是正方形；圆圆内接菱形是正方形；内接菱形是正方形；内接菱形是正方形；内接菱形是正方形；任意四任意四任意四任意四边边形形形形一定有外接一定有外接一定有外接一定有外接圆圆其中真命其中真命其中真命其中真命题题有有有有( () )A A1 1个个个个 B B2 2个个个个 C C3 3个个个个 D D4 4个个个个知知知知1 1 1 1练练练练（来自（来自（来自（来自典中点典中点典中点典中点）2 23 3D DB B知知知知1 1 1 1练练练练（来自（来自（来自（来自典中点典中点典中点典中点）( (中考中考中考中考 兰兰州州州州) )如
17、如如如图图，四，四，四，四边边形形形形ABCDABCD内接于内接于内接于内接于 O O，若四，若四，若四，若四边边形形形形ABCOABCO是平行四是平行四是平行四是平行四边边形，形，形，形，则则ADCADC的大小的大小的大小的大小为为( () )A A45 45 B B50 50 C C60 60 D D75754 4C C知知知知1 1 1 1练练练练（来自（来自（来自（来自典中点典中点典中点典中点）如如如如图图，两，两，两，两圆圆相交于相交于相交于相交于A A，B B两点，小两点，小两点，小两点，小圆经过圆经过大大大大圆圆圆圆心心心心O O，点点点点C C，D D分分分分别别在两在两在两在
18、两圆圆上，若上，若上，若上，若ADBADB100100，则则ACBACB的度数的度数的度数的度数为为( () )A A35 35 B B40 40 C C50 50 D D80805 5B B知知知知1 1 1 1练练练练（来自（来自（来自（来自典中点典中点典中点典中点）【中考中考中考中考 龙东龙东】如如如如图图， O O的半径是的半径是的半径是的半径是2 2，ABAB是是是是 O O的弦的弦的弦的弦, ,点点点点P P是弦是弦是弦是弦ABAB上的上的上的上的动动点，且点，且点，且点，且11OPOP22，则则弦弦弦弦ABAB所所所所对对的的的的圆圆周角周角周角周角的度数是的度数是的度数是的度数
19、是( () )A A60 60 B B120120C C6060或或或或120 120 D D3030或或或或1501506 6C C知知知知2 2 2 2导导导导2 2知识点知识点知识点知识点圆内接四边形外角圆内接四边形外角圆内接四边形外角圆内接四边形外角的性质的性质的性质的性质想一想想一想想一想想一想 如如图， DCE是是圆内接四内接四边形形ABCD的一个的一个 外角，外角， A与与DCE的大小有什么关系？的大小有什么关系？（来自教材）（来自教材）（来自教材）（来自教材）（来自（来自（来自（来自点拨点拨点拨点拨）知知知知2 2 2 2讲讲讲讲推论：推论：推论：推论：圆内接四边形的一个外角等
20、于它的内对角圆内接四边形的一个外角等于它的内对角圆内接四边形的一个外角等于它的内对角圆内接四边形的一个外角等于它的内对角已知：如已知：如已知：如已知：如图图，两个等，两个等，两个等，两个等圆圆 O O1 1和和和和 O O2 2相交于相交于相交于相交于A A，B B两点，两点，两点，两点，经过经过点点点点A A的直的直的直的直线线与两与两与两与两圆圆分分分分别别交于点交于点交于点交于点C C，点，点，点，点D D，经过经过点点点点B B的直的直的直的直线线与两与两与两与两圆圆分分分分别别交于点交于点交于点交于点E E，点，点，点，点F F. .若若若若CDCDEFEF，求，求，求，求证证：(1
21、)(1)四四四四边边形形形形CEFDCEFD是平行四是平行四是平行四是平行四边边形；形；形；形；(2) .(2) .（来自（来自（来自（来自点拨点拨点拨点拨）知知知知2 2 2 2讲讲讲讲例例例例3 3（来自（来自（来自（来自点拨点拨点拨点拨）知知知知2 2 2 2讲讲讲讲(1)(1)已知已知已知已知CDCDEFEF，需，需，需，需证证CECEDFDF；连连接接接接ABAB，由，由，由，由圆圆内接内接内接内接四四四四边边形的性形的性形的性形的性质质，知：，知：，知：，知：BADBADE E，BADBADF F180180，可得，可得，可得，可得E EF F180180，进进而可得而可得而可得而
22、可得CECEDFDF，由此得由此得由此得由此得证证(2)(2)由四由四由四由四边边形形形形CEFDCEFD是平行四是平行四是平行四是平行四边边形，得形，得形，得形，得CECEDFDF. .由于由于由于由于 O O1 1和和和和 O O2 2是两个等是两个等是两个等是两个等圆圆，因此，因此，因此，因此 . .导导引：引：引：引：（来自（来自（来自（来自点拨点拨点拨点拨）知知知知2 2 2 2讲讲讲讲 解：解：解：解：(1)(1)连连接接接接ABAB，如，如，如，如图图. . 四四四四边边形形形形ABECABEC是是是是 O O1 1的内接四的内接四的内接四的内接四边边形，形，形，形，BADBAD
23、E E. . 又又又又四四四四边边形形形形ADFBADFB是是是是 O O2 2的内接四的内接四的内接四的内接四边边形，形，形，形， BADBADF F180.180.E EF F180.180.CECEDFDF. . 又又又又CDCDEFEF， 四四四四边边形形形形CEFDCEFD是平行四是平行四是平行四是平行四边边形形形形(2)(2)由由由由(1)(1)得：四得：四得：四得：四边边形形形形CEFDCEFD是平行四是平行四是平行四是平行四边边形，形，形，形，CECEDFDF. . 又又又又O O1 1和和和和 O O2 2是两个等是两个等是两个等是两个等圆圆， . . 总结知知知知2 2 2
24、 2讲讲讲讲（来自（来自（来自（来自点拨点拨点拨点拨） 连连接两接两接两接两圆圆共同的弦共同的弦共同的弦共同的弦( (如本如本如本如本题题中中中中连连接接接接ABAB) )是解答是解答是解答是解答这类问这类问题题的重要的重要的重要的重要辅辅助助助助线线，它将两，它将两，它将两，它将两圆圆的有关角的有关角的有关角的有关角联联系在一起，起系在一起，起系在一起，起系在一起，起到一种到一种到一种到一种桥桥梁作用梁作用梁作用梁作用知知知知2 2 2 2练练练练（来自（来自（来自（来自典中点典中点典中点典中点）如如如如图图，四，四，四，四边边形形形形ABCDABCD是是是是圆圆内接四内接四内接四内接四边边
25、形，形，形，形，E E是是是是BCBC延延延延长线长线上一点，若上一点，若上一点，若上一点，若BADBAD105105，则则DCEDCE_1 1105105知知知知2 2 2 2练练练练（来自（来自（来自（来自典中点典中点典中点典中点）如如如如图图，四，四，四，四边边形形形形ABCDABCD为为 O O的内接四的内接四的内接四的内接四边边形，形，形，形，E E为为ABAB延延延延长长线线上一点，上一点，上一点，上一点，CBECBE4040，则则AOCAOC等于等于等于等于( () )A A20 20 B B40 40 C C80 80 D D1001002 2C C知知知知2 2 2 2练练练
26、练（来自（来自（来自（来自典中点典中点典中点典中点）【中考中考中考中考 潍潍坊坊坊坊】如如如如图图，四，四，四，四边边形形形形ABCDABCD为为 O O的内接四的内接四的内接四的内接四边边形，形，形，形，延延延延长长ABAB与与与与DCDC相交于点相交于点相交于点相交于点G G，AOAOCDCD，垂足，垂足，垂足，垂足为为E E，连连接接接接BDBD，GBCGBC5050，则则DBCDBC的度数的度数的度数的度数为为( () )A A50 50 B B60 60 C C80 80 D D85853 3C C圆圆内接四内接四内接四内接四边边形的角的形的角的形的角的形的角的“ “两种关系两种关系
27、两种关系两种关系” ”：(1)(1)对对角互角互角互角互补补，若四，若四，若四，若四边边形形形形ABCDABCD为为 O O的内接四的内接四的内接四的内接四边边形，形，形，形， 则则A AC C180180，B BD D180.180.(2)(2)任一外角与其相任一外角与其相任一外角与其相任一外角与其相邻邻的内角的的内角的的内角的的内角的对对角相等，角相等，角相等，角相等，简简称称称称圆圆内内内内 接四接四接四接四边边形的外角等于其内形的外角等于其内形的外角等于其内形的外角等于其内对对角角角角1 1知识小结知识小结已知已知已知已知ABCABC内接于内接于内接于内接于 O O，ODODACAC于
28、点于点于点于点D D，如果，如果，如果，如果CODCOD3232，那么，那么，那么，那么B B的度数为的度数为的度数为的度数为( () )A A16 16 B B3232 C C1616或或或或164164 D D3232或或或或148148易易错点：点：画图时考虑不全而漏解画图时考虑不全而漏解2 2易错小结易错小结易错小结易错小结D D点点点点B B可能在弦可能在弦可能在弦可能在弦ACAC所所所所对对的的的的优优弧上，也可能在弦弧上，也可能在弦弧上，也可能在弦弧上，也可能在弦ACAC所所所所对对的劣弧上本的劣弧上本的劣弧上本的劣弧上本题题没有没有没有没有给给出出出出图图形，其易形，其易形，其易形，其易错错之之之之处处在于画在于画在于画在于画图图时时考考考考虑虑不全而漏解不全而漏解不全而漏解不全而漏解 请请完成完成完成完成点点点点拨训练拨训练P76-77P76-77对应习题对应习题！
